Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Шмыголь С.С. Определение и прогнозирование движения центра масс летательного аппарата по результатам траекторных измерений

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.10.2023

Размер:

4.4 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 138 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Сам же аппроксимирующий полином в этом случав будет иметь вид

р к { ъ ) = а 0 + а , ? + а г ч : г + а ^ 3.

(152)

В таком виде полином (152) может быть использован для оп ределения сглаженных значений координат на интервале аппрокси мации

Определение параметров движения в средней точке интервала аппроксимации

Теоретические исследования и практика выполненных расче тов показывают, что яаилучшая точность аппроксимации получает

ся именно для середины интервала				J~£f 7	,т .е . для t = t s .
Получим расчетные формулы для			этого частного, но весьма важ
ного	случая.
	Для того, чтобы определить параметры движения для момента
времени		, необходимо формулу		(152)	продифференцировать два
раза	по времени и положить, что Cc = <os = 0 :
		P k s -	& о *
		P k s ~	в 1 }		(153)

Р k s — 2 от2 •

Если выражения для коэффициентов” d и Ь из (14-9),(14-8)

и(147) подставить в формулы (151), то с учетом соотношений

(153)для вычисления координат в средине интервала аппроксима ции получим формулу

P k s = Рк з +				^ Рк&	^ k s ) »	/ < - / , 2 , 3 ,	(153)
где
р		=	с+ 1	\ j * x s 1	(Pn,s-i-i + Px )
r	K S	2	с+ 1	\ j * x s 1	(Pn,s-i-i + Px )
r	K S

LKS

Fс, =

3 .2 J^2 (Pn,s + i + P k , s - i )J

c ( c + t) (2c + /)

5 c ( c + l )

4-c( c + 1 ) - 3

		71
В формуле	(153	) первое слагаемое представляет собой глав
ную часть, а	второе	имеет порядок поправки на нелинейность ап

проксимируемой опытной зависимости координат от времени. Используя вторую формулу (153) с учетом соотношений (151),

(147), (148)			и	(149), можно получить формулы для вычисления со
ставляющих скорости движения ЛА в момент									t s	:
	P«s = o t Ks+ $ c (°i K s -					co« s)	1	к =	1, 2 , 3 .		(154)
Здесь										/
Здесь
			_ 3_ j it В				~ P k , s -
		KS		h	с ( с + 1) ( 2 c + 1)					’
			_	15_		(Py,s+t~PK,s-t.)J
	i° KS			И c ( c + 1) ( 2 сч-1) ( 3 c 2+ 3 c - 1)
		,	_ 7		(3 c Z+ 3 c - f ) *
		$c ~ J ' k c 3 ( c + 2 ) ~ c ( 7 c - f1) + 6 ’
где	h -	шаг измерений.
	В формуле (154) первое слагаемое также представляет собой
главную		часть,		а второе - поправку.
	Выражения для составляющих ускорения движения ЛА по осям
координат		р К	получается			аналогично		при использовании форму
лы (153):
				••	^ 3 0	L KS	PKS				(155)
				Я к з Г h z ' b c ( c + i ) - 3							(155)
				Я к з Г h z ' b c ( c + i ) - 3
где	L K s , PKS вычисляются по формуле (153).
	Полученные			выше формулы (153 ) ,				(154)	и	(155)	позволяют
непосредственно				по координатам			р ’	вычислить		сглаженные (уточ

ненные) значения координат, составляющих скорости и ускорения

направления	осей координат			р К в	средней точке	интервала		ап
проксимации	[£ ,	, t	n] .
При С =	I	общее число		точек	на интервале	аппроксимации
п = 3. Это совпадает с показателем степени полинома							т -	3.
После подстановки			с = I	в формулы (153) и (154)			получим
выражения для координаты и скорости в момент времени							t s	:

(156)

Это означает, что аппроксимирующий полином при т = п превращается в интерполяционный полином Лагранжа и никакого сгла живания (уточнения) координат и скорости не производится.

