книги из ГПНТБ / Гольденблат И.И. Теория ползучести строительных материалов и ее приложения

первое начало термодинамики, записать в следующем инвари­ антном виде:

Во всем дальнейшем изложении тепло, полученное телом в процессе деформации, будем считать положительным.

Внутренняя энергия деформированного тела есть однознач­ ная функция мгновенного состояния тела. Если тело будет пере­ ходить из определенного начального состояния в определенное конечное состояние, то механический эквивалент внешних воз­ действий (в том числе тепловых воздействий) будет иметь вся­ кий раз одно и то же значение вне зависимости от пути пере­ хода. Изменение внутренней энергии между двумя состояниями 1 и 2 может быть выражено интегралом

Этот интеграл, как видно из изложенного, не должен зависеть от пути перехода из состояния 1 в состояние 2, иными словами, он не будет зависеть от промежуточных состояний тела (т. е. от значений тензора деформаций и температуры в промежуточ­ ных состояниях); следовательно, дифференциал энергии есть полный дифференциал.

Напротив, плотность работы внутренних напряжений (3.01) на малых изменениях деформированного состояния не является полным дифференциалом, поэтому работа, произведенная в про­ цессе перехода из состояния 1 в состояние 2, зависит, вообще говоря, от пути перехода.

Так как плотность работы внутренних напряжений на малых изменениях деформированного состояния не является полным дифференциалом, а дифференциал энергии есть полный диффе­ ренциал, то, как следует из (3.21), малое изменение количества тепла 3Q также не является полным дифференциалом, иными словами, количество поглощенного телом тепла Q зависит от пути перехода из состояния / в состояние 2.

Рассматривая изменение энергии тела при переходе его из одного состояния в другое, всегда можно выделить то количе­ ство тепла, которое получило или отдало тело, и работу, которая была произведена над телом или произведенную телом над дру­ гими телами. Однако это тепло и работа не определяются одно­ значно (начальным и конечным состояниями тела), а зависят

69

от пути перехода, т. е. характера самого процесса. В то время как внутренняя энергия тела является функцией его состояния, количество тепла, полученное телом (так же как и работа, про­ изведенная над ним), является функцией процесса, происходя­ щего с телом.

Из изложенного становится ясным, почему можно говорить об энергии тела в данном состоянии, но нельзя говорить о коли­ честве тепла, которым обладает тело в данном состоянии, или, иными словами, почему внутреннюю энергию тела нельзя делить на тепловую и механическую. Мы видели выше, что такое раз­ деление возможно лишь тогда, когда речь идет об изменении энергии при переходе тела из первоначального состояния в конечное.

Уравнения, связывающие составляющие тензора напряже­ ний с составляющими тензора деформаций и абсолютной темпе­

Число этих уравнений на единицу меньше числа независимых переменных. Для того чтобы плотность работы напряжений

была полным дифференциалом, необходимо выполнение соот­ ношений

начального состояния в конечное тело совершает различную ра­ боту, то одновременно с этим оно поглощает различное количе­ ство тепла.

Уравнения состояния (3.28) могут быть записаны также в следующем инвариантном виде:

Отношение бесконечно малого количества тепла ДО . сообщае­ мого системе в каком-либо процессе, к соответствующему изме­ нению температуры называется теплоемкостью.

Следует различать теплоемкость при постоянном тензоре на­ пряжений С„ и при постоянном тензоре деформаций С,. С бо­ лее общей точки зрения можно рассматривать теплоемкость при постоянном значении одной какой-либо составляющей тензора

1 Исходя из выражения величины работы Si^rfe'^ + QdT’, легко устано.

г.ить необходимость выполнения всех условий (3.30).

70

напряжений (например, он) или при постоянном значении од­ ной какой-либо составляющей тензора деформаций (например, е22); мы будем обозначать эти теплоемкости соответственно через С,,, и СЕа1 и т. д. Вывод формул для теплоемкости дан

вп. 6.

Взаключение заметим следующее. Из того, что первое на­ чало термодинамики есть не что иное, как закон сохранения энергии в применении к тепловым процессам, не следует, что это есть формулировка частного случая закона сохранения энер­ гии. В действительности формулировка закона сохранения энер­ гии в термодинамике является самой широкой, так как отобра­ жает изменение любого вида энергии (тепловой, механической, электромагнитной, химической и т. д.).

