книги из ГПНТБ / Шелковников Ф.А. Сборник упражнений по операционному исчислению учебное пособие для студентов вузов

( ~ l

) n

5(0) =

a~ — sh ат.

n2 +

а2

2a2 sh ат.

л-1

126. 1)

Р е ш е н и е .

Будем

искать

изображение

данной

периодиче­

ской функции f(x)

по формуле

сг ( п\

__

(0 <

X <

1),

T (p )= s-Т З ^

г -

где

=

( 1 < х ) .

Получим

g ( P ) =

6 — бй1-•р — Ъре—р — Зр2е~р — р ъе~Р

pi

Так

как g( 0) =

~ ,

то g ( p ) — аналитическая

функция. Со­

гласно

теореме обращения

и

теории вычетов, имеем

1

с

оР*

р)

,

1 £ epjf£ ( p )

,

ерх g (

вычеты функции Ф (р) =

е (р )

по этим точкам. Функция

-е~ Р

1

P2

1 f e~ %P

P Q - e - ' P )

127. Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

ф (p) — изображение

функции

e ~ x f(x). В соответствии с теоремой смещения и теоремой

Эфроса

имеем:

И Р )

= ? ( Р +

]):

^ / 0 (2 V x t ) e -

<

— j ;

О

F{x) = ex ^ / 0 ( 2 / л 7)

p — i

\ p -

0 — 1 Д п — 1/

nnk+m+l

akLnk+m (■*)•

A-0

*=0

P

Следовательно,

^а ф п к ^т < < х ) = F { x ) ^

ex \^J0 { 2 V x t ) е

и

6= 0

Ф ( Р):

P - 1 '<Р

130. 1) Воспользуемся обозначениями и соотношением

1

/

р

Ф ^ ) = ^ - Г 7 - ' Ч Т З Г

примера 127. В данном случае имеем

.

ч .

г ,

, ч

Lk(x)

Ф( p ) ^ F - ( x ) = 2 * ~ ^ Г -

6 - 0

/

( *

) -

£

akk\

6 =

0

Следовательно,

H p )*=—

—l

,

т

( ^

т ) !

a ( p — О

p (a — 1) +

1

p ■

a

Ф { Р ) :

a

> f W

Л — 1

a -1

Таким образом,

то

M * )

=

a

g7T

Z6=0

aK

a-

4)

5 (x)

1

~

(

X

x

\

= —

e

(^cos —

+ sin у

J

5)

S (x)

— —

ch2x.

У к а з а н и е . Рассмотреть вспомо-

e

■Ф(р) = -

• ср

(т^ О -

р — 1 \ р

Из этого соотношения следует, что

?(Р) = — ~ - Ф ( — — -)•

Р ~ 1

\ Р — 1. /

Так как

т\

F(x) = х т +-

ф ( р ).

pfn +1

то

m!

(р — l) m

ml

Lm ( x ) = f ( x )

?(/>) =

nffl+l

(см. пример 27).

£ « (* ) = £

(— i)*c5

й!

*=о

Следовательно,

т

■к

/ w = 2

с»

с»тг-

8—1931

225

Следовательно,

^

hb (-*)

v

У р2+1~p) k

Й—I

h

v 7 + i

( V p 2 +

1 — p ? _______

Vp2+1—p

V p 2 +

i [i — i V p 2+

1 —p )2]

2pVp2+1

V p 2

■П - M x ) }■

Раздел шестой

133.

1)

Р е ш е н и е .

Изображение f (р)

функции f \ x ] — 1 опре­

деляется

рядом

дг=0

2)

Изображение у ( р )

функции f [ x \ =

x

определяется ря­

дом

?(/>) =

хе - Р * .

х=0

Сумма

этого

ряда

находится с помощью

формулы сумми-

рования

по

частям.

В данном

случае а [х\

е ~ Р х

= х, v [х] = — ------- ,

а =

О,

b = оо.

е~" —1

xe~px

g-p(*+i)

__ 1___

e - p x =

eP

V ' xe~Px =

e-P — \

eP - 1 2

x—0

e-P — 1

{eP— l)2

x=0

Следовательно,

/ [ x ] = Ar«f

eP

{eP— Ip '

3)

(*>p +

1)

У к а з а н и е .

Применить

теорему

диф

------------------ .

{fiP

1

преды

ференцирования изображения и использовать результат

дущ его

примера.

еР ( g 2 Р +

4 еР + 1 )

134.

I)

Р е ш е н и е .

ах = е,х\и а

у(л) ^

п\

вР

(ер _

1)л+1

■

По теореме смещения

х (п)ех \ п а '

п\ еРХпа

п\

апер

{еР— In а

!)«+!

(еР — а)п+1

2.)

аеР sin q

е2Р — 2аер cos q + a2

3)

e^P — aeP cos q

e^P — 2aep cos q + a2

135.

1)

Р е ш е н и е ,

s i n^x^

ep sin q

gip.

2eP cos q +

1

По теореме о дифференцировании изображения

d

/

easing1

\

еР (е2Р— 1) sin д

x sin qx

\ d'е-P— 2еР cos q + 1

(е2Р — 2ер cos q + 1)2 '

dp

2)

(егр + еР) cos q — 2е2Р

(е2Р — 2ep <:os q +

l)2

3)

2е3р sin q -- e2P sin 2q

(е2Р — 2eP cos q +

l)2

4)

езр sin 2q - ~ 2e2P sin q

(езр — 2ep <COS q +

l)2

6)

(e2P - - 2ep cos q +

l)2

7)

e3P

(etp — 2еР cos q +

1)а

8)

elp

---------------------------------------- .

(e - P — 2 eP cos g + l )2

9 )

eP

( e2P — 2 eP cos q + 1 )2.

1

cc-j-гтс

eP

ep x

f M =

2nt

dp,

a—iK

eP + 1

причем прямая Re/? =

a,

лежит правее особых точек функции

еР

имеем

------------- . Полагая ep — q,

/[•*] = Res

q

(-!)-*

1

( x — 2n),

■=

— 1

( x —2n + 1).

?=—1 q +

1

(x = 2n),

2) / W = T [ l + ( - W = l0 (^ 2 л + 1 ) .

3) f[x\ =

- 3 ' x - \

( X < 1),

/ , X - \

(x > O-

ха-1

bx — ax

4) / [ * ] =

a(a— b)

+ ■{a — by

5 ) / W =

1

%x

, /— nx

( - 1

Y cos —

+ К 3 sin —