книги из ГПНТБ / Шелковников Ф.А. Сборник упражнений по операционному исчислению учебное пособие для студентов вузов

1

1 1 1 .

У Р (1 — ар)

У р *? - -

Л

dt.

а У -

)

У х — t

Следовательно,

1

dt .

и (х) ■=

полнить так:

.

1

1

1

1

V р (1 — ар)

р У р

1

р У р

где <(,{р) = ■ ^ а

- - > еах.

Поэтому, учитывая формулу, использованную при решении

предыдущего примера, получим:

,

(

1 \

С sin 2 yКjxt

.

V Р (1 — ар)

р У~Р

значит

и (х ) —

sin 2 У xt

' + X ^

eat d t \

Л-— Ха

у

я

t

1

COS ■

sin bx +

-

dt ,

1 — Л2

b~\fn О V * — t

и= '

/

00

sin 2 У д:t

1

/

f

1 — X2

1 sin bx. -j-*A \

sin bt dt .

\

0

Y^t

где <f(p)

sin bx.

P* + b*

'

.

t

1

I cos bx +

\

dt | ,

1 — Х2

b Y ъ

о Y

х — t

,

, i*

sin 2 Y x t

1 — №

cos bx +

A\

---------—-----cos bt d t

i

Y

- t

X

sin '

V p

PiJ r

bl

b V r- о V x — t

~ \

\_

_i__

(±

P

' V p

■+b1

>V7 ^ p

где <p(p) =

pi + bi

■cos bx.

5) Р е ш е н и е .

Операторное уравнение будет

и(Р) = / ( р ) + х

’ Vp

Заменяем здесь

рна

1

Р

{ - j ) - , { ~ j ) + l p V p ‘ w -

Из этих

двух равенств находим

и(р):

1

f(p)+ X

г

7(-

р Vp

"Возвращаясь к оригиналам, получим

1

sin 2 V

*t

.и {х)

=

■1 — Х2 /<*)+* 5

V

L

-----f ( t ) d t

о

лt

1

X

d

ch

112. 1)

sh bx -

и ==

1 — X2

ь У %

^ x

0" У х — t

У к а з а н и е .

Использовать формулу

1

/ 1 \ .

0

cos 2 V x t

У У х

2)

Ответ можно представить в двух видах:

1

*

ch —

ch bx -

х

С\

ь

dt

1 — Х2

b2У У

о

У х — t

1

со

,--------

■ ,

г

, f

cos 2

Уу x t

1 — А2 I

ch

bx -f X ^

----------------- ch bt d t

Р

С cos 2 У x t

1

_ [

1

А '

,/■—

и У ) М ^ — — и [ —

i

V ™

у р

\ Р

Следовательно,

-

ч 1

. 1

_ 7

1

« ( Р ) = — * р + л ——

*

/ р

и

= р е ~ ар + \ V р и ( р ) .

‘ М =Т ^ ( т е~7+1^

р‘' ‘Р]

Переходя к оригиналам, получим:

„

= j j _

Л,(2VZ) + I \

У.(2 Va,) « I.

о

V ' ■кх

4)

u =

1

f ( x ) + ^ ^

cos 2 ' У xt

f(t)dt

1 — Ха

V"*■*

ИЗ. I) я =

1

x m + l-

Г ( д + 1 )

~ (— 2 < m < — 1).

1 — Ха

Г ( — m ) x m+1 .

У к а з а н и е .

В этом

и

в

трех

последующих

примерах

использовать формулу

J Уо(2 Y x i ) u ( t ) d t < ± у и ( у ) .

2)

н =

1

/

,

X

sin

х \

---------( cos ox +

—

—

).

1 — Ха V

£

b

)

3)

Ответ можно представить в двух видах:

(

ах

I

le~^W '

bx

Ьх

1 — Ха

\еах sin bx -+- ■

«а + А2

b cos -7———+ a sin ■

а2 + b2

сР + *2

« =

----- X2

s‘n ^Л‘ + ^ ^ Л

(2

eat sin Ы dt

6) и ■

1 - X '

X

X

s in ---- —-sh---- ^

У 2

У 2

7) U:

1— X

У к а з а н и е .

Использовать формулу

х

х

.

р

sin -------- sh ----- ~

р 4 + 1

у

2

У 2

е

4jr и (t)dt<P- — ~ и ( У р ) .

У

V p

V p " "

р + а

2’ 4 )" ‘h /

r sln у ъ '

/ 2

/ 2

и ( р )

Р-

-т>/(А-, 4, 4) = ch

~ г

c o s - / /

= ■ '

Р4 + 1

/

2

/ 2

Рл

^

h(x,

2, 4) =- — (ch х — cos х ) .

и ( р )

/И— 1

'

V

2

и { р )

Р|3

1

^ h ( x , 4, 4) = — (ch х + cos х).

10)

a s —

- ch

X

X

___

\^<_го

___

2

У 2

У 2

115. 1)

Р е ш е н и е .

1

.

У <

У р

У71

Ух

Vр

По теореме умножения имеем:

у к

-

с

откуда

У—

и (р) = —

-

Следовательно,

и ( р ) = Укр

и (л) =

УЗ

Г (гг +

1)

я+ а—3

2)

х 1

гг =

Г (п 4 - а )

Г (1 — а )

з)

1

f

c o s ( x - t )

dt.

ут

о

1

/

1

sin ( х — t)

dt .

4)

гг —

уз

ут

X

^"d

5)

ll==^

L

У

^

+

е У- еУ-

t

и ( р ) = 7 ( р ) р г- а

1

- - ■

1

1

Г (1 — я)

Г (1 — а)

на

Используем теорему умножения, учитывая, что умножению

р изображения

соответствует

дифференцирование

оригинала

(причем в данном случае оригинал при

х =0

будет

нулем).

Поэтому

и (х) =

1

Г (а)

Г (1 — а)

Имея в виду формулу дополнения для гамма-функцнн, по­

лучим окончательно:

х

sin атг

и (х) ■

f ( x — t) f —'dt.

d x

116. 1)

Р е ш е н и е .

Пусть у(р)-^> у ( х ) .

Тогда

операционное

уравнение будет таким:

РУ — 4 +

Р

Р2 + 1

Находя отсюда у(р), получим

4р3

i £

( 2 - V 2 ) Р | ( 2 + V" 2 )/7

у ( р ) =

2

р2 + У 7

П*-~ V 2

Pi