книги из ГПНТБ / Владимирович Г.И. Управление запасами. Методы расчета индивидуальных и групповых комплектов запасных элементов

чтобы схемы Л

и

В

имели бы одинаковое распределение числа

отказов при любых

значениях

интервала времени

Т

в пределах

О 4

к

4 m

,

т .е . потребовать,

чтобы

*

Р .у >

(2 .32)

прм

0 4 к 4 m .

Докажем теперь, что группа, обладающая структурной схемой,

изображенной на р и с.2 .4 ,б (схема А

) , и группа,

имеющая струк­

турную схему ри с.2 .4 ,в

(схема

В

) ,

полностью

эквивалентны как

в смысле надежности, так и в

смысле распределения числа отка­

з о в ,

т .е . докажем,

что

для указанных схем выполняются оба тож­

дества (2 .3 1 ) и

(2 .3 2 ).

Для доказательства

справедливости первого

тождества запи­

п | a(z) d z + mj<o(z)dz

=(/) + m)jco(z)dz .

* 2 ,3 3 ^

о

о

о

Решив данное равенство

относительно

Л

,

получим

U z ) d z

(2 .34)

/) = л - 3 — — — .

\

ш(г) а г

Из этого выражения следует, что в тех случаях, когда ве­

личина h

является целым числом и не

зависит от

времени

t ,

тождество

(2 .31) выполняется при всех

значениях t

, и, сле­

довательно, системы А

и В

эквивалентны

в смысле

надежно­

сти.

А

В частном случае,

когда

интенсивности

отказов

и

ш

не зависят

от времени,

т .е .

/

Следовательно, группы, изображенные

на ри с.2 .4 ,б и 2 .4 ,в,

эквивалентны в смысле надежности,

т .е .

их вероятности безот­

казного функционирования равны между собой за любое время

эксплуатации Т.

Таким образом, утверждение о том, что вероятность нормаль­

ного функционирования группы, структурная

схема которой изо­

бражена на р и с.2 .4 ,а,может быть рассчитана

по формуле (2.23)

можно считать доказанным.

Требование, чтобы величина h

была целым числом не яв­

О

и используя свойство ее непрерывности, выражение

(2 .23) мо­

жет быть записано в виде

(2 .35)

Единственным условием эквивалентности перехода от схемы

ри с.2 .4 ,б к схеме рис.2 .4 ,в является

требование,

чтобы вели­

чина h не зависела от времени t

. Это означает, что воз­

42

2.

Распределение Вейбулла,

для которого

г*~'

1

=

г н

(2.36)

л и ) = ^ - ^ —

.

где р

1 7

~

параметры распределения.

Подставляя

выражения

(2 .36)

в формулу

(2 .3 4 ),

получим

ное, а

при

р = 2 - в распределение Релея. Кроме того,

при

=3,4

распределение Вейбулла весьма близко

к нормальному,

а при р

= оо

превращается в дельта-функцию.

Вследствие

это­

ла отказов

в

пределах

0 <

А 4

т

. Для

этого зададимся ка­

ким-либо значением т

, например

т =

2,

определим выражения

для вероятности появления

к

отказов (

к

= 0 ,1 ,2 , . . . )

за

время t

для структурных схем

А

и

В

и сравним их.

Для схемы,

изображенной на ри с.2 .4 ,в ,

вероятности

появ­

ления ровно

А

отказов

( А =

0,

I ,

2 ),

согласно формуле (2 .2 2 ),

выражаются следующими равенствами:

-(2ш+ nk)t

(2 .37)

= е

.

,

,

-U)t

-(/l + /)(l)t

Pta(t)={h + Z ) { l - e

) е

(2 .38)

(2 .39)

Рассчитаем теперь вероятности

появления

ровно

к отказов

для схемы, изображенной на рис.2 .

4 ,б (схема

А ) .

Используя

Н.М.Седякиныы [1 б ], будем иметь

г>

-(/iA+-2ai)t

-ifl+riurt

Р „ ( ‘ ) = е

= е

(2 .40)

Сравнение

выражений

(2 .37) и (2 .4 0 )

показывает,

что для

обоих структурных схем формулы для вероятности

непоявления

ни одного отказа совпадают при всех значениях

времени

t

Определим теперь вероятность появления ровно двух отка­

зов

в структурной схеме

А

за время

t

Можно показать,

что

вероятность получения ровно двух от­

казов за

время

t

определяется из

равенства

(2 .41)

где

/

я n A + L w

(2 .42)

(О^Ц ш-А

Выполнив дифференцирование формулы

(2 .4 1 ),

получим, при

П) =

2,

Р2АШ

-

e n tt^ { p A + h 4 i ) e kutBk

.

(2 .43)

Вычислим величины коэффициентов

В0

, S,

и Вг

.

Под­

ставляя

/п » 2

и А з

0 ,1 ,2

в выражение

(2 .4 2 ),

получим:

*о =

(л Л + ш) (пЛ + 2 со)

гй ?

лЛ СлЛ + 2 со)

О)1

(2 .44)

„

_

ЛЛ (лЛ + ш)

5’ =

25?'

