книги из ГПНТБ / Швецов К.И. Справочник по элементарной математике арифметика, алгебра

0 ,5 : 1,25 + 3-g- • 1 ,0 3 — 1,005

: f 2l - l ^

V

V 16

24/

_1_

23

6 _ _ 92 _ Л 0 2 _ 9 2 _ Ю _ 5_.

Д) Н 6

*24_ 2 96

96 ~

96

96 — 96 ~ 4 8 ’

о . 5

_ 3

48

—

i -

^ 3 ‘ 48

5

f

повторяются

в одной и той

же

последовательности,

называются п е ­

р и о д и ч е с к и м и

десятичными

дробями. Совокупность

повторяющихся

цифр называется п е р и о д о м

этой дроби.

Периодические дроби

бывают чистые и смешанные.

Ч и с т о й п е ­

р и о д и ч е с к о й

д р о б ь ю называется

такая, у которой период начинается

сразу после запятой, например

2,363636...; с м е ш а н н о й — такая, у ко­

торой между запятой и первым

периодом есть одна

или

несколько

пишут 0,08(3); вместо 0,5232232... пишут 0,5(232), т. е.

заключают

в скобки период.

Если обыкновенная несократимая дробь обращается

в бесконеч­

причем, е с л и у з н а м е н а т е л я

д р о б и

о т с у т с т в у ю т м н о ж и т е л и 2 и 5 ,

о н а б у д е т ч и с т о й п е р и о д и ч е с к о й ,

е с л и ж е з н а м е н а т е л ь со д ер ж и т

м н о ж и т е л е м 2 и л и 5, о н а б у д е т с м е ш а н н о й .

5

превращается в чистую периодическую

П р и м е р ы . Дробь

5

|

27

7

|

12

50

0,185185... =

0,(185)

“

70

0,5833... = 0,58(33).

“ 27_

60_

'230

“

100

216

96

140

“

40

135

36

50

40

Известно

правило,

позволяющее

сразу

определить,

сколько

будет цифр в периоде и сколько до периода, если превращать обык­

новенную несократимую дробь в бесконечную десятичную.

Е с л и b =

2® • 5^ ■с ,

и

с в з а и м н о п р о с т о е с

10, т о н е с о к р а т и м а я

д р о б ь -у п р е в р а щ а е т с я в т а к у ю б е с к о н е ч н у ю д е с я т и ч н у ю ,

в к о т о р о й

ч и сло

ц и ф р о т з а п я т о й

д о

п ер во го

п е р и о д а

р а в н о б о л ь ш е м у

и з п о к а ­

з а т е л е й а и р, а ч и с л о ц и ф р в п е р и о д е р а в н о ч и с л у ц и ф р в н а и м е н ь ­

ш ем и з

ч и с е л

9,

99,

999,

9999 и т . д .,

к о т о р о е

д е л и т с я н а с.

П р и м е р .

Сколько цифр до периода

и сколько в периоде имеет

бесконечная

десятичная

дробь,

равная

?

Р е ш е н и е .

440 =

23

•

5 • 11.

здесь

равен 3. Следовательно, до

Больший

показатель

степени

периода должно

быть 3

цифры.

Число

99

делится на 11

(а 9 не де­

лится), следовательно, в периоде должно

быть

2

цифры.

П р о в е р к а .

301

|

440

“

ЗОЮ

0,6840909... =

0,684

(09)

2640

“

3700

3520

1800

1760

“

4000

3960

4000

2.

Обращение

периодической дроби в обыкновенную.

Ч т о б ы о б р а ­

т и т ь ч и с т у ю п е р и о д и ч е с к у ю д р о б ь в о б ы к н о в е н н у ю , д о с т а т о ч н о з а п и ­

са т ь ч и с л и т е л е м ее п е р и о д ,

а з н а м е н а т е л е м — ч и с л о ,

вы р а ж ен н о е

с т о л ь к и м и д е в я т к а м и ,

с к о л ьк о ц и ф р в п ер и о д е .

П р и м е р ы .

0,(7) = ~ ;

2,(05) = 2 ^

;

0 , ( 0 6 3 ) = ^ =

- ^ .

