книги из ГПНТБ / Шелковников Ф.А. Сборник упражнений по операционному исчислению учебное пособие для студентов вузов
.pdf58. 1) Р е ш е н и е . Операторные уравнения, соответствующие систе ме дифференциальных уравнений будут
-'F ( р)
Py~ aZ = A + ^ ~ = ^ ’
— by + рг — В ,
где А = у (0), В = z (0) и
(0 < х < 2со),
(2и> < х).
Из системы операторных уравнений находим изображения иско мых функций:
где
При х < 2со:
Л ( х ) = ^ /( / ) ch { x - t ) V a b dt + A ch х У ab + — — sh х \ / ab,
о |
V ab |
|
|
X |
|
А О |
/— |
+------sh х у ab.
1/ 7 ь
При х > 2«:
130
2си
Fi (х) = ^ /(ft) ch (х — ft) У''ab dt + Л [ch х |/ ab — ch (х — 2ш) X
*) |
|
|
О |
|
|
X У аб] + |
[sh х У ab — sh (х — 2и>) У ab] = 0 . |
(2) |
\ |
ab |
|
2ш
F2 (х ) = —-— ^ /(ft) sh (х — ft) У ab dt + В [ch х У ab —
У ab о
— ch (х — 2м) Уaft] + — — [sh х У аЬ — sh (х — 2и>) У aft] г О . (3)
V a b
Из тождества (3) методом неопределенных коэффициентов опре
деляем Л и В:
2о)
А — ----------- — - \ |
/(ft) sh(« — ft) У ab dt, |
|
2 sh a>У aft |
g |
|
V b |
2ш |
|
^ /(ft) ch(u> — ft) У а й dt. |
||
B = |
||
2 У а sh о) У ай |
о |
Можно убедиться, что при найденных значениях Л и В справед ливо и тождество (2).
Подставка Л и В в (1) дает искомое периодическое решение в промежутке (0; 2(о):
х
y{x)=^ \ ^ f ( t ) a \ \ ( x ~ t ) V a b d t - { -
о
2ш
+ --------------— \ sh (х ■+- ш — ft) У ab dt, 2 sh ш У ab q
5* |
131 |
|
|
|
■(*) = |
у |
^ / (t) sh (х — t) У ab dt + |
||
|
|
|
+ ' |
|
|
^ f( t) ch (x -\- со — t) У ab dt |
|
|
|
|
2 sh ю ] / ab |
o’ |
|
||
2) |
При начальных условиях: |
|
|||||
|
|
|
|
2co |
|
|
|
|
|
|
|
l |
[/(< )sin 4 (( — 0>) + |
2F(i;)cos4(^ — v)]dt, |
|
|
u ( 0 ) = ------ ------ [ |
||||||
|
. s |
|
2sin4co |
.1 |
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
2ш |
|
|
|
z { 0) = |
4 sin 4<o |
^ [/(() cos 4 (t — ш) — 2F (t) sin 4 (t — w)] dt, |
||||
|
|
|
|
|
|
||
система имеет периодическое решение |
|
||||||
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
y — [ [ f (t) cos 4 (x — t) + 2F (0 sin 4 (x — ()] dt + |
|||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2co |
|
|
|
|
+ |
------------- \ |
[ / ( 0 |
sin 4(^ — to — д:) + |
2F(^) cos 4(^ — u>— x)]dt, |
|||
|
2 |
sin 4to |
j |
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
ЛГ |
|
|
|
|
|
|
|
^ [2F(f) cos A ( x — t ) — f (t) sin 4 (x — /)] dt — |
|||
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
2to1 |
|
\ |
||
|
|
|
' ^ |
[/ (0 cos 4(( — <» — x) + 2F(() sin 4 (/ — <o — x)] d x \ . |
|||
|
2 sin 4«) |
|
|
|
> |
||
|
|
|
o |
|
|
|
|
132
3) При начальных условиях:
|
|
|
|
|
2о> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— I |
f (t) cos 3 (ш — t) d t , |
|
|
|
|
|||
|
|
|
у (0) = ------------- ^ |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
JX |
3 sin 3» |
J |
|
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
za> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г (°) = |
0 '~. 'o |
~ \ / ( 0 |
[ — |
COS 3 (со — t) + sin 3 (<0 — t) |
dt, |
|
|||||
|
|
2 sin <3co |
j |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
система имеет периодическое решение |
|
2(0 |
|
|
|
|
||||||
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = |
— ^ r \ f { t ) s i n 3 ( x ~ t ) d t — |
- |
\ / ( 0 cos3 ( jc + |
*» — t)dt, |
||||||||
|
3 |
.) |
|
|
|
3 sin 3<*> |
j |
|
|
|
|
|
|
* = у {t) |
cos 3 ( x — t) — — |
sin 3 { x — t) |
dt ■ |
|
|
|
|||||
|
|
|
о |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 sin 3to |
№ |
sin 3 ( x + |
<» — t) 4- — cos 3 ( x + « — t) |
dt. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||
59. |
la. Р е ш е н и е . |
Умножаем |
обе |
части заданного |
уравнения |
на |
||||||
e- pxdx и интегрируем по |
х от х0=0 |
(правый конец отрезка, |
на |
ко |
||||||||
тором задана начальная функция) до °о. Левая часть уравнения:
j e~pjcy r ( x ) d x = py — у0.
