книги из ГПНТБ / Шелковников Ф.А. Сборник упражнений по операционному исчислению учебное пособие для студентов вузов

ди

д2и

1

ди

=

а2 ^

+

г

дг

1м

дг2

при условиях

0) = и 0,

u(R,

t) = 0 .

и (г,

Пусть u(r, р ) - ^ u (r, t). Тогда

операционное уравнение

будет

д2а (г, р)

ди (г, р)

ри (г, р) — ий= а2

+ ■ г

дг

дг2

- , -

Р -

"о

а2

а2

и(г, , ) _ е д ( П 5 ) + Д» .

V а !

р

r V p

eP‘Jо

Ф ( Р ) = ‘

V ' i

r

P-Iq

Функция Ф(/?)

имеет простые полюсы в точках

а2 о

7> = 0 , р = — — ^

{п=-= 1, 2, 3, . . . ) .

где (.1,г — корни функции / 0(х).

Находим вычеты:

Res Ф ( jc) =

1;

Res Ф (р) —

Че

R r J o l ^ r

РлЛ (рл)

р=0

Р

Таким образом,

и {г, t) = м0— и0 1 — 2 ^

(^fl)

или окончательно

,

/ ря

\

I р 1 t

1(г,

О =

J*

\ R

r ' e

2«0^

На основании формулы

Т ]

^ У а Х) ^ ^ е

>,

при я = 2, а= 1, получим:

\ е р

xJ2 { ч У х ).

Р3

Следовательно,

х

^ (х — О У0 ( 2 V t )

dt = xJa( 2

У х ) .

о

п + т+1

( 2 V а * ).

2) — (п + 1 ) X

2

уп+т+1

л+1

У к а з а н и е .

Умножить

и разделить

данный интеграл на

т

2

Jm{x) . r ( ] / > + I - / » ) "

dp.

5

Vp2+1

Полагая ~\^p2 +

1 — p ~ t ,

будем

иметь:

Yp *+ i —p

{ V p 2+ 1 — р У

Jm (x ) ^

C tm-l

dt :

X

‘

J

Применяя теорему умножения, получим:

V7+Т-Р)т+

m-t-п ( Х )

^ Jm (t)Jn ( x — t ) d t * ~

т V ' p 2+ 1

о

тп

Jm + n ( x )

о) ------ ;—

• --------------•

т -+■п

х

2)

-----------------.

'

а2 + £ 2

3)

Р е ш е н и е .

Используем формулу

| f ( x )

d* = <?

(0),

v

Sin.*

полагая / ( * ) =

-------- <г-

х

? ( р ) =

dp

1

ср (0) =

т.

----------==

arct g— ;

-—■

р ъ + \

5

р

Y v '

2

Следовательно,

Sin X

It

-------- d x = — .

x

2

4)

arctg — .

f ( x )

=

cos ax — cos bx,

9 ( p ) ~

p 2 + a2

p2 +

b2

Ф (p) — —

,

a ( x ) = l .

Поэтому

P

cos a x — cos bx

x

x

\

d x =

■

b

J

x

■d x

----------- +

------------ -

In

—

6

x 2 + a?

x 2 + b2 J

a

0

2)

Р е ш е н и е .

Полагая

e

2ax— 2e

+

e 26ж =

/( х ) ;

1

=<K/0 -

P3

Получим:

1

6 +

■; g (x) =

x .

p +

2a

p 4

a +

p 4 2a

Следовательно,

e - a x _

e —bx N 2

x

2x

d x —

d x —

: 4 2a

x + a + b

x 4 2b

■In

(2a)2a (2b)2b

( a + b f a+b)

3)

Р е ш е н и е , sin x-cos ax = yj-[sin (я +

0 x + s in (1 — а )х ].

Полагая / ( x ) — sin x cos ax;

i

получим:

ф ( р ) = — ,

P

1 -f a

4

. ? W

=

1.

2

!_P2 +

(1 +

p2 4

(1 — a)

a)2

Следовательно,

если | а \

< 1:

sin х cos ах

1

1 + а

--------------— dx

Х2 +

dx -

О

(1 +Я)3 у-JfS + (1 —Я)2

О

Если | а | — 1,

то (см. пример 96 — 3)

Если j a | > 1 , то

получим:

sin x cos ax

arctg

arc tg ;

■d x -

1 + .a

Таким образом,

i

~

3!

x

i g — a X

ч(р) =

4!

Следовательно,

х 3 d x

- а х d x

-

(х + o f

\ \

4я

a -f~ 1

У к а з а н и е .

Положить In х=

— t.

10)

+ 1).

У к а з а н и е .

Положить x2=t.

11)

1

№ +

26 + 2

—

In — -------z — .

2

я2 +

2а + 2

У к а з а н и е . Положить In х=

— t,

12)

r-b

- У ат<

У к а з а н и е .

Положить х= у

г

13)

Полагая f ( x ) = / 0(*) — cos х , ф ( р ) = ' — ,

получим:

Р

У р2 + 1

Следовательно,

^ [Л>(-*0 — cos*]

d x

dp = In 2 .

= W -

о

oJ

\

V ja

+ 1

p2 + l

14) Р е ш е н и е .

2л—I

2л—5

■*

J 2л—1

( * )

. 2

^

J in—1 (x ) d x =

^

• d x =

/4.

*2

2л—1

/(■*) =

■*

2 ^ 2„ -

l W

^

— -------- = у(У>

(см. пример 34),

(p*+

1)"

'K/0 = — Г "-

S ( x ) = x .

Следовательно,

2л —1

2л—3

А = 2

2

(я — 1)!

Г

дга'дг

_

2

2 (я — 2)!

У и

J (х3

1Г

у я

0 ^

+

98. 1) Р е ш е н и е .

Используем

частичный случай теоремы Эфроса:

^У о(У -*2- < 2 )/(< ) dt<i-

-ср (У /Р +

l)-

о

V Р-

'

В нашем

случае /(.« ) =

1;

ср(р):

9 ( V Р2 + 1 ) =

I V + 1