книги из ГПНТБ / Шелковников Ф.А. Сборник упражнений по операционному исчислению учебное пособие для студентов вузов

1

-.> ■ 1

и.

2

^ X [

^ X 2 rfX o ^

COS X 3d x 3 ,

(р2 +

l)3

'

2*’2!

0

0

0

X

X i

X i

X ,

(>'->+1)‘

- ^ x 1 dx± ^ x 2 d x 2 \

x 3 d x 3 \

cos X4 d x 4;

• 23-3! J

0

0

0

0

X

X i

(p2 + 1)«

■ 2” +» (« — !)!!

^ Xl

x„dxо ...

rt—2

«—i

. . .

^

^ c o s x nd x n.

о

o" j

Xi

X^_j

X X

^

n—1

Xi

rfx2... ^

cos x „ d x ;!= — -----cos tdt

o'

о

о

<

1

- Д о ’

P ) n —l COS

’

(n —• 1)! 2"

— ^ cos2' -^cp-cos (x sin cp) dtp

2n+i (n — 1)!

(замена переменных t= x sin ф).

! x \n

*

Так

как Jn {x) =

— - 2—Ы-------—

7\ cos(xsintp).cos2"tpdtp,

1М

”+т )°

^ COS (х sin f)

COS2”—

у г, Г (л)

J

]

{x).

1

n—- -

\ n- i r

2

л: \

2

Следовательно,

1

V r .

l

— )

2

J

j (a:).

(p2+

1)« •

( „ _ ) ) !

V 2

/

n - y

Используя теорему подобия, получим окончательно:

1

V 7

J

j

(ах)

(а > 0).

1

(р2 + я2)”

•

( и — 1)!

\

2а

а

«

35.

1)

Р е ш е н и е .

Разлагая

данную

дробь

на

простейшие, имеем

1

т

(р '+

Ak

-ЧГЧ

(р + a)m+1 (р -\-b)n+-1

S*=о

а)т~ к + 1

+

Bk

А=0

(р 4- Ь)п—к+1 ’

д

__

.-----------------

4

____

я + 1

(я + 1) (п + 2)

(6 — а)л+2 > • Ь

0

(Ь — а)я+1 ’

2\(Ь — а)п+3 ’

(— l)k (n +

k)\

Вь =

(— 1 )к (т + k)\

k

k\ п\ (b — а)и +* т 1

к \ т \ ( а — Ь)ттЬ+1

’

Следовательно,

- 1)* с

к

(

пУ-k

+

(р -j- л)т +1 (р +

Ь)п^ г

(Ь — а)п+*+1 (/? + a)m~ k ^ 1

k=o

+

(

- 1)* с £ + *

(а — b)m+k+1 ( / 7

+

b)n~ k+ 1 '

Переходя «права к оригиналам, получим

( -

l)‘ C‘ +ft

а- - *

(р +

a)m+I (р +

6)я 1

й=0

(А — д)« i-*+i

(т — й)! +

+ е—ЙДГ.

ti—k

(a —

(л — й)!

й-0

2)

Используя пример 28 и теорему подобия, имеем

п\

(p— b + a)s

x n^ s L fn s [ { b - a ) х ] - ^

5!

0^+1

Отсюда

5!

-bxx n - S Ln-S

(Р +

а)"

п\

'

14

'

J

'

(p + 6)n+1

3)

На основании предыдущего примера

J

g + fl>L

.^» A

L e - ^ x n- ^ L ns~ Si [(b - а ) х ] ,

(p + b)n+i

' и !

(р + g)*

$„!

„—Сх ..tn—Si г tn—S,.

[(С — « )* ].

(р + c)m+i

•

и!

е

л

По теореме умножения

(р +

в)"

5 i !52!

^

е- К * - / ) ( * _

^ - s l£

(p + i) n+ i(p + C)m + i '

и! т\

о

Сой

X [(6 - а )

- Ctj-tti— S z т m — Sz

[(С — а)Н] rfi,

( л - - 0 ] - е - " й

причем,

61! <

я ,

<

/я,

Sj +

S 2 =

S.

36.

У к а 3 а н и е. См. например,

[24].

которую обозначим

37.

1) Р е ш е н и е . Согласно графику функции,

/(*), имеем

0

(0 < х < 2а),

/( * )

1

(2а < х

< а +

Ь),

—1

(а + b < х < 2 Ь),

О

(26 < х).

Поэтому

а + Ь

2b

t—Px( x ) d x ~

^ e—Pxd x —

^

e~Px d x =

2а

а + Ь

b

b

2е~аР).

4) —

( l _ e-« P )+ — (1

ар2

/>

5)

1

1

(1 —

g — 2 Р Р ) _

— (1

+ е - 2 Я Р ) _ _ -------

Р

ар

1

1

(1 — 4е - аР + е-*аР).

