Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Владимирович Г.И. Управление запасами. Методы расчета индивидуальных и групповых комплектов запасных элементов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.10.2023

Размер:

7 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 224 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

ления в системе заданного числа отказов с учетом отказов элементов запаса. Некоторые методы решения этих задач приво дятся в последующих параграфах.

Более сложной является задача синтеза СУЗ, т .е . определе ние рационального состава запасных элементов по типам. В об щем случае при синтезе даже простейшей СУЗ, какой является однофазная разомкнутая СУЗ с ограниченным запасом, необходи мо решать комплексную задачу на минимизацию стоимости выпол нения боевых задач, так как при изменении номенклатуры эле ментов, т .е . при переходе от запасов по типовым элементам к узловым или блочным запасам, увеличивается стоимость запасов, но одновременно уменьшается время ремонта технической систе мы, что положительно сказывается на готовности и приводит к уменьшению стоимости выполнения боевой задачи. Инженерная ме тодика решения подобной задачи еще не разработана и единст венно приемлемым способом ее решения является метод перебора вариантов.

Однако в ряде случаев эту комплексную задачу удается рас членить на ряд последовательно решаемых более простых задач. Например: определение ])ационального значения вероятности нор мального функционирования технической системы, выбор наиболее целесообразного деления технической системы на элементы за паса, расчет комплекта запасных элементов и обоснование усло вий хранения запаса. Методика решения частных задач рассмат ривается в последующих параграфах.

§2 .2 . Исходные соотношения для чпределения вероятности нормального функционирования . лхнической системы

Из	выражения	(2 .1 ) следует,	что для		определения вероят
ности	нормального функционирования			R	необходимо вычислить
вероятности г ^ Т ), г2{ Т ) , г £ П ,			т .е .	вероятности того, что за
время	Т число отказов ь : -й группе будет меньше числа за
пасных	элементов	mL . Другими словами,

пс(Т) = Вер {к . m j .	(2.2)
Если известно распределение числа отказов	элементов в
i -й группе, т .е . величины

Pi,W * PiP") i • •• 1Pi/P") , .. . ,

				31
где	p ik (Г)		представляет	собой вероятность возникновения ров
но	к	отказов за время		эксплуатации	Т , то	вероятность г-(Т)
может быть			определена по q-ормуле
			н < о - \| pJ t > ■				(2 .3 )
			н < о - \| pJ t > ■
	Следовательно, для вычисления вероятности					r t ( T )	доста
точно		вычислить вероятности pLk( T )			для каждой группы эле
ментов технической системы.
	Рассмотрим методику			вычисления вероятностей рк			для от
дельно взятой группы при различных условиях.
	I .	Группа состоит из		идентичных	элементов.	Интенсивность

отказов всех элементов постоянна. Элементы запаса не отказы

вают.								п
Сформулируем следующую задачу.				Пусть		группа	содержит	п
одинаковых элементов. Интенсивность отказов всех элементов
не зависит от	времени, т .е .
		л,=л2=	.. = ЛП=Л = const.				(2 .4 )
Структурная схема надежности группы представляет собой
последовательное соединение			элементов		(ри с.2 .3 ).
Техническая система должна работать непрерывно в течение
срока эксплуатации		Т . Перерывы допускаются лишь на время,
необходимое на ремонт (за -
мену неисправных элемен				Оснобные элементы
то в ).			Л.		Л.			Л„
К группе	придан	за	1	-	O	G O	------- С
пас из т элементов.		Интен	1	-	O	G O	------- С
пас из т элементов.		Интен
сивность отказов элементов
в режиме хранения ш рав							Запасные
на нулю, т .е .				а/ -О		и	элементы
				а/ -О		и	элементы
ш, = 0)2= . . . = и)т =ш = 0 .						т
При выходе из	строя	основ				т
При выходе из	строя	основ	Рис.2 .3 .		Структурная схема			группы
ного элемента	системы он		Рис.2 .3 .		Структурная схема			группы
ного элемента	системы он

заменяется из запаса. Интенсивность отказов запасного элемен та , поставленного вместо отказавшего, совпадает с интенсив ностью отказов основных элементов.