Ч т обы

о б р а т и т ь

с м е ш а н н у ю

п е р и о д и ч е с к у ю

д р о б ь

в о б ы к н о в е н н у ю ,

д о ст а т о ч н о

и з

ч и с л а ,

ст о я щ его до

в т о р о го

п е р и о д а ,

вы чест ь

ч и с л о ,

ст о ящ ее до п ер во го п е р и о д а ,

и п о л у ч е н н у ю р а з н о с т ь в зя т ь ч и с л и т е л е м ,

а з н а м е н а т е л е м н а п и с а т ь ч и с л о ,

вы р а ж ен н о е с т о л ь к и м и д е в я т к а м и ,

с к о л ьк о ц и ф р в п е р и о д е и со с т о л ь к и м и н у л я м и н а к о н ц е , с к о л ь к о ц и ф р

м е ж д у з а п я т о й и п е р и о д о м .

П р и м е р

1.

0,3(52) =

352 — 3

349.

990

_

990'

П р и м е р

2.

5,7(8) = 5

78 — 7

_

71

90

5 90 ■

10. Историческая справка о десятичных дробях. Десятичные дроби

были введены значительно позже,

чем обыкновенные.

Впервые теорию

астрономом

И.

Кеплером (1571— 1630). В Англии и США вместо запя­

той до сих

пор

употребляется точка — знак, предложенный изобрета­

телем логарифмов Джоном

Непером в 1616 г. В России

десятичные

дроби впервые были изложены в «Арифметике» Магницкого.

§

22. Проценты

1. Понятие о проценте.

П р о ц е н т о м какого-либо числа называется

сотая часть этого числа. Например, вместо того, чтобы

сказать «54

сотых всех

жителей

нашей

страны

составляют женщины»,

можно

сказать «54

процента

всех жителей

нашей страны составляют жен­

щины». Вместо слова

«процент» пишут также значок %, например

35% — значит 35 процентов.

латинских слов p ro c e n tu m , что

Слово

«процент»

происходит от

означают

«с сотни».

Раньше

процентами называли деньги,

которые

Так как процент есть

сотая часть,

то отсюда следует,

что про­

цент

есть

дробь со

знаменателем 100.

Поэтому

дробь

0,49, или

49 ,

можно

прочитать

как

49 процентов

и записать

без знаменателя

П р и м е р ы . 0,33

=

33%;

1,25 =

125%;

0,002 =

0,2 %

21 = 2100% .

И наоборот:

=

0,07;

24,5% =

0,245;

7%

0 , 1 % = 0 ,0 0 1 ;

2 0 0 % = 2 .

Иногда употребляют понятие

п р о м и л л е .

Промилле числа назы­

вают тысячную

долю

этого числа.

Слово промилле происходит от

латинского p ro

r n ille —

с тысячи. Обозначают

промилле

знаком % „.

П р и м е р .

0,002 =

0,2% = 2°/00.

В тысячных долях

выражают концентрации растворов, отноше­

ния веса чистого золота, серебра,

платины

к общему

весу сплава

З а д а ч а .

Бригада трактористов по плану должна израсходовать

9 т горючего.

Трактористы взяли соцобязательство сэкономить 20%

20% = 0 ,2 ;

9 • 0 ,2 = 1,8 (ш).

Вычисления можно записать и так:

9 • 20

1 , 8 (т ).

1 0 0

Вообще, р % числа а равны

.

З а д а ч а .

Рабочий в 1963 г. получал в месяц 90 руб., а в 1964 г.

стал получать

на 30% больше. Сколько получал он в 1964 г.?

90 +

2 7 =

117 (руб).

В т о р о й с п о с о б .

прежнего

заработка

стал получать

рабо­

1) Сколько

процентов

чий в 1964 г.?

100% +

30% = 130%.

2) Какова была месячная

зарплата рабочего в 1964 г.?

90 ■130

117 (руб).

100

2 . Нахождение числа по данной

величине его

процентов.

З а д а ч а .

В

колхозе посеяли

кукурузу на

площади

280 г а , что

составляет 14%

всей посевной

площади.

Определить

посевную пло­

щадь колхоза.

14

Если в этой задаче вместо

14%

написать 0,14

^нли

то по­

лучим задачу на

нахождение

числа

по известной

100

величине его дроби

(стр. 96). А такие задачи решают делением.

(га).

Р е ш е н и е .

14% = 0.14;

280 : 0,14 = 2000

Можно это

решение оформить и так:

280 : 14

280 • 1 0 0 =

2 0 0 0 (га ).