•

(2

.47)

то с учетом

выражений (2 .3 7 ),

(2 .3 9 ),

(2 .40)

и

(2 .45)

будем

иметь

Проводя

аналогичные

вычисления для

всех

значений

т ,

можно показать, что при всех значениях

т и

t

вероятности

появления ровно

А

отказов (

А = О, I , 2, . . . .

т

)

для

структурных

схем

А

я

В равны между собой.

Этим заканчива­

где

значение т

должно быть

вычислено путем решения уравне­

ния

(2 .26) относительно

т

при известных

h

и

г \Т ) .

На ри с.2 .5 и 2 .6 показаны

зависимости

коэффициента запаса

от величины среднего ожидаемого числа отказов

4

при различ­

ных

Л и г*(Т) \

Как видно из

этих кривых,

для

h

= °°

по

мере увеличения

4

коэффициент запаса

р

монотонно падает,

а при

h

Ф °о

величина коэффициента запаса

падает

до

неко­

торого

предела,

а

затем

вновь

растет.

В пределе

при

4 —- 00

и h ф °о

коэффициент запаса

стремится к

бесконечности.

В приложении 4 приведены рассчитанные Я.Б.Шором таблицы

значений коэффициента запаса для СУЗ без

пополнения или

с

периодическим пополнением при h =

° ° .

Монотонное уменьшение величины

р

позволяет

сделать

П р и м е р

2 .1 .

Пусть для

эксплуатации

10 технических

систем с вероятностью

не

ниже

п ( Т ) = 0,998

необходимо соз­

дать запасы элементов

i -го типа. Известно,

что средний

ожидаемый расход

элементов 4 =

I за требуемый срок эксплуа­

тации Т. Элементы запаса

не отказывают.

mL =

Р; д. .

(2 .48)

Определив из

графика ри с.2 .6

(при

Л(

=

I н rH J)= 0,998) ве­

личину коэффициента запаса

(

pt = 4 , 2 ) ,

по формуле (2 .48)

по­

лучим

т1 = 4,2 .

Следовательно, для обеспечения заданной надежности нор­

мального функционирования в каждом индивидуальном комплекте

должно быть

5 элементов

Z-го типа.

Всего

в десяти

индиви­

дуальных комплектах должно быть 50 элементов

L -го

типа.

Создадим один групповой комплект.

При этом среднее

ожи­

даемое число отказов увеличится в десять

раз, т .е .

Ai r =

10.

По той же кривой найдем

р и

= 1 ,9 .

Таким образом,

в

группо­

вом комплекте должно быть только 19 элементов

L -го

типа.

Как видно из

этого

примера, групповой комплект

значитель­

но экономичнее,

чем ряд индивидуальных.

В условиях нашего при­

мера выигрыш достигает

2 ,5 .

*•

Вывод об экономической целесообразности перехода к груп­

повым комплектам запасов справедлив и при

h

Ф °°

несмотря на

то , что кривая зависимости р

= ф(А) имеет минимальное

значение

при определенной величине

А

. Это объясняется тем обстоя­

тельством, что при увеличении

числа технических систем, обес­

печиваемых одним комплектом, растет число элементов каждого

типа в

суммарной технической

системе.

Это приводит к

росту па­

раметра h . Следовательно,

величину

р

необходимо опреде­

лять по другой кривой,

соответствующей другому

значению

h

Подтвердим сказанное

примером.

П р и м е р

2 .2 .

Пусть

в условиях примера

2.1

для инди­

видуального комплекта

hu =

5.

Тогда при г(Т)= 0,998 и Д-= I

будем иметь

pt =

5 ,3 .

Это означает,

что

в каждом индивидуаль­

ном комплекте должно быть по 6 элементов

L-го типа, а всего

в десяти индивидуальных комплектах - 60

элементов L -го типа.

Цели при тех же условиях создать один групповой комплект,

то для

этого

комплекта, очевидно, будет

Ai r =

10,

hr -

50,

при этом величина коэффициента запаса

р =

2 ,3 .

Таким обра­

зом, групповой комплект будет

содержать лишь 23 элемента

L -го

типа.

боров,

резисторов, конденсаторов и т . п . ) .

При сокращении чис­

ла типов элементов

уменьшение запасов про­

исходит по трем причи­

нам: а) увеличение

среднего

ожидаемого

числа отказов, приво­

дящее к уменьшению

коэффициента запаса;

б) увеличение пара­

метра

h

, также

вы­

зывающее уменьшение

коэффициента запаса;

ри с.2 .7 . Зависимости коэффициента за -

в) уменьшение числа

паса

от

параметра Ъ

групп

L

,

вызывающее рост вероятности

нормального функцио­

нирования группы.

Для иллюстрации эффективности действия второй причины на

р и с.2.7

приведены зависимости коэффициента запаса от величи­

ны параметра

h

при

постоянных

А

и

п ( Т ) .

Поясним сказанное

примером.

П р и м е р

2 .3 .

Пусть в некоторой радиотехнической стан­

каждого типа. Интенсивность отказов всех ламп одинаковая и

С

отк/час.

«

равна 10

Интенсивность отказов радиоламп при хра­

нении равна

5«К Г 6

отк/час.