книги из ГПНТБ / Шелковников Ф.А. Сборник упражнений по операционному исчислению учебное пособие для студентов вузов

Соответствующая система операторных уравнений будет

( С ^ р 2 +

\ ) к ( р ) +

МС1Р>12(р ) =

Е^Сг,

MC^P‘ii (р) 4- (,C2L2p'2 +

1) h {р) = У ■

Решая эту систему, получим:

Н (Р) ■

___

ЕцС] (C2L2p- + 1)

(CXC2LXL2 -

М 2С:С,)p i +

( C ^ i

+ C2l , ) р 2 +

1

1'ЛР) ■

EJZxC2Mp-

(С\СчЕ\Е^ — /Vf-CjCo)p l +

(C\L\

+ C2t 2) P" +

1

Если обозначить

1

M2 ■ = k ,

V

c 1C 2L 1L=2k a

и V

( C

i L

+t

C 2L 2)2— 4a? = b,

L,L,

(P1CJ-4L2 — Л42С1С2)p i + (C\Li +

+ 1 —

—- a2p 4

(C\Lj -f- C2/-2) P2 ~t-

1

— a2 ( p2 +

( p 2 + «2)’

где

w

C\Li 4- C2L2 — ^

4 /

CjLi 4~ С*2^2 4~ Ь

lap‘

’

“ 2 = j /

'

2д2

’

Тогда

-V

,

,

ЕцС , ( С , Ц р 2 +

1)

^

,

Ey£ xC2Mp2

h ( p ) = --------------;------------ — .

h(P)--

а Ц р 2+ u>f)(p2 + uf)

a2 ( p 2 -+ o)j) ( p2 +

<d|)

Следовательно,

h (0 =

~

E qCi [ “>2 (1 — C2L2u>\) sin wjT — u>i (1 — C2L2mf) ■ sino)2/],

h (0 =

—

ЕйСхС2М (ш2 sin u>it — u)j sin u>2t).

b

77.

При t > Т

i (t) =

'1

„—at sin bt +

■

Lb

e-a(t-T) sin b{t — T),

Lb

где

R

b2 — --------

>

0 .

a ~ ----- ,

47.2

2L

CL

У к а з а н и е .

Операторное уравнение здесь будет

1 -

:(Р)

Е х( \ - е - Р т) + Е2еРт

L pi(p) + R i ( p ) +

. р

Ср

~PtD\

_

\ a i ’ ПРИ 0 < t < T ,

и ( р ) ~ ------------где g ( p ) ^ > g ( t )

i

при t > Т .

1 — е~~рТ

(О,

Отсюда g(.p) ~ — (l — е

аТ

и

рТ)■

е рГ

Р

1

а ( 1 - - е

рТ)

аТе~рТ

I (0)(1

- Р Т )

г" ( Р)

-рТ

R

L 1р + L

Lp"[р 4

L p [ p + -

Для краткости письма обозначим через Ф (р) алгебраическую

сумму функций, стоящих

в последнем

выражении в квадратных

скобках и положим

i (0)

_

R

= А,

~ г = в '

т

ь , < H p ) ^ F ( t ) .

Тогда

Ф(Р):

А { \ — е~рТ)

АТе~~рТ

В { \ — е- рТ)

Р2(Р + Ь)

р ( р + Ь)

р + Ь

Отсюда,

при 0 < t < ^ T ,

имеем

А

n—bt

F ( t )■■ 62

(bt — 1 + e- bt) + Be

При t > T:

F (t) =

e~ bt

62 ~

-еьт+В( 1— ebT) + АТ ,ьт = 0 .

&2

дической э. д. с. был ток

а (ЬТ -

■е~ьт)

Ь =

f(0) =

е~ ьт)

62(1 -

L

аТ

I t

1

„—bt

i (t) = -----

T

bT

-bt

W

R

причем здесь

0 < t < T.

79. 1) Р е ш е н и е .

Применим к заданному

уравнению

преобразова­

ние Лапласа относительно переменной х, полагая

и ( р , у)~Р>и(х, у) и f ( p , у)

(х, у).

Имеем

—.