1 0 0

14

Вообще, если

р % . какого-то

числа

составляет а ,

то все

число

а ■ 1 0 0

равно — - —-.

Ч т о б ы н а й т и

ч и с л о п о

д а н н о й

в е л и ч и н е н е с к о л ь к и х

п р о ц е н т о в его,

З а д а ч а . В марте завод выплавил 125,4 т металла,

перевыпол­

нив план на 4,5%. Сколько тонн металла завод должен

был выпла­

вить в марте по плану?

100% +4,5% =

104,5%.

2) Сколько тонн металла завод должен был выплавить?

125,4 • 100

1 2 0

(/и).

104,5

3. Нахождение процентного отношения двух чисел.

день

З а д а ч а . Нужно вспахать 300

г а

земли.

В первый

вспахали 120 га . Сколько процентов

к

заданию

вспахали в

пер-

вый день?

Р е ш е н и е .

Первый

способ.

300

г а

составляет

100%,

значит,

на 1% приходится 3 г а . Определив,

сколько раз 3 г а , составляющие

1 %, содержатся в 120 г а , мы узнаем

сколько

процентов

к

заданию

вспахали земли в первый

день

120 :3 =

40(%).

Второй способ. Определив, какую часть земли вспахали в первый

день, выразим эту дробь в процентах.

Записываем вычисление:

—

= — =

0,4 =

40%.

300

5

'

/0

Ч т о бы в ы ч и с л и т ь п р о ц е н т н о е о т н о ш е н и е ч и с л а а к ч и с л у Ь,

н у ж н о н а й т и

о т н о ш е н и е а

к

Ь

и

у м н о ж и т ь его н а

1 0 0 .

З а д а ч а .

Автомобиль

на

каждые

100 к м

пути

летом расходует

8 л бензина, а зимой

8,8

л .

На

сколько

процентов

зимняя

норма

больше летней?

Зимой на

каждые 100

автомобиль

расходует на

Р е ш е н и е .

к м

8 ,8 — 8 = 0,8

(л)

больше, чем летом.

Эти

0,8 л

по отношению

к 8 л

составляют 0,8 : 8 = 0,1 =

10%.

О т в е т .

На

10%.

учащиеся считают, что в данном слу­

П р и м е ч а й

и е.

Иногда

чае летняя норма расхода бензина

меньше зимней также на 10%.

Это неверно. В первом случае, когда мы

сравниваем расход бензина

с летней нормой,

мы

принимаем

за

100%

8 л,

если же

сравнивать

с зимней нормой,

нужно

за

100%

принимать

8,8

л,

и

ту же

раз­

ность 0,8 л делить уже не

на 8

л, а на 8,8 л,

т. е.

0,8 : 8,8 =

0,091 = 9 ,1 % .

Как видим, летняя норма меньше зимней не на

10%, а на 9,1%.

4. Таблицы процентных отношений.

Задачи

на

нахождение про­

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

61

100,00

98,39

96,83

95,31

93,85

92,42

91,04

89,71

88,41

87,14

62

100,00

98,41 | 96,88|

95,39

93,94

92,54

91,18

89,86

88,57

63

100,00

98,44

96,92

95,45

94,03

92,65

91,30

90.00

64

100,00

98,46

96,37

95,52

94.12

92,74

91,43

65

100,00

98,48

97,01

95,59

93,20

92,86

66

100,00

98,51

97,06

95,65

94,29

67

100,00

98.53

97,10

95,71

68

100,00

98,55

97,14

69

100,00

98,57

70

100,00

столбца

найдем

число

62;

на

пересечении этой

строки и столбца

с числом 64 найдем

процентное отношение 62 к 64. Оно равно 90,88%.

Воспользуемся

теперь

нашей

таблицей для

решения

такой

задачи.

отопления

дома необходимо

заготовить 70

т угля. На

1 ок­

Для

тября привезено

65

т .

Сколько

процентов топлива заготовлено?

ные числа откладывают на отрезках А В

и В С .

На графике показано,

как при помощи

линейки найти

80%

от 50,

а также, что число 40

составляет 80%

от 50 (обратная

задача).

чаях точное число вообще найти невозможно.

то число 29 —

Так, если говорят, что в классе есть 29 учеников,

точное. Если же

говорят, что расстояние от Москвы до Киева равно

960 к м , то

здесь

число 960

— приближенное, так как,

с одной

сто­

роны, наши

измерительные

инструменты не абсолютно

точны, с

дру­

женное число.

