книги из ГПНТБ / Донов А.Е. Динамика полета летательных аппаратов

Однако в общем случае ее интегрирование возможно выпол­ нить только численно, используя, например, метод конечных разностей. Конкретная форма использования данного метода будет существенно зависеть от способа задания программы. Рассмотрим два таких наиболее типичных способа.

1. Программа задается либо в виде зависимости пу от V,

либо в виде зависимости су от v:

Наиболее характерными случаями таких программ являются случаи, когда

При интегрировании интересующей нас системы уравнений движения методом конечных разностей могут быть использо­ ваны либо чисто аналитические (точнее расчетные), либо гра­ фоаналитические приемы. Для рассматриваемых сейчас программ мы применим графоаналитический способ интегрирования. В ос­ нове его лежат формулы и геометрические построения, данные В. П. Ветчинкиным.

Для получения этих формул заменим в уравнении (68) нор­ мальное ускорение j„ его выражением, взятым из соотношения (63), и решим полученное уравнение относительно г:

v 2

(83)

g(ny — cos в)

Правую же часть уравнения (67) преобразуем следующим обра­ зом :

Но из дифференциальной геометрии известно, что

причем знак минус в формуле (85) поставлен потому, что в случае, изображенном на фиг. 42, угол 0 с возрастанием прой­ денного пути убывает. Следовательно,

50

Заменяя в формуле (88) дифференциалы конечными разностями, находим

пу в том случае, когда в качестве программы задана зависи­ мость пу от V. В том же случае, когда в качестве программы задана зависимость су от v, определяем, пользуясь уравнением (80), значение су .

Далее, на основании соотношений (65), (76) и (78) находим в точке О по значениям пу , р и v величину су:

2nvG

(91)

Cv~ J S v T

или же по значениям су, р, v величину пу:

Тогда

54

—>

Если составляющая веса G„ направлена в сторону, противо­

влияние сказывается в некотором „сгибании" рассматриваемой дуги (фиг. 47,6).

К некоторому „разгибанию" дуги окружности приводит уве­ личение высоты полета в процессе движения, так как это уве­ личение приводит к уменьшению плотности р, а следовательно, и к уменьшению подъемной силы Y. Уменьшение же высоты в

Фиг. 47

Уменьшение массы аппарата, а следовательно, и его веса из-за выгорания горючего приводит к некоторому „сгибанию"

Используя для этого варианта задания программы движения метод численного интегрирования при помощи конечных разно­ стей, мы проведем процесс интегрирования чисто аналитически, не прибегая к графическим построениям.

Выведем основные уравнения процесса интегрирования. Для этого в уравнении (67) перейдем от дифференциалов к конечным разностям, после чего запишем его в следующем виде:

55

В уравнении (68) заменим ускорение j n выражением, взятым из формулы (64):

жений взята зависимость 6 от времени, эта производная может быть вычислена для любого значения времени t. Разрешая урав­

уравнениями процесса интегрирования.

Начальные условия в рассматриваемом случае остаются теми же, что и раньше, и определяются равенствами (90). Нужно только при задании этих условий иметь в виду, что принятая про­ грамма (104) должна быть согласована с начальными условиями,

ляются в точке О значения М, Re и р по формулам (72), (73) и (75). После этого в той же точке по заданной программе (104)

находится значение 0 (дифференцированием при t = t 0). По по­ лученному значению 0 и имеющимся значениям Ъ и v вычис­

Задавшись шагом интегрирования М, по формулам (105) и (108)

найти Д0.

Вычисление значений Дг>, ДИ и Д0 дает возможность опреде­

и так далее, то есть найти зависимости V , 0 и Я от t. Если, кроме того, требуется рассчитать траекторию, нужно для каждого промежутка времени Дt определить горизонтальное пере-* мещение центра тяжести аппарата ДL по очевидной формуле

и затем суммированием найти зависимость горизонтального перемещения L от t. Таким образом, элементы траектории Я и L будут получены в параметрической форме.

Весьма важным частным случаем рассмотренной сейчас про* граммы является случай, когда

торможением, рассмотренным в предыдущей главе для частного случая О = const. Применяя только что изложенный вычисли­ тельный процесс, можно произвести полный расчет как наклон­

sin % « 0О.

5?

При достаточно больших значениях 60 движение по программе (113) представляет собой прямолинейный участок пикирования или горки. В данном случае иногда представляется более удоб­ ным в процессе интегрирования за переменную интегрирования принять не время t, а высоту Н и формулы (114), (116) преоб­ разовать следующим образом:

(117)

(118)

■z'sm б0

При выводе различных соотношений, необходимых для осу­ ществления процесса интегрирования, мы при определении зна­ ков в различных выражениях связывали себя определенной схе­ мой движения, изображенной на фиг. 42. Между тем в ряде случаев приходится иметь дело с несколько отличными схемами движения и правилами отсчета углов. В этих случаях во многих формулах знаки, стоящие перед некоторыми выражениями, мо­ гут измениться на обратные. Мы здесь не будем проводить анализа всех возможных случаев, но в дальнейшем при рассмо­ трении той или иной схемы движения будем конкретно указы­ вать те изменения в знаках, которые нужно произвести в соот­ ветствующих расчетных формулах.

§ 2. ФИГУРНЫЕ ПОЛЕТЫ КРЫЛАТЫХ ЛЕТАТЕЛЬНЫ Х АППАРАТОВ

Петля Нестерова

Петля Нестерова, или, как ее иногда называют, „мертвая петля", является первой фигурой, выполненной на самолете. Возможность осуществления петлевых движений на крылатом

Первым же летчиком, практически осуществившим петлю на са­ молете, был русский летчик П. Н. Нестеров, именем которого и называется рассматриваемая фигура. Дата выполнения первой петли (1913 г.) может считаться датой начала фигурных полетов, или, как иногда говорят, „фигур высшего пилотажа".

Для того чтобы выполнить петлю Нестерова, нужно заста­ вить параметры движения аппарата изменяться по определенной программе. Простейшей программой движения, приводящей к

58

Для получения такой программы достаточно у самолета, совер­ шающего на некоторой высоте горизонтальный полет со ско­ ростью, обеспечивающей наличие достаточно большого запаса су , резко увеличить в несколько раз этот коэффициент и затем поддерживать его постоянным. Тогда прямолинейный полет пре­ вратится в движение, приближенно являющееся движением по окружности с радиусом

окружности. Если высота петли не превосходит 2—3 км, а из­ менение веса из-за выгорания горючего в процессе выполнения фигуры незначительно, то основным фактором, искажающим ис­

Разобьем рассматриваемую окружность на четыре квадранта I, II, III, IV, а точки, являющиеся границами квадрантов, обо­ значим через А', В', С', D'. На участке движения, соответствую­

щем первому квадранту, нормальная составляющая веса Gn на­ правлена в сторону, противоположную подъемной силе. Поэто­ му на этом участке происходит „разгибание” дуги исходной ок­ ружности. Средний радиус кривизны на этом участке превосхо­ дит радиус окружности, благодаря чему положение точки В',

где скорость v вертикальна, смещается вверх и вправо и пре*

59