книги из ГПНТБ / Шелковников Ф.А. Сборник упражнений по операционному исчислению учебное пособие для студентов вузов

мену независимой переменной, полагая

2х 4-1 =

О

55. 1) Р е ш е н и е . Операторное уравнение будет

и ( 0 )

у' ( Р) =- —

Р2~ \

1

• s hx,

получим

Учитывая, что у ' ( р ) ~ > — x v ,

у' ( р) + —

у (р) = -

Г (п +

1)

: рПт3

Его

решение:

1

с + Г (п +

1

с

Г (и -Ь 1)

У (Р) =-■ •

1)----------------- =

— + —— !— -

Рп^

(п + \ ) р п ’ 1

р

п + 1

Переходя к оригиналам, получим:

Г ( п +

1)

у (X) =, с +

1

Г (я + 2)

п -f

Но Г (я + 2) = (я +

1) Г (п 4- 1) •

Следовательно,

у (■*) = с 4-

х п+ 1

( я +

I)2

6)

Р е ш е н и е .

Пусть у(0)=Л,

Тогда операторное уравне

запишется

так:

1 —

2А

-

—

/

1

Р +

1 \

Заметим, что

р + 1

со

dp

1

1

1

f

I n ----------=

\

—;-------— , так

к а к —--------77 =

— “

------- Г-

Р

J P ( P + l )

P { P + 1 )

Р

P i 1

Р

—----- — -—

1— е~х .

По теореме

об .интегрировании

Р

Р + 1

изображения имеем:

In

Р + 1

1 — е~х

х

Следовательно,

Р

1

р + 1

1 —

1 — е~х

х 4- е--1 — 1

— — I n ----------

х

=

х------------------

р

P

Р\ — — Ш

р + 1

'х + е~

' + е-

1

х*

Р

■

м

Следовательно,

2А

У (•*):

(1

' — е~х).

JC2

*7\

I-.

г,

~

,

( Р 4" З)2

А

7)

Р е ш е н и е .

Здесь

y i p ) — с ------------- -j-

--------- .

„

{Р + З)2

р +

1

р + 1

не

является изображением,

следовательно,

Дробь

—

j—j—

ji(p )

будет изображением только

при

с = 0.

Значит у ( р ) =

А

=

# (* ),

где Д =

у (0).

+ j

8)

у — се~х ,

где

с = у ( 0 ) е 3.

У к а з а н и е .

Положить

х — 3 =

t

и учесть

решение

предыдущего

примера.

9)

у =

.Де—

где

А = у (0). У К а з а н и е. Учесть,

что дробь

Р2

не является

изображением.

Р + 1

ь

10)

------X

где

А =

у (0).

У к а з а н и е .

Учесть, что

у —- Ае

а

,

дробь

Р2

нс

является изображением.

1

- -

У (р ) = ~ 7 е

Р •

/>4

F (х) = 0 при х > 2т,

(3)

причем в интервале 0 < х < 2т

y ( x ) = F(x) .

Стало быть для определения периодического

решения у(х)

в промежутке 0<х<2ш нужно найти из

(2) F (х)

дважды: при

х<2ш и при х>2со и из тождества

(3)

определить методом

не­

определенных коэффициентов А и В

(те начальные условия,

при

пи

Аа sin 2а со — В (1 — cos 2ао>) = ^ у (/) cos at dt.

2шт

I

2to

, получим А—

р

Отсюда, если 2ы Ф -------

------------- 2 а sin

\/(7)cos a{t—со) dt,

а

"

дао J

</(■*) =

'

^ /

(С) sin <2 (х — t) dt

-f-

LO

2со

+ -------------\

f ( t )

cos а (х — t

+ со) dt .

2

sin дао

Л

J

о

Если же 2(о =

-------, то тождество (5)

примет вид

а

bit:

а

f ( t )

sin а ( х — t ) ( t t ~

0.

(6)

О

Следовательно,

если f(x) удовлетворяет

тождеству (б), то

СО

СО

у ф ) -

+

еъ

[ e2tf ( t )

dt — — ----- \ e‘f ( t ) dt,

1

•>

1

+

ет J

у ’ (0) =

— Ц -

\ e*f (t)

dt

1

+

e,2co

\ **/(*) d t>

1

+ e “

уравнение имеет решение периода 2со, меняющее знак через полу-

период:

X

Q — 2Х

О)

Л

р

у =

/ ( х - 0

( е - ' - Н

' ) Л

+ --------—

\ e 2tf ( t ) d t -

J

1 + е2ш

•'

1

+

ё :

\

e(f ( t ) dt.

2со

3) Если

(* f ( t ) d t

=

0,

то

при

начальных

условиях: у (0) — про­

извольно,

2со

У' (°) =

"17------- - \

f i t ) cos (t — и) dt,

2

sin о)

j

2C0

=

------ \

f ( t ) s i n ( t -

(o)rf/1.

2

sin со

.)

0

Данное уравнение имеет периодическое решение

х

y ( x )

= y ( 0 ) + 2 ^ f ( x

— t) Sin2 — dt -f

X

Sin ----- 2a>

2

COS'f'"--- +

t \ d t ,

+

■ Sill to

(1> ■

X 2

периода 2®.

периода 2®= 4 будет иметь изображение

4) Заданная f(x)

?(/>) =

— р — 2 Р _ 2ре- 2Р

(1 + 6 -2 Р )

Операторное уравнение здесь будет

P?(/>) +

//(/>) =

Л + ? ( Р ) , гДе Л = у(0).

Решение операторного уравнения можно представить в еле-

цующем виде:

Ч(Р)

1

у( р ) -

-4 -

1■(1 + е ~ 2р) +

р +

1

р +

1

1 + е—^Р

р +

е-2 р

2е-2р

1

А

(1 + е-зр) +

+

1)J

1+ е

Р2{Р + 1)

Р ( Р +

. Р + 1

+

J__

_1

(Ь

е - 2 Р ) —

Р2

Р

+ Р + 1

1

1

0 - 2 Р

’И р )

\ Р

1 + е - 2Р'

Р + 1

Пусть

*\>(р)

F ( х ) .

При х

<2:

F ( x ) = А е~ х +

х — 1 +

е~х = (Л +

1)е

х + х ~ 1 (*).

При х > 2:

F (х) = 0 =

+ Л в -(х~ 2) + (дг — 1) + е - х — (х — 2) +

у ( х + 2) = — у( х) .

Отсюда следует, что при 2 < х < 4

у( х) =

3 — х .

Таким образом имеем решение

х — 1

(0 < х < 2)

«/(•*) = 3 - х

(2 <

х <

4),

имеющее период 2м=4.

тс \ 2

5)

При начальном условии у { 0) =

—

--------------- , имеется

1 + е“ ”

периодическое решение периода 2« = 2г., меняющее знак

через полупериод:

у ( х ) = ---------- ех — 1 — х — 2

1

+ е~*

где 11 (х)

— единичная функция.

(0 < х < я ) .

6)

При начальном условии

— 1 — 2-е2х

у ( 0) — --------------------

4 0 - е 2")