книги из ГПНТБ / Донов А.Е. Динамика полета летательных аппаратов

Ясно, что при любом движении центра тяжести аппарата это движение в системе x fiiy i будет являться прямолинейным дви­ жением по оси ViОно может быть названо радиальным переме­ щением центра тяжести. В направлении же оси х г будет всегда существовать относительное равновесие, и перемещения центра тяжести вдоль этой оси отсутствуют.

(фиг. 76). Тогда для центробежной силы инерции У можно будет

90

В этом случае

оси у^) сил Р, Y и Q (фиг. 76). Составляющая же g' у этого полного ускорения, обусловленная рассматриваемой нами равно­

действующей сил G и J, определится следующим образом:

G — J

(174)

G

Полученная формула показывает, что влияние силы J на дви­ жение центра тяжести аппарата по оси у 1 сводится к тому, что ускорение, обусловленное весом аппарата, уменьшается на вели-

v „j

чину - д - . Поэтому рассматриваемое явление и носит название

Рз

„разгрузка аппарата центробежными силами". Следует отметить,

что использование рассмотренной нами центробежной силы J как фактора, ослабляющего ускорение от силы веса, возможно только при рассмотрении движения по траектории, построенной для вращающейся системы координат х^О^у^ (ось _у,). Неправиль­ ное применение этой силы при анализе движения по траекто­ рии, связанной с Землей, может легко привести к грубым ошиб­ кам.

§ 2. РАЗГРУЗКА ЦЕНТРОБЕЖНЫМИ СИЛАМИ КРЫЛАТОГО ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА ПРИ ГОРИЗОНТАЛЬНОМ ПОЛЕТЕ

В ВЕРТИКАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ. ПЕРВАЯ КОСМИЧЕСКАЯ СКОРОСТЬ ПОЛЕТА

Рассмотрим крылатый летательный аппарат, движущийся в вертикальной плоскости при постоянном значении высоты по­ лета Н. Для плоской Земли это движение будет являться пря­ молинейным горизонтальным полетом, а для шарообразной — горизонтальным полетом по дуге окружности с центром, распо­ ложенным в центре Земли (фиг. 77).

91

Так как высота полета постоянна, то по о с и ^ центр тяжести

тягу Р считать направленной по скорости v, то вдоль оси ух

это равновесие будет обеспечиваться тем, что подъемная сила / (фиг. 77) по величине равна, а по направлению противоположна равно­

действующей веса G и центробежной силы инер­

ции J (эта равнодейст­ вующая может быть на­ звана „весом, разгружен­ ным центробежной си­ лой"). Следовательно,

= т [ ё ~ я ;

так как в данном случае

При увеличении скорости v центробежная сила инерции J растет, а подъемная сила Y уменьшается и при некотором зна­ чении v обращается в нуль. При такой скорости летательный

аппарат для осуществления горизонтального полета не нуждается

—>

в крыльях, так как здесь вес G полностью „разружается" цент­ робежной силой инерции J. Если при этом лобовое сопротивле­

гателе), то скорость v по величине изменяться не будет и дви­ жение аппарата превращается в движение искусственного спут­ ника Земли по круговой орбите с постоянной скоростью.

Скорость горизонтального полета, при которой наступает полная разгрузка летательного аппарата центробежной силой инерции, называется первой космической скоростью. Эту ско­ рость мы обозначим через vK0Cl. Так как при v — vK0ll подъемная

92

сила Y = О, то из (174) легко находим

Как и следовало ожидать, полученное выражение показывает, что при v = v K0Ci коэффициент су гм обращается в нуль.

При скорости v, превосходящей v K0Cl, сила У начинает пре­ восходить по величине вес G. В данном случае для осущест­ вления горизонтального полета в вертикальной плоскости тре­

буется подъемная сила Y, направленная вертикально вниз (фиг. 78).

Эта сила уравновешивает равнодействующую сил О и У, кото­ рая направлена вверх, и удерживает центр тяжести аппарата от ускоренного движения вверх по оси _у,. Величина силы Y в дан­ ном случае определяется следующим образом:

93

§3. РАСЧЕТ ДВИЖЕНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА

ВВЕРТИКАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ С УЧЕТОМ ВЛИЯНИЯ КРИВИЗНЫ

ЗЕМЛИ

Для расчета полета в вертикальной плоскости с учетом влия­ ния кривизны Земли, необходимо иметь дифференциальные ура­ внения, определяющие рассматриваемое движение, выведенные с учетом этой кривизны. При выводе названных уравнений в общем виде оказывается более удобным исследовать траекторию

Разница будет состоять только в том, что нормальное уско­ рение }п для шарообразной Земли определяется иначе, чем для плоской. Действительно, для плоской Земли мы определяли

по формуле

db

J" = ~ VT f

(64)

Между тем в общем случае

(181)

94

где через обозначена угловая скорость вращения вектора скорости движения по траектории по отношению к той системе

женного на фиг. 79, вращение вектора v происходило бы по ча­ совой стрелке. Но направление ОА при наличии кривизны Зем­ ли вращается с некоторой угловой скоростью шол, причем на

фиг. 79 это вращение происходит против часовой стрелки, то есть уменьшает со„ на величину и>ол. Следовательно, для шаро­

образной Земли

dO

(182)

dt т°л ’