Кроме того, будем считать, что - отказы всех элементов технической системы независимы;

-переходные процессы при включении и выключении системы не вызывают увеличения интенсивности отказов;

-дополнительные отказы за время ремонта не возникают. Так как по условию поток отказов каждого элемента техни

ческой системы является стационарным, ординарным и без после действия, то суммарный поток отказов группы из п элементов также является простейшим, т .е . обладает свойствами стационар ности и ординарности и не обладает последействием. Известно, что в этом случае интенсивность отказов суммарного потока А определяется по формуле

Л = |}Л ;. = пЛ.

(2 .5 )

Для простейшего потока распределение вероятностей получе ния ровно к отказов подчиняется формуле Пуассона

Д О =	(Л и	-АТ
Д О =	к>	(2.6)
	к>

Следовательно, согласно выражению (2 .3 ) вероятность нор мального функционирования группы определяется по формуле

(2 .7 )

2. Группа состоит из элементов одного типа. Интенсивность отказов элементов труппы постоянны во времени, но не равны между собой. Остальные условия первого случая сохраняются.

Очевидно, что и в этом случае интенсивность отказов сум марного потока определится по формуле

(2.8)

Так как интенсивность отказов суммарного потока не зависит от Бремени, то поток отказов группы будет также простейшим. Сле довательно, вероятность нормального функционирования группы будет вычисляться по формуле (2 .7 ).

Для удобства вычислений полезно ввести понятие средней

интенсивности отказов элементов группы А	. Величина сред
ней интенсивности определится равенством

33
	(2 .9 )
В формуле (2 .7 ) произведение А Т	представляет собой

среднее ожидаемое число отказов в группе за время Т. Обозна

чим эту величину через				А . Тогда
				(2.10)
Здесь		величина	А	соответственно равна:
-	для	первого	случая
				( 2 . I I )
				А = лЛ Т ;
-	для	второго	случая
				(2. 12)

3. Группа состоит из идентичных элементов. Интенсивности отказов элементов группы не постоянны во времени.

Рассмотрим случай, когда интенсивности отказов всех эле ментов группы одинаково зависят от времени, т .е .

A,(t) = A2(t) = ... = A n(t) =A(t) .

(2 .1 3 )

Все остальные условия первого случая сохраняются.

В этом случае интенсивность суммарного потока отказов оп

ределяется следующим образом:
Alt) - jA ^ l t ) = nAtt) .	(2 .14)
Alt) - jA ^ l t ) = nAtt) .

Вели поток отказов каждого элемента обладает свойством ординарности и не обладает последействием, то суммарный по ток отказов также будет иметь эти свойства. Для этого случая А.Я.Хинчиным [23] была получена следующая формула для расче та вероятностей появления заданного числа отказов:

(2 .1 5 )

Вели здесь ввести обозначение

				j A U ) d t .					(2 .1 6 )
причем величина			А	опять представляет			собой среднее			ожидае
мое число отказов за период эксплуатации							Т , то	формула
(2 .1 5 )		совпадает	с	выражением	(2 .1 0 ).
	4 .	Группа состоит из			идентичных		элементов.		Каждый элемент
отказывает через определенный интервал времени. Режим эксплуа
тации		группы стационарный.
	Рассмотрим другой крайний случай,					когда долговечность
каждого элемента труппы является строго							определенной и равной
г	. Этот случай будем рассматривать					при условии,			что	к момен
ту включения системы уже имеет место та или иная выработка ре
сурса		отдельных	элементов группы. Это объясняется двумя причи
нами:		а ) элементы группы к моменту постановки их						в	техническую
систему имеют различные сроки хранения и, следовательно,											раз
личный потерянный ресурс; б) с начала						эксплуатации			технической
системы вышедшие из строя элементы заменяются исправными из
запасов, срок хранения которых является случайной величиной.
Таким образом, если				группа эксплуатируется достаточно длитель
ный срок, то в данный момент времени						все	элементы группы будут
обладать различным остаточным ресурсом.
	В этом случае,			как показано Н.М.Седякиным [4,16]						, диф
ференциальный закон распределения времени между отказами											W(t)
может быть определен по формуле
										(2 .17)
яри п > 2 .								п
	По мере увеличения числа элементов в						группе		функция
W	( t )	приближается к экспоненциальному распределению, а									в
пределе						. 1
				Urn W(t) = у		ег			(2 .18)

Таким образом, даже в случае детерминированного потока от казов каждого элемента суммарный поток отказов группы будет приближаться к пуассоновскому. Расчеты показывают, что при П & 10 суммарный поток является практически пуассоновским.

