книги из ГПНТБ / Шелковников Ф.А. Сборник упражнений по операционному исчислению учебное пособие для студентов вузов

3)

■--- — cos —

4) — — sin — ;

V p

p

V p

p

5)

c h 2 l / ар

6)

s h l V ap

------— .

V

яр

V a n

,, . shap

2) ch V а р _

p s h b P'

p c h V b i ’

(*

cos t

ci (•*) = —

— — dt ■

22. Найти изображения интегралов Френеля:

х

cos t

sin t

2)

c (x)

1) s ( x ) =

dt;

—

dt.

V

2я t

V

2ftt

23.

К-м синус'ой порядка' п

называется-

функция, изображение ко ­

торой имеет вид

nk—1

Р п +

(At

2 , . . . ,

п).

1

Обозначим 6-й синус порядка п символом f (х ; к, п).

Показать,

что

1

I

X

X

X

X

1)

f (х;

1 ,4 ) = — — [ ch — — sin —— — sh — —- cos

V

2

\ V 2

V 2

V 2

V 2 ]’

2)

f ( x ;

2,

4) =

s h —^ tzsin

/ 2

V

2

3)

f (x;

3,

X

X

X

X

4) = — — f ch —— sin —— + sh — — cos

V

2

{ V 2

V~2

V 2

V IJ

4)

f ( x \

4,

4) =

X

X

c h — — co s--—.

V

2

V 2

24.

К)-м гиперболическим

синусом порядка n называется функция,

изображение которой имеет вид

1

р п -

■(* = 1,

2 ........ л).

1

Обозначим

к-й

гиперболический синус

порядка п

символом

h (х ; k, я ) . '

что

Показать,

1)

h{x\

1,

4) =

- ^ - (s h x

— sin х);

2) h(x-

2,

4) =

—

(ch x — cos*);

3)

h( x\

3,

4) =

—

(sh x

4- sin x)\

4)

h(x;

4,

4) =

1

(ch x ■+ cos x).

—

~аЧг - Т г „

=

У

*

-•2аЪ

dt

-------- е

2

а

найти изображение функции

о.-

/(-»•) =

е

~4х

V л х

26.

Найти изображения функций

1) ех Erf ( 1 /7 ) ; 2)

Erf с ( -----

\

2 У х

)

X

•

где Erf х = ---- — \

e ~ l*dt и Erf сх =

1 Erf х.

1) ~ ~ Н 2п ( / 7 ) ;

2) / / M +‘ ( V 7 ) .

V*

30.

Доказать, что

1) L ~ T (х ) =

( ~ 1)Я H m ( V x ) \

22п п\

2) LI (х) :

( - 1 )»

я 2„+1( у У )

V I

22л+1я!

31.

Пользуясь теоремой смещения

и теоремой дифференцирования

оригинала, доказать, что

„х

лп

ех х - а л п

1) Ln (x) =

d x n

(хпе~х )\

2) L° (х) = — — — (хп ^ ae - v).

п\

п\

d x n

32.

Пусть

?и (р)-т> sin” д:

и

<ря г2(/») -г»- sin"

i 2JT.

„

(я +

1) (п 4- 2)

Доказать, что ?Л42 (д) = — ——— — — ■?«(/>).

1) / (лг) = sin2/!je;

2) ,§• (х) = sin2n+ix.

* Символ

означает целую часть числа

1

( р 2 +

а?)п

35.

Считая т, п и s

целыми положительными числами, доказать, что

____________ I____________

т

( - ^ c k„+k

1) ( р + а) т ^ ( р + Ь)Пх1

k=0

(b — a)n+1+k

x m~ k

n

( -

') bC % +k

x n~ k

X

(m — k)\ +e~bxX

(a — b)m+l+k

(я — А)!

;

ft~0

( P + a f

S\

2)

( p

+ b)n+*

'

----- e - bxx n~ sLn, - s Ub — a) x] (S < n);

n\

s

u

M

’

3)

______ (/> +

a)S_______ ■S’i !

-b (x -t)

X

( p

+ b)n +l ( p

-f c)m+l

'

n\ m\

X (x -

t)n- s ‘L%-s ‘ [(b -

a) (x -

0] e - cltm- s >Lf~s>[(c - a)/] dt

(St + S 2 = S,

< n,

S 2 < m).

36.

Пусть

tf(jo ) ^ f ( x )

и ф 0 ? ) - ^ g ( * ) .

Показать:

10

(0 < jc < a),

1)

если f ( x ) =

|

g (x )

(a

<

x

< b),

lo

( b < x ) ,

TO

<f (p) = e - aP^a (p) — e~ bPtyb (p),

где 4>a {p) — изображение

функции

g (x + а) и a

> 0 .

Рис. 7

Рис. 8

38. Найти изображения оригиналов,

заданных несколькими фор-

мулами.

(0 < х < а),

0

х — а

(а < х < Ь),

b — а

(Ь < х)

1( 0

(0 < х

< а),

2) / ( * ) =

( а < х )

- Ь(х- а )

,

2лх

(0 <

х <

дао),

A s in -------

3) f ( x ) =

0

(дао < х).

I

2ялг \

(0

< л- < 2Т) ,

А I 1 -

cos - у - j

4) f ( x ) =

0

( 2 Т < х ) .