Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Шелковников Ф.А. Сборник упражнений по операционному исчислению учебное пособие для студентов вузов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.10.2023

Размер:

4.77 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 267 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

125. Зная, что для дельта-функции 6 (х), заданной в промежутке 0< * < л , имеют место следующие разложения:

cos их— —я 5 (х);

И=1

cos (2п — 1) х = — [5 (х) — Ь(2л:));

я= 1

■ у + 2 ( ~ l ) ncosrtJf==" y I25 (2*) — Ч * )Ь

п= 1

иизображение дельта-функции равно единице,

Ь(х ,

найти суммы тригонометрических рядов:

оооо

2	COS /XX	H	V		i
	Л*				/X4
л-1			Л - 1

оо	cos /хх				1
		и	V
2 -	rfi				„2	’
			л= !
л«1
оо	sin /хх
2-		„	V	-	О - l ) " - 1
	ГС3	11 2		j	(2л -	1)3 ’
Л - 1			Л - 1
	COS /XX		00		1
		и	V	-		(# =^* целому числу);
2 -	rfi — aa
			Л—1		hr — a?
л—1

а» 2		1	(а ^ 0 );
	п2 + а2	и2 + а2	(а ^ 0 );
	п2 + а2	и2 + а2
п = 1
6)	(— 1)” cos ях	(— 1)д	(a	i= 0).
6)	я 2 + а2	я 2 + а2	(a	i= 0).
п=1	я 2 + а2	я 2 + а2
п=1		п = 1

126.Разложить в ряд Фурье следующие функции:

1)	Периодическую функцию		f(x) периода 2<в=1, которая па
	[0, 1] совпадает с функцией g(x) =дг3;
	х 2	<'<т)-
2)	/(■*) =	<'<т)-
2)	/(■*) =	1
	(1 — -x)2	1	< л: < 1
	(1 — -x)2		< л: < 1
3)	f ( x ) = e2mx (0 <

4)/( x ) arcsin (sin jc);

5)/(•*) arcctg (ctg x).

127. Пусть Ф	{ р	^(Jf)	=	2	akLnkf m W
				^	■nk \-m
		/(■*) =		^	Г (я£ +	1)
Показать, что				ft= 0
Показать, что
^	(x)	= e* J	/,) (2		xt ) l - t f (t) dt	и
		o
	$(/>) = ■		P — 1		V P — 1
			P — 1		V P — 1
				61

128.

Пусть

Ф (р)±*

Р (х ) =

—

(±

Hzk(V х )

1);а ь ------------------------ И

*=о

(26)!

<Р(р) - > f ( x ) =

—7ZT

(4*)*

1) a-k---------

V x

^k=0

(2k)l

Показать,

что

F (x) = e* j

(2 1 / x/) e-</(<) rff

' J^_L

ф (p) =

----- - 1-

;

- ? {— -

V p -

p —

129 .

Пусть

Ф (p)'-r> F (x) = ^

1)*а*Я2Д, , , ( V x

)

/г=0

(4x)*

T ( P ) r > / W

2 V ^

(T 1)ka"

(2f t+

1)!

k=o

Показать,

что

во

F (x) = ex ^

4 JL

(2 / 1 7 )

e - ‘/ ( 0

dt и

* ( P ) -

------ Ц

- т ( ^ Г

г )

(Р - D

130. Пользуясь результатами, полученными в примерах 127—129, найти суммы рядов:

»	2	£ ()	(0 <	а Ф 1);
			(0 <	а Ф 1);

	k=0
3)	Л (— 1 )k n \ L k (x)
3)	2	k \ (n — k)\
	k-o	k \ (n — k)\
	k-o
»	л	HikA-x)
»	2	(2k)\

£=0

2) ^

L k ( х )

ft=0

лtf2*+ i(*)

») 2 (2ft+ 1)! ’

**=0

	7)		( -	(x)	*> 2	( - l ) * # 2ft+i(*)
	7)			(2*)!	*> 2	(2ft + 1)!
		k=0		(2*)!	*-o	(2ft + 1)!
		k=0
		2
131.	Разложить в ряд no полиномам L k (x):
■	1) F (x) = x m (m — целое,				положительное);

2)F (x ) = e2X.

132.Доказать, пользуясь первой теоремой разложения:

1)^ h k (*) ~ — [1 — -А) (*)];

к=1

2) У ( - 1)*+1/ 2* (*) = у [Л (■*) - cos х];

1РГ

-t2

з)

4)2 (“ 1)*т1(2Й)2У2я(х) = Т ' * 8ШХ: k= \

5)2 (— 1 )kjM и (x ) = " у sin x >

	k=0
6)	2	(2,fe+	l ) / 2f t u W	= y	;
	A-0
	•o
7)	^	(2ft +	1)3 Л* h i (Jt) =		— (x + x»);
	k=0
	oo
8)		2ft (2ft + l) ( 2ft +		2)y afc+1 ( j:) =
	k - i

р а з д е л ш е с т о й

ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА

Вэтом разделе используются следующие обозначения:

1.Символами f М и ср(р) соответственно, будем обозначать с пенчатые функции и их изображения, полученные при дискретном преобразовании Лапласа. Таким обоаапм

	<Г(р) = 2 е~рх f W-
	х=0
2.	Обобщенную степенную функцию будем обозначать символом
х(п) :
	х ^ = х (х — 1) (х — 2) ... (х — п + 1).
3. Линейное конечно-разностное уравнение
У [ * +	я] + аху [х + п — 1] + а3у [х + п — 2] + . .. + апу [х] = f [ x \ ,
3-1931	65

будем записывать так:

У х+ п + а \ У х \ п —1 + аъУх + п - 2 + • ■• + а пУх = / М -

Все задачи этого раздела решаются с помощью операционных соответствий, связанных с дискретным преобразованием Лапласа.