Вконце параграфа рассмотрим вторые члены в формулах (153)

и(154). Нетрудво убедиться, что они являются малыми величина ми в случае, когда на участке аппроксимации зависимость p R ( t - j

близка к линейной.	1
В самом деле, при	с = I получаются следующие выражения
да* PKS и L KS‘

Из формулы видно,			что р	представляет	собой	среднее ариф
метическое из трех, a			L Ks-	из двух опытных данных в окрест
ности точки	t s	. Если бы ошибок измерения			не было, а опытная
зависимость	р к	( t-L)	была линейной, то PKS		= £	.
В реальных		случаях экспериментальная зависимость на участ

ке аппроксимации близка к линейной. Поэтому можно считать, что выполняются приближенные равенства:

Р	л /
'К s	и К S >

Их разности ( Рк s - Z, к s ) H ( o l K3- c o KS) являются малыми вели чинами по сравнению с первыми членами. Можно показать, что функ ции Fc и Фс ограничены п поэтому вторые члены в формулах

(153)и (154) также являются малыми.

Поэтому на участках довольно частых измерений, где при до статочно большом значении с зависимость р н ( t ) будет близка к линейной, можно пользоваться укороченными формулами для оп ределения координат и скорости движения ЛА:

(157)

(158)

Р k s ~ 04 k s *

§10. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ДВИЖЕНИЯ ПО ИЗБЫТОЧНЫМ ИЗМЕРЕНИЯМ

Впроцессе определения параметров движения по избыточным


измерениям используются исходные			данные		в виде координат		р к
или составляющих скорости	р н	,	вычисленные			по опытным доста-'
точным измерениям r f .	И так	как		последние		содержат ошибки
измерений, то и параметры движения				р н	также	получаются	с

ошибками, которые могут быть оценены по формулам, выведенным

в § 7.
При оценке точности определения параметров движения по из
быточным измерениям будем считать параметры	р к свободными от
систематических погрешностей, мх случайные	ошибки - независи

мыми, а измерения - равноточными в пределах интервала аппрок симации.

В этом случав для ошибки вычисления координат по формуле

(153) можно получить		следующее выражение:
	6 Р		б Рк	(159)
			=
	r HS
где е>р	- ошибка определения координат по достаточным			изме
рениям;*	Fc - функция от с , определяемая в уравнениях			(153).

Эта же формула пригодна и для оценки ошибки в определении составляющих вектора скорости движения ЛА по формуле (153). Это возможно, как отмечалось выше, в том случае, когда в ка честве исходных материалов для этой формулы использовать со ставляющие вектора скорости, полученные непосредственно по из

меренным значениям скорости	( В , & , & ) •
В тех же случаях, когда	составляющие скорости определяются

	по формуле (154) для ошибки скорости, можно получить следующую
	формулу:	o,s
	в,Р к	o,s
	в,Р к	3 { 1 + Ф с )
	=	(160)
		с ( с + 1)(2 с + 1)

где 5 - - ошибка определения координат по достаточным измере ниям; УнФс- функция от С , определяемая в уравнениях (154)

Если же для определения сглаженных значений координат и составляющих вектора скорости использовать укороченные форму лы (157) и (158), то ошибки при этом можно оценить по формулам

	74
s	( Ш )
’p« s	V z c + T ’

	3	0,5
		(162)
	c ( a - 1) ( 2c + 7,)

Сравнение соответственных формул (159) с (161) и (160) с (162) показывает, что учет дополнительного члена в расчетных формулах (153) и (154) увеличивает случайную ошибку определения коорди

нат p KS в l/ 1 + Fc	раз, а ошибку определения составляющих
скорости вуТ+Ф^	раз. Но использование укороченных формул

(157) и (158) приводит к методическим ошибкам, величины кото

рых 8 p KS и 8 p KSмогут	быть оценены вторыми членами формул
(153) и (154), которые	в укороченных формулах не учитываются:
	(163)
Сравнивая систематические ошибки 8 р н в ъ б p KS , вызванные

переходом к укороченным формулам определения параметров движе

ния, с уменьшениями	случайных ошибок	Д е ^ и Дб^	соответ
ственно, вызванными	тем же переходом,	можно сделать	вывод о

целесообразности использования укороченных формул. При этом ве

личины Д© и	Д ©•	можно определить до формулам
			>	(164)
В заключение остановимся на выборе интервала аппроксима
ции, величина которого характеризуется числом точек с				,	вхо
дящих в интервал	[£;	,	, и величиной шага измерений		h d
Как видно из	формул для		оценки точности координат-,	ошибка

их определения непосредственно от шага измерений не зависит. Она зависит от числа с . Как следует из формул (161) и (159),


с увеличением	с случайная ошибка		определения сглаженных зна
чений координат уменьшается. Однако			с ростом	с	при неизмен
ном шаге h	увеличивается	протяженность участка			аппроксимации
и, как правило, возрастает		нелинейность, а с		ней	и методиче

ская ошибка аппроксимации опытной зависимости. Поэтому должно существовать оптимальное значение с0пт , которое обеспечивает минимум общей ошибки в определении сглаженных значений коорди нат .