о
Правая часть уравнения:
У ~ Р х у ( х - l ) d x = y ~ p{t+X)y ( t ) d t =
О —1
оос
Ге~~р^+^уъ dt -f |
Гe ~ p{-t+^ y (t) dt —— (1—е-р) + е - ру. |
||
J |
0 |
J |
P |
—1 |
|
^ |
|
133
Операционное уравнение будет
Р у - У о = - у ( 1 - е - П + е - * &.
Отсюда,
Р+
У( Р ) ~ Уо р 2 _ р е-
Разлагая правую часть в ряд |
по степеням а~Р. будем иметь |
|
|
- Ь р |
^ |
у ( р ) = - у о! |
+ У ', |
J' |
р |
— р fc+2 |
|
Следовательно, учитывая теорему запаздывания
(-У — «)'A+I
У (■*) = Уо + Е т^(х — к) (к + 1)!
k=О
где
0 при х < k,
— /г)
1 при х > к.
При п < д: < п + 1
( х ~ |
‘ |
У (■*) = Уо 1 +
( * + 1)1
к= 0
За м е ч а н и е . При решении уравнений с запаздывающим аргу* Ментом, изображение неизвестной функции имеет вид
М(р) + N (р ) е~*р
У(Р) =
Р ( Р ) + Q i P ) е ~ * р
где М, /V, Р и Q — целые полиномы от р.
134
Разложение у{р) |
в ряд по степеням е~аР |
можно |
писать |
сразу |
||||||||
по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М(р) |
|
|
М(р) |
АГ(Р) |
|
|
Q (p) |
e-kaP' |
|||
у(р) = |
Р ( Р ) |
+ |
|
Р(р) |
Q (p ) |
S < -1)" Lp (p ) |
|
|
||||
16. Р е ш е н и е . |
Здесь |
x0=\, |
поэтому интегрирование по х нужно |
|||||||||
проводить в пределах от единицы до бесконечности. |
|
и |
что |
при |
||||||||
Левая часть |
уравнения. |
Учитывая, что |
у ( 0)=0, |
|||||||||
О < х < |
1 у ' = 3, |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|||
^ е~Рху (х ) d x -■=^ |
^ = РУ- |
|
pxd x =~-РУ + |
— |
(е~р - |
|
||||||
1 |
|
|
о |
о |
|
|
|
|
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Правая часть уравнения, Заменяя х—1 = t, получим |
|
|
|
|||||||||
|
со |
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
^ е ~ Р х у |
( х — 1) d x = |
^ e ~ p |
(t + l ^ y (t) d t = |
е ~ р у . |
|
|
|||||
|
1 |
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
Операционное уравнение будет |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
_ |
3 |
|
|
- |
|
|
|
|
ру + — (е-Р — 1) = е— Рг.
Р
Изображение неизвестной функции аналогично предыдущему при меру представим так:
3 - 3е~Р |
|
|
У(Р) = р- —ре~р |
|
|
Следовательно, |
|
|
У (х ) - - Зх + 3 |
V 1Г (х — k)ki l |
(х — k)k ' |
Г| (х — k) . |
||
|
( * + 1)1 |
k\ |
|
*=1 |
|
135
Для х, лежащего между Л и й+1: |
|
|
|
|
|
|
X I Г (jc—*)A+1 |
(x — k)k ~\ |
. |
||
г/(л) = Зх + 3 > Р -------- |
{------- - |
--------- — |
J |
||
УК |
(£ + 1)! |
k\ |
|
||
2 ) у ( х ) = х * - \ . |
|
|
|
|
|
3) Р е ш е н и е . Пусть |
f(p) т> |
f(*). Тогда операционное уравне |
|||
ние запишется так |
|
|
|
|
|
ру + 2 у — e ~ P y = f { p ) .
