книги из ГПНТБ / Шелковников Ф.А. Сборник упражнений по операционному исчислению учебное пособие для студентов вузов

6) f i x ]

2 a

\ x

t.x

s in -----

a V

3

\ V

3

6

7)

ep

eP

ep

+

(eP— \)(eP — 2)(eP — ?,)

2 ( ^ — 1)

ep — 2

ep

1

1

+

--------- —

— 2X + — • 3x = f[ x ] .

2 (eP — 3)

’

2

2

11

0

( * < 1),

8) f [ x ]

■

+

- г (

- 3)*-1

- T -

( -

2)

^

( x > \ ) .

30

.

6

5

2r.x

—

2tix

9 ) / w

=

у

+ V

~ si n-------

3si

10)

/P el =

XJC

TC(1 — лс)

s i n ---sin

— -

2

4

П )

flX ]:

2

kx

n i l

— x)

-----s i n ------ sin

---------------

V

3

2

6

12)

2

{x — 1)

тс*

/ [ * ] = ^

- s i n

— .

^

3

3

138.

1)

Р е ш е н и е .

Используя

изображение

суммы

для

функции

[х2],

имеем

t=о

где

<р (р)х-> х 2</-

-----------------

(см.

пример

133

п.

3).

(ер

1)3

ePjeP + 1)4 _

t=o

( e P ~ 1)< ’

ep (ep + 1)

ep (ep — 1) +

2,ep

ep

2ep

(eP— l)*

=

(ep — l)i

~

(eP— l)3 +

(ep ~ l)4

л:<2>

2x<3)

— 1) ( 2jc— 1)

2

+ 6

=

6

П

П

п ( п + 1)(2п + 1)

£ *

а = 2

*2= -

6

А=0

fc= l

2) (С1+1У.

У к а з а н и е .

k3 =

-f

-ь k.

3) т\ е д .

4) 2П—1 — - у (Л2 + Зи + 4).

a n — 1

п

5)

ап (а — 1) '

а ”-1 (а — 1)2

е^Р (е-Р — 1) sin q

t- О

(ер — 1) (е2Р — 2ер cos q +- l )*2

ечр (eP _|_

i) sin q

e?P — 2ep cos q + 1

Так как (см., примеры 135 п. 7 и 8)

егр

sin qx — х sin q cos q {x + 1)

(e2P — 2ep cos q +

1)

'

2 sin3 q

e 2P

cos g sin g x — x sin q cos qx

(ePP— 2ep cosq +

l)3

'

2 sin3 q

(2n — 1) л:

' sin nx

tl cos •

сумма

- S (.r) =

bx

2 sin ■

4 sin2 •

r (2n— l ) x '

n sin ------------------

1 — cos nx

7)

x

2 (1 — cos>)

2 sin —

2

8)

Р е ш е н и е . Пусть

<?(p)

(V 2 )* sin

. Тогда

t=о

У

2 sin

— ё*Р

еР

9 (Р) =

4

2 ер cos

еР— 1

(еР— \)(ё>Р — 2 V

+ 2

еР (еР — 2)

еР

е^Р — 2 V 2 еР cos — + 2

^ — 1

4

|е 2-Р — 2 со s —

j — ~V 2 sin — ер

1 —( j / ' 2 )*cos - j - +

eiP _

2 У 2 еР cos -j -

+ 2

+ ( ^ 2

)"* s,11

х-уг

ъ ( х -ь i)

~ ! — ( У 2 )

c o s --------------

139. 1) Д о к а з а т е л ь с т в о .

Обозначим

через

Fk [х] й-кратную

сумму и положим Fk ( р) -^>Fk [x\, и f (р)

f[x]. Имеем,

используя изображение суммы:

X—1

^

Fi м =

? Л р ) =

у( р)

еР— 1

’

<->о

ЛГ—1

% (р )

У (/>)

t=о

е-Р — 1

(еР - I)2 ’

х-1

Индекс суммирования t заменим через t+ 1. Тогда

S

( x — t)m

ч д

(x — t — l) (m)

=

—

г г - 1 —

/ и -

m!

<=i

t =о

Следовательно,

,

, ЧД { х - t

— Щ х — t — 2) .

. . ( x - t - m )

, rji

Л п +i M

=

---------------------------

IT----------------------------

Я*]-

( = 0

m\

2)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Обозначим

через

Fk [ x ]k - к

ную сумму и положим.

-Г*Fk [jc], а

<р(/>) ->/[•*■].

Имеем,

используя

изображение суммы:

_

X

<^У (Р)

<=о

е Р — 1

’

Следовательно,

x

—£+ m—I).. . (л:—t ■{■ 1)

( x — t + m ) ( x

m+ 1 w = E

m\

m -

t~ о

140.

(n + m) (n + m — 1) (n + m — 2) . . . (n +

1) я

1)

{ m +

1 )!

я (я -f- 1) (я + 2) (w -f 3) (2я 4-3)

2)

5!

141.

1) Р е ш е н и е . Пусть y(p) -7* yx .

Согласно теореме упреждения и начальному условию

Ух-п*теРу!{р)~ еР.

Операторное уравнение, соответствующее данному уравне­

нию, будет

еру ( Р ) — еР — З у ( р ) = — -------

.

е? — а

6)

у х ~

sin ах,

. Vu

где а = arcsin

7)

Уг =

4

ях .

%(х — 2)

— —

sin ------ • s in -------------

'

У'

3

3

3

8 )

г/л- =

2 (jc— 1).

2ях

----- г= — — - sin

Vs

3

У (Р) =

ед 1(ер _ 4) .4 +

(В - И)]

,

еР

---------— -----П--------------------

+

(еР — 4)(еР+ I)2

(еР — 4)(<?^+ 1)

Находя оригинал, получим

Ух = Сг4* + ( - 1)-^С а + — )

где

ЬА + 5В + 1

20А — 5В — 1

Сг =

25

25

2) У х= 1 + 2*-» ( х - 2).

3)

у х -

i

f2х — 2 cos •

■ ( * - О

( 3 )

4)

Ух*

3!

5)

Ух--

г (4)

4!

144. 1) Р е ш е н и е .

Пусть

у ( р ) - ^ у х - z ( p ) - ^ z x .

Система операторных уравнений здесь будет

(ер — 3) у ( .Р ) —

г(р)=^еР,

5 у ( р ) + (еР + \ ) г (р) = еР.

Решая систему операторных уравнений, получим

~

ер (еР + 2)

~

еР (еР - 8)

У ' Р ’

е3Р - 2 е Р - р 2 ' Z ( P )

е ™ — 2 е ?+ ‘1 '

Возвращаясь к оригиналам,

найдем

У х = *

(V/ 2')Jr^ c o s - ^ ~ +

3 s i n - ~ j ,

г , - ( У 5 У ( cos

тс*

-- 7 s m

Л-и

'

4

4

_

• = ^

= ( - б Г .

*/* =

( У

^

" sin

я*

К (л — 1)

2

C°S

4

z x — ( V 2 )*

1 sin

7сX

cos

я (.г +

!)

2

4

З-й*

3 ■2х

3 - ( - 2 )*

ljx ~

ег — 4

4 ( е — 2)

4(е

+ 2)

1 1

+ iW

У

3-2*

(— 2)ж

[( и

1

1

4 (е — 2)

4 (е + 2)

При л <

2

ух = z x -= 0,

при х >

2:

Ух =

4 (х — 2) (х — 3),