СТУПЕНЧАТЫЕ ФУНКЦИИ

133. Найти изображения функций, используя в некоторых случаях формулу суммирования по частям

ь	, ,	ь
2 . « [х] Ли М = и М V\х] \|		2 v Iх + ! 1 М-
х = а	а	х = п
! ) / W	= 1;

2) / И = лг;

3)/[* ] = *»;

4)/[* ] = .«*;

5) /[х ] =	х^	= х (х — 1)(х — 2) ... (х — п + П:
6) f [ x \ = х - х (п);
7) / [ х ] =	е“	;

8)/ [ * ] = « * ;

9)/[ х ] = sin <jx;

10)	/[ х ]	=	cos #х;
11)	/[ х ]	=	sh qx\
32)	/[ х ]	=	ch qx.

134.Используя теорему смещения, найти изображения функций;

1)/ { х \ = х (п)-ах;

2)/[ х ] — a^-sin qx\

3) f [ x ] = e X ‘ COS (?X.

135. Найти изображения функций, используя теоремы запаздывания, упреждения и дифференцирования изображения:

1)	/[ * ] =	л:■sin ^лг;
2)	/[■*] =	*-cos qx\
3)	/[■*] =	(х + 1)■ sin qx\

4) f [ x ] — x-sin q (x + 1);

5)f \ x ] = ( x — l)-sin qx\

6)f [ x ] = x-sin q ( x — 1);

7)	/[* ]= ■	sin q x — x-sin q-cosq ( x -f 1)
		2sin3 q

8) / W = '		cos q- sin q x — x-sin q cos qx
		2sin3q

9)	f [ x } = -	sin q x — x-sin q-cos q ( x — 1)
		2sin3 q

136.Найти оригиналы, используя теорему обращения:

1)	еР		2)
	еР + 1			езР-

3)			4)	еР
	(еР — 3)	(еР - ■4)		( e P - d f ( e P ~ b ) '

5)	еР		6)	еР
	езр + 1	'		е4Р — 16

137.Найти оригиналы, не прибегая к теореме обращения:

еР		2)	еР
i) — -ZT—	1		езр + й 2
ФР +
aep +	b	4)	езр
3)			eip — 2аеР + 2а3
~0Р + 1 ’

з*

	eP		6)		eP
	e'P + 2aeP + 2a? ’		6)		3e4-P — 6яер + 4a3
	e'P + 2aeP + 2a? ’				3e4-P — 6яер + 4a3
	eP				1
7) (eP — l ) ( e ^ ~ 2) (e^ — 3) ’			8)		{eP + 2) (?p — 9) ’
9)	e2P		10)	•	eP
9)	<*P — 1	’	10)	•	+ 1 ’
	<*P — 1	’			+ 1 ’
П)	eP		12)	-	e3p — 2 ^
П)	e‘P + gw +	1 ’	12)	-	(e2 P ^ eP + 1)2
	e‘P + gw +	1 ’			(e2 P ^ eP + 1)2

138. Используя теорему об изображении суммы и теорему умноже ния, найти суммы:

3)	k ( m )
	2

5>2

7)' k cos kx\

£=0

sin kx

9)ak

k=l

	П
	П—2
4)		( « >	3);
	ft=о
	л—1
6)	, A sin ftx	(л >	2);.
	fc=l
8)		^Jt
8)	2 ^ 2) " Slr
	rt—1
10)	л* cos kx	(n > 2);

fc= 0

					я- 2
и) 2	Аа(л-* + 1)8;			]2)	2	^ » - * (л >		3);
k = \					A~1
п -	2				n —3
				14)	2 <	1 c 2_*	(л >	6).
				14)	2 <	1 c 2_*
Л=2					л=з
139. Доказать:
■> S	2	-	^-0>
	2		2
<!= 0 ^2=0)		х —1
		х —1
		^	( х — I1— 1) (лг — г — 2) ... (-г — ^ — /я)
		st =о			ml
		st =о
*	h		*т
<1= 0(2=0			* =0
-	X	(х — t + т) (х — t + т — 1) ... (х — г + 1)
		(х — t + т) (х — t + т — 1) ... (х — г + 1)
	tS=o-			m/
				m/
140. Найти кратные суммы:
п	*!		*яг-1	*
■» s	s		- s	*
*!=0 ft2=0			ft-0
П ft2		*2		-
>* s	s	s	*	-

ftt=0 ft2=0 ft=0

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 267 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