Термодинамику определяют иногда как учение о взаимной связи, наблюдаемой во всех явлениях природы между теплом и другими видами энергии. В этом определении тепло занимает особое положение, так как все виды энергии могут быть пол­ ностью превращены в тепло, иными словами, всегда можно по­ строить такую периодически действующую машину, которая в каждом цикле полностью превращала бы механическую или электромагнитную энергию в тепло; в то же время невозможно, согласно второму началу термодинамики, построить такую пе­ риодически действующуюмашину, в каждом цикле которой

происходило бы полное превращение взятого от теплового ре­ зервуара тепла в механическую или электромагнитную энергию.

4. ВТОРОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ

Существует несколько эквивалентных формулировок второго начала термодинамики; оно может быть сформулировано, на­ пример, следующим образом: невозможно осуществить такое устройство, в результате действия которого производилась бы положительная работа только за счет охлаждения какого-нибудь одного тела без изменений в других телах. Иными словами, си­ стема тел не может совершать работу, если в результате про­ исшедшего с системой процесса все тела, кроме одного, прихо­ дят в начальное состояние и лишь одно тело отдает тепло, т. е. температура его понижается без каких-либо других изменений состояния этого тела.

Второе начало термодинамики дает возможность ввести осо­ бую универсальную функцию температуры — так называемую абсолютную температуру1. Из второго начала термодинамики следует, что для всякого цикла деформации существует соотно­ шение

в котором знак равенства относится к обратимым циклам, знак

1 Строгое определение понятия температуры вообще дано в книге акад. М. А. Леонтовнча «Введение в термодинамику», Гостехиздат, 1952.

71

неравенства — к необратимым, Т — переменная абсолютная тем­ пература источника тепла.

Разделив (3.22) на Т, получим

обратимых процессов) полным дифференциалом, следователь­ но, можно написать1

Так как у- является полным дифференциалом, находим

1 Уравнения (3.34) были выведены Л. М. Качановым, см. «Основные за­

дачи теории пластичности», Гостехиздат, 1950.

72

Из уравнений (3.37) следует

(3.39)

Уравнение (3.38) можно рассматривать как дифференциальное уравнение для инвариантов

f—'l =°1—T’f—) •

тропией. Таким образом, для замкнутого обратимого цикла из­ менение энтропии равно нулю.

Второе начало термодинамики устанавливает, что разность значений энтропии для двух состояний системы равна интегралу

S2 5i (3.43)

взятому между этими состояниями по обратимому пути; если же этот интеграл берется по необратимому пути, то разность зна­ чений энтропии больше этого интеграла. Следует правильно по­ нять смысл только что приведенной формулировки. Из опреде­ ления ясно: энтропия — функция мгновенного значения пара­ метров, характеризующих состояние тела; иными словами,, в каждом состоянии тело может иметь только одну определен­ ную величину энтропии. Поэтому разность значений энтропий

73

для двух состояний тела не зависит от того, обратимым или не­ обратимым путем переходит тело из одного состояния в другое. Поэтому приведенную выше формулировку нельзя понимать в том смысле, что при наличии необратимого пути разность зна­ чений энтропий становится больше. Эта формулировка указы­ вает на то, что интеграл (3.43), если он берется по необратимо­ му пути, уже не выражает собой разность значений энтропий, а меньше ее.

Таким образом, значение второго начала термодинамики за­ ключается в том, что оно дает критерий для суждения об обра­ тимости или необходимости всякого происходящего в природе процесса. Этот критерий является не только необходимым, но и достаточным, поэтому второе начало термодинамики должно быть отнесено к числу наиболее общих и фундаментальных за­ конов природы. Само определение абсолютной температуры Т может быть получено только на основе второго начала термо­ динамики.

Гиббс пишет [3]: «Разность значений энергии для двух лю­ бых состояний представляет общий итог работы и тепла, полу­ ченных или отданных системой, когда она переходит от одного состояния к другому, а разность энтропий есть предел всех воз-

ное количество тепла, полученного от внешнего источника, иТ— температуру части системы, получающей его. Отсюда следует, что разные значения энергии и энтропий в целом характеризуют то, что существенно в действиях, производимых системой при переходе от одного состояния к другому».