6)

-------(1 — е - ^ Р ) +

—

apt

к

Р

7)

а / 1 — е~ар

е-Ьр — е~аР\

р 2 \

а

6 — а

) '

8)

ар"1

( 1 -- е-ар) ( 1 _ g - з ар) ( 1 _ е-юр)'

38.

1)

Р е ш е н и е .

Пусть / (х) -+• <р (р).

ь

<р

(Р) =

J e~P*f(x) dx

j" е~рх ( х- ~ a) d x +

a) d x =

О

а

= ( - ^ Г + — ) ( е - а р - е - » Р ) .

е~аР

\

Р2

Р

Использовать теорему запаздывания.

2 ) --------У к а з а н и е .

Р + b

2ъА<* (1 — е-Р™)

-j- 4т^2

4тс2Л (1 — е~рТ

р {р2Т * +

4^2)

39.

Р е ш е н и е .

Воспользуемся обозначениями

и операционными

Е

. — е

■ ('4 )

42.

р +

( \ - е - рТ)

43. 1)

1

яярр

Заданная функция опре

—

th ----------------- . У к а з а н и е .

ся

р2

2

формулами

|

х — 2«я

2ия < х < (2п + 1) я,

arccos (cos х)

| — х + (2п 4- 2) л

(2п +

1) я < х < (2п + 2) я.

I

(п = 0 , 1, 2 . . . . )

2)

—

-

яр

Р2

2р sh

3)

2 th яр

я/?2

4 )

(1 — 0 кр) (а + be гр) — яре тр(а + 2Ье т'р — Ь)

р Ц \

(.

5)

За V1

'2

яр2

(1

-2*Р\

-*вых (0 + Т х вых (0 — k x BX (if).

Преобразуем

это уравнение

в операторное,

для чего умно­

жим

обе части этого

уравнения

на e~pt dt и

проинтегрируем

по t

в пределах

от 0

до со. Обозначив X ( p ) - ^ x ( t ) , получим

Находим отсюда

kXm (р)

-^вых (?) —

1 + р Т

Передаточная функция W (р) определяется по формуле

W ( p ) = -^ВЫХ ( р)

Следовательно,

X*А р )

k

W(P) =

1

+ рТ

2) У к а з а н и е .

Интегрирующее звено

описывается

интеграль­

ным уравнением

1

гВЫХTO' А = y r

^ x BX(t)dt.

Следовательно,

О

1

W (p ) = -

рТ

3) У к а з а н и е .

Колебательное

звено

описывается

дифферен­

циальным уравнением

Т1'хвък (i)

+ Тг'хвых (0 +

х Вых (0 = h *„х(0>

■**вых ~Ь 2^

/

- 1

t ') Q X B b IX —

kx BX,

где обозначено

ч

, 2

— = ^10,П-

Следовательно,

k

W ( p ) =

9.

'^ВЫХ ( 0 = -*вх

х) •

Следовательно,

W { p ) =

45. Р е ш е н и е . Учитывая примеры 44

(п. 1 и 2), имеем два урав­

нения

47. Р е ш е н и е.

Учитывая примеры

44

(п. 1 и S),

имеем уравнения

Аупр =

А0Х

-*ос>

•^ВЫХ +

^"|Х ВНл ~

^ l^ y r ip i

“Ь

с =

h;>(умвых Т" Го^вых);

Пусть D (р) -у» Дувр ((),

Тогда операторные уравнения будут

D — Х ш

Аос;

уУвЫХ +

р Х вых = k\D',

Аос +

р Х ос ~

fc> (А’пых + Т„рХ„ш ).

Перепишем эту систему таким образом:

45 + Х ос

= А ВЫХ

— k\D

+ (1 + рТ д АВЬ1Х = 0 ;

(1 + рТа) Аос — &2 (1 + рТо) АВЫх =

0;

■Определитель этой системы будет

1

1

0

— k\

0

1 + рТ 1

•(1 + p T i ) 0 +pTa) - k ikaQ+pT0)

0 1 + р Т 2 - к 2{\ + р т п)

k\ (i + рта)

*1*2 (1 + р 7 о) +

(1 + рТ\) (1 + рТ2)

Следовательно,

*i ( l

+ РТ3)

W(P) = *1^2 (1 + рТ о) +

(i

+ рТх) (1 + рТ2)

48 Р е ш е н и е .

Учитывая примеры

44

(п. 4 и 5),

имеем уравнения

Д у п р ^

-^вх + Х 0С\

-^ВЫХ “Ь T 'l^ B B IX “

Л^оДуп,,;

Л"ос +

Т^2Х ОС ~ *2 (-'"вы х Т Т 'о-^вы х)!