Следовательно, в рассматриваемом случае распределение ве-

роятности возникновения к отказов будет такие описываться выражением (2 .6 ), а вероятность нормального функционирования группы - выражением (2 .1 0 ), в котором

	п Т	(2 .19)
	I	(2 .19)
	I

Н.М.Седякиным получено следующее условие сходимости сум марного потока отказов к пуассоновскому:

где	Т - средняя	наработка	j -го элемента на отказ.
	Следовательно,	если неравенство (2 .20) выполняется, то

независимо от характера распределения времени безотказной работы элементов в группе распределение интервалов между от казами в группе будет практически экспоненциальным.

Приведенные четыре случая охватывают значительное число практических вариантов, характерных для радиоэлектронной ап паратуры. Следовательно, в большинстве практических случаев вероятность нормального функционирования отдельно взятой груп пы при условии отсутствия отказов элементов запаса может быть определена по формуле (2 .1 0 ).

Рассмотрим теперь случай, когда интенсивность отказов элементов запаса не равна нулю. Для этого сформулируем сле

дующую общую задачу.	состоящая из п однотипных
Пусть имеется группа,	состоящая из п однотипных			элементов,
интенсивности отказов которых соответственно равны
причем все значения Л не	зависят	от времени.	Отказы	отдель
ных элементов группы будем считать		попрежнему	независимыми.

Группа непрерывно работает в составе технической системы. Кро


ме того, будем считать, что
- переходные	процессы	при включении и выключении техни
ческой системы не	влияют на интенсивность отказов		элементов;
- во время ремонта дополнительных отказов не			возникает.
К группе придан запас		из m элементов. Интенсивность от
казов элементов запаса в		режиме хранения постоянна и равна ш ,

а в режиме работы совпадает с интенсивности) отказов того эле

мента	, ш есто которого поставлен запасной	элемент.
В	этих условиях требуется определить	вероятность нормаль

ного функционирования группы в течение времени эксплуатации Т при отсутствии возможности пополнения запаса.

Решение этой задачи может быть выполнено методами теории массового обслуживания. Для случая

Л. = А г = Лз = • • • = Л п '

решение приведено в монографии Н.М.седякина [1 6 ]. Однако су ществует и более простой способ решения этой задачи. Рассмот рим этот способ.

Вели величина интенсивности отказов основных элементов группы не зависит от времени, то суммарный поток отказов всей группы также не зависит от времени, т .е . с учетом дополнитель ных условий является простейшим. В этом случае группа из п основных элементов, имеющих разную интенсивность отказов, мо жет быть заменена эквивалентной группой из п элементов, каж дый из которых имеет одну и ту же интенсивность отказов Л . Величина Л определяется из выражения (2 .9 ) . Это утвержде ние непосредственно следует из того факта, что распределение числа отказов в группе загасит только от среднего ожидаемого числа отказов в группе и времени Т и не зависит от значений


интенсивности отказов отдельных элементов.
Таким образом,				группа из п		основных элементов,		имеющих
различные значения интенсивности отказов							, Л2 ,Л	, . . . ,ЛП
и т запасных			элементов		(р и с .2 .4 ,а ), может		быть заменена
эквивалентной группой с элементами, имеющими одинаковую ин
тенсивность		отказов, и тем же числом запасных элементов, имею
щих интенсивность отказов					ш	(ри с.2 .4 ,б ).
В свою очередь,				группа, изображенная на ри с.2 .4 ,б на ос
новании работы			[ 9 ]	может быть заменена экгавалентной группой,
имеющей	h	основных		элементов с		одинаковой интенсивностью
отказов,	равной		ш	и т	запасных элементов с интенсивностью
отказов	со	(ри с.2 .4 ,в ):

h - n ±

(2.21)

со

где h - целое число

Хорошо известно, что для группы из Л основных и т за пасных (резервных) элементов, имеющих одинаковую интенсивность отказов, распределение

числа отказов подчиня		А	А		А		1	А
ется биномиальному за	1	/	Н 2	=	)ГГ	.-J	1	п 1
кону:	1	/	Н 2	=	)ГГ	.-J	Lr1 1 1
кону:

к _h + m - k

(2.22)

Здесь величина ^ = 1 - р представляет

собой вероятность отка за одного элемента за период эксплуатации Т.