Отметим также следующее: «Значение первого начала термо­ динамики состоит не в том, что изменение энергии равно сумме внешней работы и извне сообщенного тепла, а в том, что такая сумма внешней работы и тепла не зависит от способа перехода»1. Аналогично этому значеииевторогоначалатермодинамикисостоит в том, что при переходе системы тел из одного определенного состояния в другое определенное состояние энтропия системы изменяется на вполне определенную величину независимо от пути, по которому произошло это изменение, причем в том слу-

зависит от способа перехода; например, для кругового равно­ весного процесса, изменение энтропии всегда равно нулю.

Введение понятия энтропии позволяет дать следующую за­ пись первого начала термодинамики:

ik

1 М. Планк, Термодинамика, Гостехизпат, 1952.

74

Первое начало термодинамики может быть также записано в следующем инвариантном виде:

5. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ

Для исследования термодинамических процессов наряду с энтропией S вводятся свободная энергия F, термодинамический потенциал Гиббса Ф и тепловая функция Н. Эти функции на­ зываются термодинамическими потенциалами. Их определения:

В случае сплошного деформируемого тела функции F, Ф или Н следует относить к единице объема, т. е. следует говорить о плотности свободной энергии, плотности термодинамического потенциала Гиббса, плотности тепловой функции.

Для плотностей термодинамических потенциалов деформа­ ции, сохраняя те же буквенные обозначения, можно написать следующие выражения:

F=E- TS-

Е — G/feE/A.

l.k

Термодинамические потенциалы могут быть записаны также в таком инвариантном виде:

75

Остановимся на физическом смысле термодинамических потен­ циалов. Учитывая (3.50), имеем

Таким образом, компоненты тензора напряжений при постоян­ ной энтропии (адиабатический процесс) равны производным от внутренней энергии по компонентам тензора деформаций. В слу. чае постоянной температуры (изотермический процесс) компо­ ненты тензора напряжений равны производным от свободной энергии по компонентам тензора деформаций.

Те же соотношения могут быть записаны в следующем ин­ вариантном виде:

(3.54)

откуда следует

Если в качестве термодинамического потенциала принята плот­ ность внутренней энергии Е, то аналогично имеем

(3.56)

откуда следует

(3.57)

76

Таким образом, абсолютная температура при изобарическом процессе равно производной от тепловой функции по энтропии S.

Те же соотношения могут быть записаны в следующем инва­ риантном виде:

Производные в формулах (3.65) берутся при постоянной энтро­ пии. Дифференцируя формулу (3.50), получим

d® = dE - ^■ikddk-^tikd°ik-TdS--SdT

Те же соотношения могут быть записаны в следующем инва­ риантном виде:

77

Производные в формулах (3.68) берутся при постоянной температуре. Физический смысл формул (3.68) ясен. Если за­ дан один из четырех термодинамических потенциалов Е, F, И и Ф, то три других могут быть вычислены. Если известны термо­ динамические потенциалы, то легко вычислить производные тер­ модинамические функции (энтропия, абсолютная температура, тензор напряжений и тензор деформаций).

Термодинамические потенциалы наряду с понятием энтропии позволяют установить общие условия термодинамического рав­ новесия. Необходимым и достаточным условием равновесия замкнутой системы является требование, чтобы для всех воз­ можных изменений состояния системы при постоянной энергии имело место неравенство

(35)е>0,

т. е. в состоянии равновесия энтропия имела максимум. Необходимое и достаточное условие равновесия можно сфор­

мулировать и так:

(8£)s < О,

т. е. для всех возможных состояний, при которых не изменяется энтропия, изменение энергии было нулевым или положитель­ ным, иными словами, в состоянии равновесия энергия должна иметь минимум.

Если система не является замкнутой и может изменять свое состояние только изотермически, то необходимым и достаточ­ ным условием равновесия является 8F > 0, т. е. в состоянии равновесия свободная энергия должна иметь минимум.

Наконец, если для системы возможны только изотермиче­ ско-изобарические изменения состояния, то условие равновесия имеет вид

ЗФ > О,

т. е. термодинамический потенциал Гиббса должен иметь ми­ нимум. В то время как определения энтропии и термодина­ мического потенциала Гиббса основываются на втором начале термодинамики, для определения тепловой функции достаточно лишь первого начала термодинамики. В самом деле, изменение функции Н при переходе из одного состояния в другое может быть определено как величина энергии, полученной телом в этом переходе, при постоянном тензоре напряжений.

6. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕРМОУПРУГОСТИ

Уравнения состояния (закон Гука) идеально упругой среды при малых деформациях могут быть записаны в следующем виде:

78