С другой стороны,

где через <о00 обозначена угловая скорость луча 0^0, соста­

вляющего с линией ОА неизменный угол, равный 90°. Угловую же скорость и>00 легко найти, разделив горизонтальную соста­

вляющую вектора v на расстояние г между точками Ог и О:

V cos 6

соо,о — (184)

г

Так как мы рассматриваем полет, у которого высота Н мала по сравнению с R3, то приближенно

r = R 3,

то есть

95

Г Л А В А V

ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ДВИЖЕНИЯ ПО БАЛЛИСТИЧЕСКОЙ ТРАЕКТОРИИ

§ 1. БАЛЛИСТИЧЕСКИЕ ТРАЕКТОРИИ

Рассмотренное нами в § 3 главы III простейшее движение центра тяжести крылатого летательного аппарата по баллисти­ ческой траектории является частным случаем полета по балли­ стической траектории любого летательного аппарата. Если рас­ смотреть, например, полет баллистической ракеты на пассивном участке вне пределов атмосферы и без учета изменения на этом участке ее веса по величине и направлению или же полет ар­ тиллерийского снаряда без учета сопротивления воздуха и из­ менения веса (также по величине и направлению), то получатся те же самые соотношения, что и в § 3 главы III.

Кроме того, при выводе этих соотношений предполагалось,

что тяга Р уравновешивается лобовым сопротивлением Q, а кривизна Земли не учитывалась. В общем случае движения по баллистической траектории эти допущения не имеют места, а соблюдается только одно главное условие отсутствия всех нормальных составляющих сил, кроме нормальной составляющей веса, которое в общем виде может быть записано следующим образом:

Это условие является программой движения по баллистической траектории.

Баллистическая траектория может иметь самую различную протяженность и высоту. При малых скоростях полета она вся располагается в плотных слоях атмосферы (если только начало полета не расположено на большой высоте). По мере увеличе­ ния начальной скорости движения ее верхняя часть попадает в разреженные атмосферные слои и при дальнейшем увеличении этой скорости выходит за пределы атмосферы. При начальной скорости полета, сравнимой с первой космической, траектория

почти полностью располагается вне пределов атмосферы. При этом высота полета становится больше тысячи километров, а дальность начинает исчисляться многими тысячами километров. При приближении начальной скорости к первой космической дальность становится неограниченной.

После окончания работы двигателя за пределами атмосферы, где исчезают аэродинамические силы, движение любого аппа­ рата превращается в полет по баллистической траектории, так как условие (190) в данном случае всегда выполняется. Из всех сил, которые следует учитывать при расчете, здесь остается только одна сила тяжести, благодаря чему весь расчет сильно упрощается. Но зато при больших высотах полета начинает сказываться фактор, которым мы до сих пор пренебрегали, — уменьшение веса аппарата из-за его удаления от центра Земли. Кроме того, при больших значениях высоты полета уже нельзя пользоваться приближенным предположением о том, что отно­

шение 7j- близко к единице, которое позволяет в ряде случаев

Ия

упрощать расчетные формулы (мы его использовали в форме приближенного равенства r = R3).

Участки баллистической траектории, расположенные в пре­ делах атмосферы, при любых скоростях полета с достаточной для оценки летных характеристик аппарата степенью точности могут рассчитываться при помощи изложенных в главе III при­ ближенных методов, но с учетом влияния кривизны Земли (для больших скоростей полета), рассмотренным в § 3 главы IV [уравнения (189), (67)].

Для больших высот полета за пределами атмосферы, когда

г

7jначинает значительно отличаться от единицы, эти методы

теряют необходимую точность и при больших значениях

становятся совсем непригодными. Расчету баллистического по­ лета в этих условиях посвящены последующие параграфы на­ стоящей главы.

§2. ВЛИЯНИЕ УДАЛЕННОСТИ ОТ ЦЕНТРА ЗЕМЛИ НА СКОРОСТЬ

ИФОРМУ ТРАЕКТОРИИ ПОЛЕТА ПО БАЛЛИСТИЧЕСКОЙ ТРАЕКТОРИИ. ВТОРАЯ КОСМИЧЕСКАЯ СКОРОСТЬ ПОЛЕТА

Пусть летательный аппарат за пределами атмосферы с нера­ ботающим двигателем (или совсем без двигателя) движется по баллистической траектории с достаточно большой скоростью, удаляясь от центра Земли. Тогда по закону всемирного тяготе­ ния вес аппарата G изменяется обратно пропорционально квад­ рату расстояния г от центра Земли:

98

тенциальной и кинетической энергии летательного аппарата в рассматриваемом случае сохраняется постоянной и при удалении

*3

(у поверхности Земли П принимается равной нулю). Эта фор­ мула показывает, что при неограниченном возрастании г по­ тенциальная энергия П, все время возрастая, стремится к конеч­ ному пределу Ппред:

соответствующему удалению массы т в бесконечность. Рассмотрим летательный аппарат, начинающий движение по

баллистической "траектории с такой высоты, которая мала по сравнению с радиусом Земли. Тогда в начальный момент движе­ ния можно считать приближенно, что его полная энергия равна

кинетической энергии ОТ^° . В том случае, когда

Для достижения гтах направление скорости v должно соста­ влять с горизонтом угол в, равный 90°. Если этот угол будет меньше 90°, то при наличии условия (194) летательный аппарат не сможет неограниченно удалиться от земной поверхности и станет двигаться по траектории, заключенной внутри круга ра­ диуса гтах (фиг. 80).