книги из ГПНТБ / Шелковников Ф.А. Сборник упражнений по операционному исчислению учебное пособие для студентов вузов

л:

^ / 0 ( ) Л * - p ) d t + r

• sin X.

^ + 1

•

3) Р е ш е н и е .

Используем

частный

случай

теоремы

Эфроса:

5 Л> (2 V t ( x - t ) ) f { 0

+

В нашем случае

f ( x ) = e-2А',

?(/?) =

’ Т

+ р )

(р +

I)2

Р + 2

4)

1

— x sin x .

’

2

5)

Р е ш е н и е . Используем

частный

случай теоремы Зфроса:

со

п

1

^

2 Лг(2 V x t ) f ( t ) d t + -

t)n+i

В данном интеграле полагаем t = 2 Y

ху. Тогда

Л ( 0 dt — \

Л ( 2 V x y ) d y -

0

Т

Т

i

/

Jr

\ 4

~ Г f

J i (2 V x y ) у 4 dy.

Здесь

f ( x ) = r . x

4

/

1

——

— f (p )> n = —

з

2

Поэтому

г ( т)

1

'f

—

' 5

p “-rl

\

p

Следовательно,

p

p

1

1

\

J j

(t) dt =

x 4 ■x

4

= 1 .

о

2

n + (7 +

1

2ч

•.

У к а з а н и е .

Положить jc =

6)

^ и — $ + 1

a ?+1

= У у , а = 2 У а

и

в

получившемся

интеграле умножить

п

и разделить

подынтегральное

[

а

\ 2

выражение на

—

/

\

1/

7)

Р е ш е н и е .

Полагаем

х =

У г /,

я =

2 V"a , 6 = 2 У

Тогда

оо

оо

^ Jn (ах) Jn~x (bx) d x

= - ^ - \

Jn (2 К *y)Jn- i (2

—угг •

X

2

У У

Умнойив и разделив на

( — )

,

получим:

оо

\

У 1

о

П

^ Jn (ax) Jn~\ (bx) d x ~

”

^

^

. 2

о

x (2 V * y ) y 2 J n ~ \ h - V h ) dy-

Известно,

что

: 2 Jn (2 Y a x ) ^

Поэтому

n-\

n-

1

2

У 2 J n - A 2 V h ) ^ - 4 — e p

Используя

формулу,

приведенную в

решении примера 98 •

(п. 5) получим:

п—1

^ Jn (ax) /„_ ! (bx) d x

.

P

2

1

-«-f

".

. ,_L еч >р

о

P

Заменяя а и (3 их значениями, получим изображение иско­

мого интеграла в виде bn- i

1

-

~ р

Возвращаясь к оригиналам и учитывая при этом теорему

запаздывания,

получим

(

Ьп~'

“

(b >

а).

— I

----------,

] Jn (ах) Jn—, (bx) d x

l

0 ,

(b <

a).

8)

2

У к а з а н и е .

Учесть

2п-«'л? -п + 1Г л

q - 1

2

пример 98

(п. 6).

заменяя а через- у

х и 6 через У ?, будем иметь:

1

Г

J„+1( 2 V x l ) S m ( 2 V ? ( ) ) d t

2п~ т )

п+1~т

е®

п-Ь1

т

=- -Ч т г5

(т) 2 4 + i ( 2 V ^ ) f a ^ ( 2 V T 0 r f < .

2П—тх 2

о

Изображение получившегося интеграла будет

рИ+2

'

• V р

У

Р

1

где чр(р) =

р — есть изображение

функции

т

f ( x ) = x 2 л У т У ) .

Следовательно, учитывая теорему запаздывания

m

ft2

1 2

(* > Р).

пЛ +2

р-РР .

Г (л — от +

1)

«л—тга + х

О

(х < Р).

Лг" 1

Jт ( ^ )

d x =

/ а 2 — № \п~т

1) а

)

Г (я — m +

Ьп

ьг

Ю)

4а2

е

(2в2)” +1

У к а з а н и е .

Положить х =

У у ,

6 = 2.1^?

и воспользо

ваться

формулой

«/ •

'

п п + 1

, - t

У к а з а н и е .

Положить х = ~Vу ,

b ~ 2 У^р" и воспользо

ваться

формулой

J/о

—

?

о

12)

i 2

2й

4а

99. 1.

Р е ш е н и е .

Известно, что

(q + a ) V { p - q f + bi

ф (/> )= ,

1

;

.

1

®( 0) = -

cfi + b2

V (p + a f + b2

V

2) Р е ш е н и е .

J0(bx) cos ax

Ф (p)\

j

j 0(bx) cos ax d x = Ф (0).