,

ди ( р , у)

—

—

у),

аРа ( Р> р) + ь ------7-------

+ с и ( р ,

y ) = f ( p ,

ду

ар и( р, q) +

bqu{p,

q) — Fj (р) + ей (р,

q ) = 7 ( P , q ) -

Отсюда

и{р ,

h ( р ) + f ( p , д)

ар + bq + с

Возвращаясь

к

оригиналу и ( р , у), получим

_

ар+с

I

У _ ар+с t

й ( р , у ) = е

ь У^ (р ) + —

ь

7{Р< У — t) d t .

_

еРУ

и ( р , У) г==

~ [е~~ру ( РУ3 — РУ + У2) + С].

Р2

и (р,

у) будет изображением

и (х, у) только

при С = 0, так

как

при

у > 0 функция — еРУ

неограниченно

возрастает

при

—,

,

у3

и

у2

и(р, у) = — — — + — и и (х, у) = у3 — у + ху 2.

3) и (х,

у) =

у +

sin х — sin у.

У к а з а н и е .

Применить к заданному уравнению преобразование'

Лапласа относительно переменной у, положив

и (х, р) — и (х, у).

4) Применим к заданному уравнению и краевым

условиям

преобра­

зование Лапласа относительно переменной у, полагая, что

«О*.

у),

и (0,

И(0, у) и « (/,

р ) - ^ и ( 1 ,

у).

154

5) Применим к заданному уравнению преобразование

Лапласа по

переменной х, полагая, что

Имеем

и ( Р . У ) ~ ' “ (х, у) и 7 ( р ) - > / ( * ) .

ди ( р , у)

(р* + а?)и(р, у) —

= / (л ).

Отсюда

ду

и (р, у ) = С е {р2+аг»

+

f ( p )

jо2 +

я2

и(р, у) будет изображением и (.г, у)

только

при С =

0,

так как

при р-~ со

и у > 0 ,

функция

е^рг+а >' у неограниченно

возрас­

тает, Следовательно,

—

/ ( р )

*

Г

— t ) s i n a t d t .

м( Р. </)=

ГД— —

—

\ f ( x

р 2 + а2

а

.)

о

6) w (х,

*/) — л: -f- у cos j: — sin x —

x sin x.

x

___

n

7) u ( x ,

y) = § f ( x — t) sin t d t +

У т сх ^

Cknx kyn~ kJk+Xh(x).

о

■

ft=0

Отсюда

находим и(х, у):

Л

V

и ( х , у) — j

ср (х — t) / 0 (2 'j/'ayt) dt + j* Ф (у — t) J 0 (2 У a x t ) dt +

о

v

о

х

__

+ ^ dt

j”f (х — т,

у — t) J0 (2 У"atx) dt.

чены сопротивление, индуктивность,

утечка

и

емкость,

отнесенные

к единице длины линии.

сводится к

решению

дифференциального

80. Р е ш е н и е . Задача

уравнения

1

д2и

где

а —

дР "

— .

Я дхз ’

V

LC

при начальных условиях

и (х,

0) =

ди(х, 0)

0

0 ,

dt

и краевых условиях

и (0, t) — E (t ),

и ( х ,

t ) — ограничено

при х

оо ,

_

д2и (х, р)

и

_

—

р2и (х,

р) = а2 ----- — ;---- -

и (0, р) =

Е {р).

Отсюда

р х

р х

и (х, р) — Схе

“ + С2е а .

р х

Поэтому

и ( х , р ) = Е ( р ) е

а .

и (х,

t)

О,

при t < —

=

х ^

LC,

=

E ( t

— х'У-LC),

щ'А t

у

L C .

81.

и( х, t)-.

О, при t < ах,

e —a m x g у _

п р и ^ у аХ !

где

b

=

CR + LO

т ----- —

-------------■.

а2

2LC

У к а з а н и е .

Задача

сводится к

решению

дифференциального

уравнения

д2и

ди

д2и

а2 —— + 2b — + с2и = —— ,

dt2

dt

дх2

где

а2 = CL,

CR + LG

с — RG,

b — ----- ------ ,

с начальными условиями

и (х, 0) =

0 ,

ди (х, 0)

(х

> 0),

-----—----- = 0

и краевыми условиями

и(0, t)=E(t),

и(х,

t) — ограничено при х-^оо.

должна удовлетворять

82. Р е ш е н и е .

Искомая

функция ч(х,

t)

уравнению

д2и

д2и

-----= а2 - —

dt2

дх2