Выполняя

некоторые действия над точными

числами

(деление, извлечение корня), можно также получить

приближенные

числа.

зная степень

Теория приближенных вычислении позволяет: 1)

точности данных, оценить степень точности результатов; 2) брать

данные с надлежащей степенью точности, достаточной

для

обеспече­

ния требуемой

точности

результата; 3) рационализировать процесс

вычисления, освободив его от тех выкладок, которые не окажут влия­

ния на точность результата.

приближенных

2 .

Округление. Одним из источников получения

чисел

является о к р у г л е н и е . Округляют как приближенные,

так и точ­

ные числа.

числа до некоторою его разряда

называют

О к р у г л е н и е м данного

замену его новым числом, которое получается из данного путем отбра­

сывания всех его цифр, записанных правее цифры этого разряда, или

путем замены их нулями.

Эти нули обычно подчеркивают или пишут

их меньшими. Для обеспечения наибольшей близости округленного

числа

к округляемому следует пользоваться такими правилами:

б)

до сотых 3,2465;

1038,785;

в) до тысячных 3,4335.

г) до тысяч 12 375;

320 729.

О т в е т ы .

12,3;

а)

12.34 к

я

1038,79;

б)

3,2465

3,25; 1038,785 я

в)

3,4335

я

3,434.

320 729 я

321 000.

г)

12 375 я

12 000;

точным числом и его приближенным значением называется

а б с о л ю т ­

н о й

п о гр е ш н о с т ь ю

приближенного числа. Например, если точное чис­

ло

1,214 округлить до десятых, получим

приближенное

число

1,2.

В данном случае абсолютная

погрешность

приближенного

числа

1,2

равна 1,214— 1,2,

т. е. 0,014.

рассматриваемой вели­

Но в большинстве случаев точное значение

чины неизвестно,

а только приближенное.

Тогда и абсолютная

по­

грешность неизвестна. В этих случаях указывают границу,

которую

она не превышает.

Это число называют г р а н и ч н о й а б с о л ю т н о й

п о г р е ш ­

н о с т ь ю . Говорят,

что точное

значение числа

равно его приближен­

Например, число 23,71

есть

приближенное значение

числа

23,7125

с точностью до 0,01, так как

абсолютная

погрешность

приближения

равна 0,0025 и меньше

0,01.

Здесь

граничная абсолютная

погреш­

ность равна 0,01 *.

Граничную абсолютную погрешность приближенного числа а

обозначают символом Да. Запись

х

и а ( ± Да)

следует понимать так: точное значение величины х

находится в про­

межутке между

числами

а — Да и а-(-Да,

которые

называют соот­

ветственно н и ж н е й и в е р х н е й

г р а н и ц е й х

и обозначают

НГх и ВГл:.

Например, если х к

2,3 (±0,1),

то 2,2 < х < 2,4.

Абсолютная

Наоборот,

если 7,3 < х <

7,4,

то х к

7,35 (± 0,05).

абсолютной погрешности, но и от значения

измеряемой

величины.

Поэтому мерой точности служит относительная погрешность.

О т н о с и т е л ь н о й п о гр е ш н о с т ь ю называется

отношение

абсолютной

чащих цифр,

точных

и сомнительных цифр. Напомним,

что

д е с я т и ч ­

н ы м и з н а к а м и

числа

называют все его цифры,

стоящие

правее

запя­

той (см. стр.

98).

Например,

числа 3,5

и 3,05

имеют соответственно

один и два десятичных знака.

называются все его цифры,

начиная

З н а ч а щ и м и ц и ф р а м и ч и с л а

с первой слева отличной от пуля, кроме нулей, стоящих

в конце

записи числа на месте отброшенных при округлении цифр

(как уже

отмечалось, эти нули

обычно

подчеркивают или

пишут меньшими).

П р и м е р ы .

В

числе 3,5 — две

значащих

цифры,

в

числе

0,0307 — три значащих цифры. В числе 35 000,

полученном в резуль­

тате округления до тысяч, две значащих цифры.

Если граница абсолютной погрешности приближенного числа

равна половине единицы разряда последней его цифры,

то все цифры

этого числа называют т о ч н ы м и . Если же эта

граница

больше

поло­

вины единицы разряда последней цифры числа, то последняя

цифра

такого числа

называется с о м н и т е л ь н о й .