Ошибка в определении скорости по избыточным измерениям, как

видно из формул (160) и (162), зависит		не только от		с	,	но и
от величины шага опытных данных h	на	участке	аппроксимации.
Оптимальное число сопт (или шаг	h	) можно	нейти методом
выполнения серии расчетов с различными		значениями		с	и	h с
последующим анализом полученных результатов.

■Для уменьшения количества вариантов при этом исследовании можно воспользоваться приближенными формулами, полученными пу

тем исследования на экстремум простейших формул	для опреде
ления скорости
с о п т	(165)

где третья производная от сглаженной координаты по времени мо жет быть определена по формуле

,•			7 0 ( 3 0 * * 3 0 - 1 )
Р “ ’	-	h*	' t c V	Sc3- 7 с* -11		'	(	)
Как следует		из фородлы (165),		значение С0пт при			заданном
шаге h и точности исходных данных б ^ к					существенно зависит
от скорости изменения ускорения ЛА p KS .					На тех участках траек
тории, где ускорение движения ЛА меняется слабо, абсолютная
величина производной \| p KS\|			имеет меньшее		значение, чем на тех
участках, где ускорение движения меняется					по времени сильно.
В последнем случае количество точек, входящих в интервал ап
проксимации,	должно быть меньшим.
Значение	с опт тем больше, чем меньше				шаг исходных данных

при прочих неизменных условиях.

В заключение следует заметить, что приведенные формулы для определения сглаженных значений координат, составляющих скоро сти и ускорения, могут быть непосредственно использованы и для определения отклонений параметров фактического движения от их расчетных значений.

Г л а в а 3

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7ВИЖЕНИЯ ДА ПО ИЗБЫТОЧНЫМ ТРАЕКТОРНЬШ ИЗМЕРЕНИЯМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ

Рассмотренные ранее методы позволяют определять параметры движения на, любой момент времени непосредственно по результа там достаточного количества траекторных измерений. Указанные методы целесообразно использовать для определения параметров движения в том случае, когда на ЛА действуют большие сравни тельно быстро меняющиеся силы, характеристики которых нуждают ся в уточнении по материалам траекторных измерений. Примером такого случая может являться движение ракеты на активном участ ке траектоши.

Что же касается определения пассивного движения ЛА по ре зультатам измерений, когда участки траектории имеют большую протяженность и не могут быть всплошную проконтролированы с помощью траекторных измерений, то здесь целесообразно приме нять методы, использующие не только результаты траекторных из мерений, но и уравнения движения ЛА. При этом, как увидим ниже, непосредственно по опытным данным могут определяться не только

параметры движения,	но и некоторые суммарные его характеристики,
Под термином "определение движевия" будем в дальнейшем по
нимать определение по результатам		траекторных измерений r f
не только параметров	р к ( к = 1,2,...,б),		но и указанных выше сум
марных характеристик	движения у	( i =	/, 2 ,, .. , я).

Известно, что параметры движения связаны с характеристика ми траектории:

Рк = Pk ( 4 i >*)■

(1б7>

А так как измеряемые		параметры	r f	зависят		от	параметров
движения
= rf	(рк ) ,f = l , 2		1 . . . ,		N ,		(168)
то они также зависят и от		элементов траектории
	^	= <?f ( Яь	> * ) •				(1б9)
Если бы измеренные	значения параметров				былиточными (^. = 7j^),
то имело бы место равенство
			=				( 1 7 0 ) .
Здесь, как и в дальнейшем, будем считать,				что ц ^ ^ и			rf отно
сятся к одному и тому же моменту времени					t f -	времени выпол
нения измерения.

В этом случае можно было бы подобрать такую единственную совокупность элементов траектории , которая удовлетворя ла бы уравнению (170).