Следовательно, со гласно формуле (2 .3 ) вероятность нормально го функционирования группы вычисляется так:

	со	п	и
	С0	п	г \
О)	со	1 т	1
1	л	Л		л
П 1 ] £		Н Г Т —		- г j l J
П 1 ] £	Т З
	(О	Ш
	(О Ш
6)	(О	I т	1
и		ы		со	со

Q н е г и з и — с ж н ю

		ш	со
к h+m -k			со

h+m ЧР	в)	I /7 7	I СО

	Рис.2 .4 . Структурные		схемы эквива-
	(2 .23) лентные по вероятности безотказной
	работы	и распределению числа отказов

Биномиальное распределение справедливо для систем со структурной схемой, изображенной на рис.2 .4 ,в , независимо от закона распределения интервала длительности безотказной рабо ты отдельного элемента, входящего в систему. Поэтому выраже ние (2 .23) охватывает более широкий класс групп, чем это ука зано в постановке задачи. Очевидно, что выражение (2 .23) точ но описывает вероятность нормального функционирования для тех групп, для которых справедлив переход от струк.'фной схемы рис.2 .4 ,б к структурной схеме рис.2 . 4 , в .

В следующем параграфе приводится доказательство справед ливости указанного перехода и определяются границы его приме нения.

Выражение (2 .22) может быть представлено в несколько ином виде. Вели ввести в рассмотрение величину А , представляю щую собой среднее ожидаемое число отказов в основной группе:

А = ПЛ.Т = h w T ,

(2 .24)

то выражение (2 .22) может быть преобразовано к следующему виду:

№ = С	- А И 0	Г *	г	(2 .25)
№ = С	е	е	- I	(2 .25)
Соответственно и формула (2 .23) может		быть записана		так:
Кг) = е 4(?♦ t )				(2 .26)
Кг) = е 4(?♦ t )

По формуле (2 .26) рассчитаны таблицы и построены соответ ствующие графики (см .р и с.2 .11), являющиеся основными для ин женерного расчета состава комплекта запасов первого уровня в случае его периодического пополнения или отсутствия попол нения.

Кроме того, полезно иметь ввиду возможности иного написа ния формулы (2 .2 6 ):

(2 .27)

которая получается путем сравнительно несложных преобразова ний формулы (2 .26) с учетом того факта, что

h+m

£/> Я ■ ' •

При практических расчетах для небольших значений h (h 4 Ю ) более удобно использовать следующую формулу:


Наконец можно доказать,		что при		h = const		и А = const
последующее значение	? т + , ( т) ~ ^ ~ 1’т ч (У)				можно найти, зная
два предыдущих значения	q ^ ( T )		и	q m(T )	,	по формуле
ч . т -		h+m
ч . т -		/77 + /

§ 2 .3 . Доказательство эквивалентности перехода

Известно, что работоспособность элементов при воздействии на него различных факторов со временем уменьшается. Говорят, что в процессе эксплуатации элемент расходует свой запас рабо тоспособности F . Мерой уменьшения запаса работоспособности, потерянного элементом за время t , может служить величина

		F ( t ) =		- In		P (t),					(2 .28)
где	P ( t )	- вероятность	безотказной работы						элемента за
время	t .
Поскольку для элемента
		P ( t ) =	e x p -		\| a(z ) c(e						(2 .29)
формулу (2 .28) можно предсташть					в ином виде:
				f							(2 .30)
		F ( t ) = U z ) t fz .
На основании физического закона надежности, сформулиро
ванного Н.М.Седякиным [18,19]				, можно составить						следующее ус
ловие	равнонадежности систем,			имеющих в			общем случае				различ
ную структуру. Нели для структурных						схем		Л и	В	функции рас
хода запаса		работоспособности		равны		FA( t	)	и	Ffl( t )		соответ
ственно и если при всех значениях времени								t		выполняется
тождество
		W	-								(2 .3 J)

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 224 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