книги из ГПНТБ / Шмыголь С.С. Определение и прогнозирование движения центра масс летательного аппарата по результатам траекторных измерений

н о

ошибок, uozEO показать, что в этой случав тройная сунна в вы­ ражении (255) равна числу определяемых элементов траектории

п 1= п .

Средняя квадратическая ошибка единицы веса неравноточных независимых измерений, как это следует из формул (254), (255) при л ' = п , может быть вычислена по формуле

где величины Д гу определяются в каждом приближении как раз­ ности фактических и расчетных значений измеряемых параметров.

После выполнения последнего уточнения элементов траектории в величину . б 0 необходимо внести поправку, обусловленную сме­ щением расчетных значений измеряемых параметров за счет ошибок определения элементов траектории. С учетоы этого для оценки

формулу (247), можно оценивать точность определения элементов

Г л а в а 4

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ДА И ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ

§ 17. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ДА

В ряде случаев возникает необходимость не только определить с заданной точностью уже совершившееся движение, но и предвычислить (спрогозировать) его на определенное время в будущем. Это, вообще говоря, является известной и широко применяющейся первой задачей механики: по известным начальным условиям и ха­ рактеристикам системы действующих на ДА сил необходимо опреде­ лить параметры его движения в функции времени или соответствую­ щие элементы траектории.

При решении задачи прогнозирования движения ДА будем счи­ тать, что фактическое движение ДА определено с заданной точ­ ностью с помощью рассмотренных ранее методов. Это означает, что путем соответствующей обработки результатов фактических измерений определены начальные условия для прогнозирования дальнейшего движения ДА, уточнены характеристики действующих на вего сил.

Существующие в настоящее время методы прогнозирования мож­ но условно разделить на три группы: численные, аналитические и смешанные.

Рассмотрим коротко содержание этих методов.

Численные методы

К группе численных методов относятся все те методы предвычисления параметров движения ДА или элементов его орбиты, кото­ рые используют численные методы интегрирования систем диффе-

и г

ревциальных уравнений. Рассиотриы основные методы этой группы.

Этот метод предусматривает наличие системы дифференциаль­ ных уравнений и начальных условий движения ЛА в той системе координат, относительно которой необходимо прогнозировать дви­ жение:

чальные условия для решения системы (259), полученные на осно­ вании опытных данных.

При этом могут использоваться абсолютные геоцентрические системы координат как прямоугольные, так и цилиндрические. В этом случае, как известно, правые части системы дифференциаль­ ных уравнений движения записываются наиболее просто [YJ. Одна­ ко требующийся в ряде случаев пересчет полученных параметров движения в относительные системы координат, связанные с пункта­ ми наблюдений, требует дополнительных преобразований получен­ ных параметров.

Если же для прогнозирования используются относительные

А

геоцентрические системы координат, то таких преобразований будет меньше. Правда, в этом случае правые части системы диф­ ференциальных уравнений движения будут записаны немного слож­ нее за счет членов, содержащих угловую скорость вращения Зем­

Следует также заметить, что системы цилиндрических коорди­ нат позволяют применить больший шаг интегрирования, что может оказаться важным при больших сроках прогнозирования.

Заметим, что современное состояние вычислительной техники позволяет получить вполне приемлемые результаты с помощью ме­

тода прямого численного интегрирования для прогнозирования дви­ жения на сравнительно небольшие сроки.

и з

Недостатка! этого метода является сравнительно большой расход мапнвого времени и понижение точности расчетов при увеличении сроков прогнозирования.

Как известно, оскулирующие элементы орбиты ЛА изменяются по времени значительно медленнее и в меньшей мере, чем пара­ метры движения. В связи с этим в ряде случаев оказывается вы­ годным интегрировать численными методами систему уравнений оскулирующих элементов орбиты:

где , q to~ текущие и начальные значения оскулирующих элементов орбиты а , е , i , со , Q., Z 0 ,

Основные недостатки этого метода подобны недостаткам пре­ дыдущего метода.

весьма медленно изменяются. С учетом этого обстоятельства и разработан метод двухциклового интегрирования. На интервале в один виток интегрируется система уравнений движения (259)

или система уравнений оскулирующих элементов (260). Это и со­ ставляет внутренний цикл. Приращения оскулирующих элементов

которая и интегрируется во внешнем цикле.

При этом по мере изменения вековых уходов оскулирующих элементов с ростом числа N необходимо снова вычислять пра-

выв части системы (261), для чего прибегают к интегрированию во внутреннем цикле при новых начальных условиях.

Этот метод дает хорошие результаты при долгосрочном прог­ нозировании. , '

Аналитические методы

Аналитические методы позволяют избежать численного интег­ рирования систем дифференциальных уравнений, что, как правило, ведет к существенному уменьшению затрат машинного времени на прогнозирование. Рассмотрим основные аналитические методы.