Для этого можно было бы использовать любую выборку измере ний, объем которой равен количеству определяемых элементов тра ектории.

Но поскольку все практически получаемые измерения содержат

ошибки Д гу		и
				r f	-	r f + Д r f ,		(171)
то совокупность истинных					(без ошибок)значений		элементов тра
ектории	q,l	не будет удовлетворять условию
						? > = 0 -		(172)
Если же из			последних		соотношений при N =		п	определить
элементы орбиты			^	,	то они будут содержать ошибки:
				Я г Я ь + П ь -				(173)
Для того, чтобы в какой-то						мере компенсировать		влияние ошибок
измерений	A r f		на ошибки определения элементов траектории Д ^ ,
необходимо	использовать				избыточное количество		измерений (№»п)>

В этом случае система уравнений (169) будет несовместной и мо жет быть записана только условно. Называется она в этом случае системой условных уравнений.

	78
»>= <pf ( £ J ,		( m )
f = 1 , 2 , . . . , N ,		( m )
f = 1 , 2 , . . . , N ,
i	2 , • • • 3 П у

N ^ n .

Уравнения (170) для реальных измерений запишутся в виде урав нений ошибок (невязок)

		4V			=	<175>
где	невязка A r f	представляет			собой отклонение измеренного зна
чения параметра		ту	от	его	значения cjy ( )	, рассчитанного
по найденнда значениям			^	.	Так как система условных уравне
ний несовместима, то возникает вопрос о том, какие значения
q,t	лучше всего	согласуются			с измеренными значениями ту .
	С учетом введенных выше понятий можно сформулировать зада

чу определения движения ЛА по избыточным измерениям следующим образом.

По выборке R n опытных измерений определить такую совокуп ность элементов траектории ^ , которая вместе с системой дифференциальных уравнений движения ЛА обеспечит получение рас четной траектории, наилучшим образом (в смысле выбранного кри терия) удовлетворяющей взятой выборке опытных измерений.

Система уравнений движения ЛА представляет собой шесть диф ференциальных зависимостей первых производных параметров движе

ния	по времени от действующих сил		Q ■	,	времени t	и началь
ных	значений параметров движения		р к 0		или элементов траекто
рии	q lo , которые впредь будем именовать начальными условия
ми и писать без индекса		ноль:
	Р к =	Р к ( 0S . Я г	> *	)	’	(Г76)

где 6>Sj(s = 7,2,...)- силы, действующие на ЛА в полете.

§ I I .	ОБЩАЯ СХЕМА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Сформулированная выше задача представляет собой задачу по
лучения оценок	некоторых функций ^ от измеряемых параметров,
выборка которых	R N является исходной [S] . Из математиче

ской статистики известно, что несмещенные и эффективные оценки могут быть получены путем применения метода максимального прав доподобия [ з , 5, б ].

При выводе расчетных соотношений будем исходить из необ ходимости получения несмещенных и эффективных оценок, которое косно записать в виде:

	=	<177)
где	- истинные значения определяемых элементов траектории;
МЩЬ) -	математическое ожидание случайной величины	. Усло

вие эффективности оценок, как известно, может быть записано в виде

m i n ,

' (178)

где D - дисперсия ошибки определения элемента траектории» Системы условных уравнений (174) и уравнений ошибок (175)

существенно нелинейны. Однако при достаточно малых ошибках из мерений можно найти достаточно хорошее нулевое приближение и эти зависимости могут быть линеаризованы. Для этого определяе мые элементы траектории представим в виде.

				(179)
где	предварительные значения элементов траектории (ну
левое	приближение);	- искомые поправки;	qrl -	уравнове
шенные .значения неизвестных элементов траектории.
Если подставить уравновешенные значения элементов				<^г в
условные уравнения (174), то последние будут выполняться.
Разложив функцию cfy.		в ряд Тэйлора в окрестности		траекто
рии,	определяемой элементами нулевого приближения			, и ог

раничиваясь членами первого порядка, получим приближенное ра венство

чл<И) +1=!£	H i ) o H i	(180)

Методическую ошибку, обусловленную линеаризацией, пока учиты вать не будем.

Частные производные и расчетные значения измеряемых пара метров обозначим соответственно

% ( я ? ) = 4 °'■ _

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 138 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