о

Ф (/>)=--2 res?Jj(9)<p(p — 9),

Ф(Р):

P

■ . . . ...

p 2 + a2 •

?(.P)

=

^ J 0(bx).

Vp2+£2

Ф (p)

q (q —jo)__________ i

+

(q-ia)(q.+ ta)'

- ^ (/7_

9)2 +

i2

q=ia

q( q + ia)

_______ i

■

(q

ia) (q + ia)

y

( p _ q ) 2

+ bz

q=.—ia

1

1

2

ia)- + W

+

lay +

V ( p +

2 V ( P -

b2

Ф (0) =

1

'

•

1

1

•

2 V b 2 — a2

h V b * — a?

V b 2 — a?

3) Р е ш е н и е .

sin bx+-

b

'HW;

p 2 + b2

Jn(ax)+■---------------------------

( V p 2+ ' a K ~ p ) n = ?(/>).

an ] / p 2 -f

a2

Ф(р) = Xres^

b [V (p — q)2 + a2 — (p — g)]n

(92 + b2) a"

— #)2 + a2

ф /л\ _

1 • (V а'2 — 62 + ib)n — (V а2 — Ь2— /б)я

1 _

2/а ”

________

. ь

—I arcsin —

у а2— Ь2 — ib — ае

Используя формулы Эйлера, будем иметь

.

ь

.

.

ь ■

. /

.

Ь\

in arcsin—г —in arcsin-АЛ

I

ап \е

а — е

а I

sin I

п arcsin

—

Ф ( 0 )

2ian ~\/~а2— Ь2

V а 2

Ь2

Следовательно,

оо

sm

b

^ Jn (ах) sin bx d x ~

Ф (0) =

п arcsm ■

5)

1

(

b \

I. У к а з а н и е .

Учесть решение при­

— si nl warcsi n

—

мера 9 9 (п .З )

и использовать формулу

Jn {ax)

( V р * + а» ~ р У

1

/

х

Ь

'

пап

6)

— cos

п arcsin —

п

\

а

7) Р е ш е н и е .

Полагая х =

\ Гt ,

b — "j/p ,

получим:

1

р e~atc o s 2 ^ ^ t

■dt.

е~ах cos 2bx dx

V7

о

о

~Г

Известно

(см.

пример

9 п. 3),

cos 2 V V

1

-

^г

ч т о ---------— ------*т-------- е

р •

V

T-t

~V~p

Поэтому, умножив и разделив на

V я и учитывая эту фор­

мулу, будем иметь

j* е

ax2cos 2Ьх = ^-Я -^ -at

cos 2 V fit

V r d

~yr~TZ

1

2

V T

2

у

a

tOO. 1)

p e ш e н и e.

В данном случае:

f ( x , t)

! — cos x t

¥ (p ,

— — - — 1,

p

'

P

\

P

/>= + P

1I

1

/ 1

it

1

. TtX

H P ) - 5 P

\ p

pi — P

dt =

T'~pi~^ ~

Следовательно,

1 — cos xt

P

■dt -

о

2)

2

3)

2a .

4)

О

*)■

2a?

5)

Р е ш е н и е . Изображение искомого интеграла выразится так

f ( p ) :

d t

(t* + 4) ( Р + р з )

о

A t + B

C t + D

-

E t + F \

V + 2 t + 2

+ —— Ъ— — +

T

■: ■\dt.

P — 2t + 2

P + p 2

Значения коэффициентов будут

A

P2 + 2

В = D

C =

4 (р^ + 4)

8 (p* + 4)

’

1

£

= U;

F =

p 4 + 4

Выполнив интегрирование, получим:

<P(P) =

л

р г — 2p + 4

P + 1

8

p ( p 4 + 4)

P

( P +

1)2+

1

Следовательно,

sin xt

■dt = —

(1 — e—x cos x).

t( t4 +

4)

8

v

’

6)

Р е ш е н и е . Изображение искомого интеграла будет

<Р(Р)= \ е~РХ[ \

sin xt cos t

dt

cos t

dt.

pt 4 -

p

) d x A

0 ( o I),

7)

5

cos x t sin t

г

■dt —

8)

Р е ш е н и е .

Считаем x

за независимую переменную, a y

за параметр.

Тогда изображение данного интеграла будет

<р(р)— ^ е~Рх

^ sin — sin y t d t j d x =

о

о

=

^ sin yt{\^

е~рх sin —

d x ^ j d t —-

o

о"

oo

1

oe

---------

1

ts 'm yt

sin yt- --------

------d t =

p

' —

\

- —------

0

p 2 +

1

p 2

i

p +

0