Решение этого уравнения запишем в виде произведения
|
Й Р ) = — |
2 - е - Р -7(Р)=1ЛР)7(Р)- |
|||
Неизвестная функция г/ (х) будет сверткой функций |
|||||
/ ( X ) И </! (*) -> (/t (р) = |
------— ------- — . |
|
|||
|
|
р + 2 — е - р |
|
||
Преобразуем г/Др) следующим образом: |
|
||||
У1(Р) = |
1 |
+ |
' |
Р.-кР |
|
р + 2 — е- |
s - (р + 2)* |
||||
|
Р + 2 ‘ |
р + 2 |
|||
k=l
-Ар
2 - ( р + 2)*+1 ft=0
Переходя к оригиналам, находим г/i (я) :
У \( х )= |
^ ^ ---- е Чх k)-q(x — k). |
h=О
136
Следовательно,
у ( * ) = |
^ / ( x - t ) - { t — k f e - W - V d t . |
ft=G |
0 |
Для x, лежащего между п и л+1;
|
|
ОО |
|
X |
|
|
|
|
j / w |
- |
У , |
~ |
^ f ( x |
— t ) - ( t - k ) k e~2{t~ k) lit. |
|||
|
|
Л=0 |
k\ |
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
||
4а. Р е ш е н и е . |
Операционное уравнение будет |
|
|
|||||
|
|
Р"У |
1 + у + |
е~жру — 0. |
|
|
||
Изображение неизвестной функции запишется так |
|
|||||||
у(р)- |
|
1 |
|
|
1 |
|
(- 1 |
)ке-кщ, |
1 |
|
|
|
o~kKP2( Р - + 1 )* +1 |
||||
' |
|
|
' |
|||||
|
|
k=0 |
|
(т?2 + |
i)ft+> |
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Известно, что (см. пример 34) |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
лf |
, |
и+тг |
|
|
(р 2 + |
,)«+! |
■ |
— |
\ 2 |
“ J |
J |
(х). |
|
п\ |
] |
п + У |
’ |
|||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
||
Х Л ( — 1 )* (-*■ — Йг.) |
к+Т |
|
|
|
||||
2 |
j (х — Йг)-Т|(л: — /г~), |
|||||||
( / ( х ) = } т : V |
------------------------------- J |
|||||||
fe=o |
|
й! 2 |
Ь4--— |
|
-г- |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|||
137
Для х, лежащего между пп и (п+ 1)л: |
|
||
п |
(— \ )к {х — кг.) |
*+7Г |
|
1 /— |
2 |
! (х — Ьк). |
|
у ( х ) = У г. ^ |
------------------- ;----------- |
/ |
|
к=0 |
k+-T- |
|
k\ 2 2 |
||
|
46.Для х, лежащего между пп и (п+ 1)я:
у (х) = |
sin л: + |
У г- 2 |
(— 1)*(JC — fc=)*+ т2 J |
3 { x ^ k r . ) . |
||
|
|
(£ + |
й+— |
*+ 4 |
||
|
|
|
*“ ° |
1)! 2 2 |
|
|
У к а з а н и е . Операционное уравнение будет |
|
|||||
|
Р2У — 1 + У + е %ру |
е~ %р (1 + ежр) |
: 0 • |
|||
|
/>»+ 1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
При |
переходе |
|
к оригиналам |
воспользоваться |
решением при |
|
мера 34. |
|
|
|
|
|
|
5) При л < х < |
и + 1 |
|
у (х) — e~iX + 4ех — 5 + |
|||
пX
+ |
2 |
( T z n ^ - |
5 |
е~ А(х~ 1~ к) (e~v + Aet - 5>(■* - 1 - кУ ~ г dL |
|
k= l |
' |
о |
|
6) |
у (х) = 2х -f 4. |
|
||
7) |
При |
п < дг < |
п -f 1 |
|
п
у ( х ) = е - х ~ х е - х - 2 { - \ ) k e - (x~ k){ x - k)k +*Lkk± \ [ - { x — k)]. k=\
У к а з а н и е . При переходе к оригиналам использовать пример 35.
8) у ( х ) = е ~ х .
9) Р е ш е н и е . Изображение неизвестной функции будет
У iP) =
( Р - 2К / Р + \) + ( р - 3 ) е ~ ар
138
О т с ю д а
Л(— !)*(/> — Ъ)ке~Ыр
|
|
|
|
|
<(р) - |
|
2 |
|
( p - 2 ) k Tl(p-2 + |
))* ,-1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
А = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(Р - |
3)* |
'e-xLk {x) н |
|
' |
V r. |
л'*+ “ J |
к + - |
W - |
|||||||||||
(/■ |
-2)к |
J |
|
|
|
|
|
|
|
А! |
|
|
|
|
|
||||
то по теореме умножения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У(х) — \ |
- Ч О |
( |
- 1) |
|
ti (•*— йя) е2Х \ e~-tLk (x — t ) t |
+ 2 J |
! (O^f. |
||||||||||||
- |
|
Ц т ^ |
|
||||||||||||||||
|
|
|
•А-1 |
|
к! |
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
|
A+— |
|
||
|
|
|
A=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
При па < |
д: < |
(и -f |
1) а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
л |
|
|
|
Л |
t)t |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
V O ( — D* |
(• |
fc+2- |
|
|
|
|
||||||||
г/ (-*■; = |
Я |
|
—- |
— |
e-k ^ e~2tLk (х ~ |
|
2 |
J ^ |
х |
(/) dt. |
|
||||||||
|
>(-*■) = |
w |
: £ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
k*=оo |
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
10) |
При |
ла < X < |
|
(л + |
1)а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
п |
|
|
ж |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у { х ) |
= |
S |
( - l y j V |
|
v C |
v - O ^ J e - 2Y * [ 3 ( / - x ) ] i A(7t)rft. |
|||||||||||||
|
|
|
* = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60. |
Р е ш е н и е . |
Направляя |
ось Oz вертикально |
|
вверх |
и |
помещая |
||||||||||||
начало координат в точке бросания, будем иметь уравнение дви жения
mz = — m g — 2kmv,
где точками обозначено дифференцирование по времени. Начальные условия будут
г (0) = 0; г (0) = v0.
139