книги из ГПНТБ / Шелковников Ф.А. Сборник упражнений по операционному исчислению учебное пособие для студентов вузов

Его решение:

_

Ар + 2А + В

Л ( Р + 1)

А + В

У(Р)

р* + 2р + 2

-ЛЛ------ ------------------------

(Р 4 - 1)2+ 1

(/> + 1)2 + J

Следовательно,

у (х) =

Ле-"* cos х +

(А + В) е~х sin х.

4) у = Л е^ + (В ~ ЗА) хе*х .

5)

у =

1

(12е-з* + 8е3* — 5).

—

15

-

6)

у

27

(Зх — 6 +- 1еъх — е~зх) .

1

7) У — (Зе2Х + е~2Х— 4 х ).

У

4

8)

г/ =

2 sin 2х +

0,5х sin 2х.

9)

Р е ш е н и е .

Пусть

ср ( р) - )» / (х ).

0

/>) =

—

I— •

р + а

Пользуясь интегралом Дюамеля, находим у(х):

х

y

(x) =

j L

[ e

-

“‘f ( x - t ) dt.

d x

,j

X

о

d

10) и (x) =

Г

-----

\ / ( x — t) cos d t d t .

"

d x

,)

0

( Р2 + Щ { р ) = -7 - +

Р1

Pi

3)

у

1

(Зх sin х + 4 sin .V — 2 sin 2 х) .

-- —

0

4)

у

1

(sin х — 5 cos х

+ е~х + 4).

~ —

5)

у — хе2Х— 0,5 sh 2х .

6)

Р е ш е н и е : Пусть

f ( x ) < е - /( р ). Тогда опе|)аториое

уравнение

будет:

(/>“’ +

+ 5) j/(p) =/(/>)•

Его решение:

у {Р) =

( Р + l ) ( P +

5 / iP) = Т i p + 1 ~ 7

X

х У

3

х У з

3)

У =

е

т

(Ci +

С2х) cos

+ (С3 + Сус) sin

+

2

2

+ х2 — Зх + 1 •

4)

у =

C

i +

С2х +

С3 + С4е~-'г +

—

(cos х — sin х).

ков (см. примеры

23 и 24).

Операторное уравнение запишется так:

Р 4У ( Р ) — Р 3У (0) — О О (0) — ру" (Q)—

у ’" (0) — г/(р) =

. П о ­

следовательно,

,

Р 3У ( 0 ) + Р 2У ' Ф ) + Р У " ( 0 )

+

У"'(0) ,

7 ( 0

у{р )= = ------------------- ^

+ ^ 7 3 7 -

Пользуясь гиперболическими синусами высших порядков и

теоремой умножения, будем иметь:

у (jc) =

С\h [х]

4,4) +

^ 2^ (-^j 3)4)

С3/г (х;

2,4)

-\-

х

+ С4Л (х;

1,4) +

j / ( x — 0

Л(^; l,4)rfO

о

Переходя к

тригонометрическим

и

гиперболическим функ­

циям, получим:

3)

у — х — 2 [(* — 1) — sin ( х — 1)] т| ( х — 1) +

[(лг — 2) —

— sin (х — 2)] т, ( х ~ 2).

4)

у = х — 1 +

е~~х + [sh (х — \) — { х — 1)] т) (х — 1).

5)

Р е ш е н и е .

Операторное уравнение будет

р 2у ( р ) — Л р - В + 4у ( р ) =

Ъе-°Р

----- —— .

Решая это уравнение относительно

у{р) и разлагая правую

часть на простейшие дроби, будем иметь

У (Р)

Ар + В

__ 1_

1

- а р

P2 + 4

Р + 1

Р2 + 4 }

Следовательно,

В

sin 2х + е

(jr

— cos 2 (х — а) +

у (х) = A cos 2х 4 —

1

т| (х — а).

+ — sin 2 (х — а)

53. 1)

Р е ш е н и е .

Система операторных уравнений будет:

( Р + l ) y ( p ) — 3 z ( p ) = 0

— у ( Р ) +

( Р — 1) г ( р ) =

1

------

— у { р ) — г ( р ) + ( р + 1) t = 0.

Решая эту систему, получим:

р 2 — 2

1

1

1

i

1

У (р) =

(Р +

1)(р +

2 ) ( р - 2 )

3

л - 1

2 р + 2 н-

6 / )

— 2

___________р_____________ 1

1

11

J ___ 1_

2(Р) = ( Р + 1 ) ( Р + 2 ) ( р — 2)

3 / ) + 1

2/ >-f 2 + 6 p — 2

t ( p )

=

р + 2

1

1

2) (/7 — 2)

3

+ '

P - 2 '

( Р + 1) ( Р +

р + 1

Следовательно,

1

г/ (х) = — е~х + — е—2Х + — е2Х.

" v '

3

2

6

1

1

1

г (х) = — е~х — —- е~2Х 4- — е2Х.

v '

3

2

т

6

*(-Ф

ръх.__. 1

7)

1

4

, г—

« = ~

"Ь ~~г~ cos х

]/

5.

5

5

г

2

2

cos х

у

2

л Г -

= —

— —

о — -— — sin je I/ 5.

5

5

1 / 5

5

5

/ 5

У(Р) = А г + —

УФ)-

Р

3) у =

СуРх + С2 (1 + 3*) е - х .

4)

(/ =

ea^ (C 1 +

C2x2ftM)- Ф > 0 ).

5)

Р е ш е н и е.

Операторное уравнение будет

у' ( р)

+ ~ у ( р ) = ~ у ( Ф ~ у е р -

__

С,

1

I - v

У (р) = — + — у ф ) ~ — е р .

рз

р

рз

Следовательно,

_