Сущность гиперэллиптической теории движения ЛА, разрабо­ танной М.Д.Кисликом и др. заключается в том, что гравитацион­ ное поле эллипсоидальной Земли аппроксимируется таким выраже- . нием, которое допускает интегрирование системы дифференциаль­ ных уравнений движения ЛА и получение решения в квадратурах:

При этом, естественно, существенно уменьшается объем расчетов. Но область применения этих методов ограничена большими высота­ ми полета, где влиянием атмосферы можно пренебречь. Недостат­ ком аналитических методов, основанных на гиперэллиптической теории, является также и то, что функции (262), представляющие собой решение, получаются в эллиптических интегралах, что на­ кладывает дополнительные трудности на проведение расчетов.

Э к с т р а п о л я ц и о н н ы е м е т о д ы

Сущность экстраполяционных методов заключается в том, что на основании траекториях измерений и их обработки с использо­ ванием методов, изложенных выше, определяются опытные значения элементов орбиты для некоторых моментов времени. По этим дан­ ным для каждого элемента орбиты строится экстраполирующий по­ лином, коэффициенты которого находят, используя метод наимень-

115

ших квадратов, как это делалось для сглаживания параметров движения в § 9 . При атом оказывается, что для различных эле­ ментов орбиты требуются различные степени экстраполирующих полиномов:

а = а 0 + a t ( t - t 0 ) .

этом учитываются все реально действующие на ЛА силы, что будет способствовать повышению точности прогноза движения.

Машинное время, которое необходимо затратить для выбора коэффициентов в формулах (263), а также для непосредственного предвычисления зависимостей оскулирующих элементов - неболь­ шое.

Но для того, чтобы указанные коэффициенты были достаточно достоверными и точными, необходимо накопить достаточно большой фактический материал, что существенно увеличивает и время на­ блюдений и объем расчетов для их обработки.

Смешанные методы

Методы этой группы предусматривают сочетание численного интегрирования систем дифференциальных уравнений с расчетами по аналитическим формулам. При этом численными методами инте­ грируется система дифференциальных уравнений, описывающих ве­ ковые изменения элементов орбиты. Правые части этой системы представляют выражения для вековых изменений элементов орбиты, вычисляемые по аналитическим формулам.

При умелой сочетании численных методов с аналитическими в ряде случаев могут быть получены достаточно хорошие резуль­ таты как по точности и продолжительности прогноза, так и по затратам малинного времени.

§ 18. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЛА

Во всех случаях прогнозирования движения ЛА отмечалась особая роль начальных условий прогнозируемого движения и ха­ рактеристик действующих на ЛА сил. Как начальные условия, так и характеристики сил известны с некоторьши ошибками. По этой причине и параметры прогнозируемого движения будут содержать ошибки.

Если не учитывать ошибки проведения вычислений, которая при современном уровне совершенства ЭЦВМ может быть сделана достаточно малой, то ошибку прогнозирования параметров движе­ ния можно представить в следующем виде:

на, наличием ошибки-определения начальных условий движения ЛА; 6рк( б я ) - та часть ошибки прогнозирования, которая обусловлена неточным знанием характеристик, действующих на ЛА в полете сил.

Главной причиной ошибки 6рК ( б /Г) является несовершенство математических моделей гравитационного поля и атмосферы Земли. Хотя неточности в знании гравитационных сил относительно неве­ лики, но при прогнозировании движения ЛА на длительные сроки они приводят к существенным погрешностям прогнозирования. Пара­ метры атмосферы на больших высотах, как .известно, очень силь­ но могут отличаться от параметров модели атмосферы, которая ис­ пользовалась при расчете. И хотя абсолютное значение плотвости при этом невелико, но при длительней! движении ЛА параметры фак­ тического полета могут сильно отличаться от параметров спрог­ нозированного движения.

Для того, чтобы оценить ошибку прогнозирования движения ЛА от незнания действующих на него сил, необходимо иметь ве-

118

Тогда линеаризованную связь между вектором ошибок прогно­ зирования 'параметров 6 р и ошибками определения начальных условий 6 д, можно записать в виде

Разброс параметров движения вокруг ожидаемых их значений, полученных в результате прогнозирования, можно характеризовать корреляционной матрицей ошибок прогнозирования

119

ЛИТЕРАТУРА

1 . А п п а з о в Р.Ф ., Л а в р о в С.С., М и ш и н В.П., Баллистика управляемых ракет дальнего действия, М., "Наука",

мерениями на точность результатов обработки, АН СССР, 1963. ^ . К а н т о р А.В., Аппаратура и методы измерений при

испытаниях ракет, Оборонгиз, 1963.

5. В е н т ц е л ь Е .С ., Теория вероятностей, Физматгиз, 1962.

6. П а в л о в с к и й 3. , Введение в математическую