книги из ГПНТБ / Шелковников Ф.А. Сборник упражнений по операционному исчислению учебное пособие для студентов вузов

(— l)AJC*fe

b e i.

( _ 1 )*ЛГ4/г + 2

ber х ;

22 • 42 . .. (4/г + 2 )2

22 • 42 ... (4&)2

’

ft=o

ft=0

Отсюда следует

Ьег(2 У х ) =

^

(—

й=0

, . .о 1 /'~ .

^

(— 1)

^ +1

V I

' ^

Ьс, ( 2 > Д : ) - 2 ( —

I)/]2

k-0

1(2/: +

1),k

2ft- —

1

1

( -

(— \)кХ 2

— — cos —

У р

Р

2ft 4- —

й =о

(2*).'Г 2* +

(2k)!p

2

* = °

1

1

1

(— l)ft2aA ( 2 x f k

— — cos —

У У х а

_ <*>'

У р

р

' У л х

5) Р е ш е н и е .

ch x =

22*

*'r(*+t )

y2k

(2k)! ;

(2ft)/=

k=0

V n

поэтому

Jt

3t

ch 2 V iар

И

Г

lAt/?

k=o

nk\ У x

я У~х

У к а з а н и е . Использовать формулу обращения.

2) 1-

( - 1)*

cos

2к + 1

я

Л . р т - < * +1>'*

к + \

к=0

3) Р е ш е н и е .

Обозначим

ch<?= 2.

ср(р)— правильная

ра­

циональная дробь

относительно

z и оригинал

можно искать

по

второй теореме разложения. Полином

sh щ

--------н е имеет кратных

корней и числа

sh q

9 =

Ы i

1, 2, ..

п — 1),

(ft=

п

которым соответствуют числа

,

Ы1

kn

г = сп

-------

; co s -------,

п

п

n

jSaJ

kn

ft=i

jP2 + 4 a 2 s i n 2

n

Следовательно,

2

kn

mkn

sh (n — m) q

n~l sin ----- sin--------

2a2

n

n

sh nq

П

*=i p 3 +

kn

4«3sin2 — -

kn

mkn

2 n

ft- 1 sin

-----sin

--------

/

kn

\

Я VH

n

n

— > , ---------------- :------------- sin

2a sin — —

x.

n

kn

\

2n

ft-l

sin — —

2n

4)

f

(p) =

ch (n — m)q

sh q sh nq

n—1

mkn

f i x ) =

Aa2n

jc + 2

cos

n

hn

X

k~\

s i n ------

2я

X sin

/

1

й г .

\

„

JC

\

—

s i n ------- \ x + (— \)m a sin —

a

2n

)

a

У к а з а н и е .

Значения коэффициента будут

1

Л* =

1

mkr.

( - l ) m

Л, =■

п

—

c o s -------- ,

A n =-----——

2

n

n

2n

( * = 1, 2 , . .. n — 1).

21. 1)

Р е ш е н и е .

Используя

формулу

^

dt

^

t ( P ) dP ’

0

P

полагая f( t) = sin /. Тогда будем иметь

.

1

(*

dp

1

1

si (x)<------- \

--------- - =

—

arctg —

'

p

J P2 + 1

P

P

p

2)

1

1

Действовать анало-

— In

_____ —. У к а з а н и е .

P

V p2 + 1

гично решению предыдущей задачи, используя формулу

с

f ( t )

-.

i1 f

4 ( P ) dP и полагая / ( 0 ==— cos t.

— -— dt<r:

—

^

22.

P e i

У 2ъх

— . По теореме смещения:

V 2 p

1

У 2 м

' У 2 ( р — 1)

У 2 м

' У 2 {p + i)

Следовательно,

COS X

.

1

1

+

1

<Г-

У2т.х ' 2 [ У 2 ( р ~ 0

У 2 ( р + 1)

1

У р 4- i + V р — I

2 У 2

У р 2 + 1

Интегрированию оригинала от 0 до х соответствует деление

Яа р его изображения. Поэтому,

Л

■

V р +

i + у р — i

cos t

1

d t = с (л:) <7

2 У 2 - р У р * + 1

S У ы

аналогично:

sin*

^

о,

У р + 1 — У р — 1

------dt — S

(.v) <—

о У 2nt

2 У 2 р г У р * + 1

23

и 24. У к а з а н и е .

Искать изображения правых

частей равенств.

23. Р е ш е н и е .

Полагая в данном интеграле а2= р ,

а

—

6 = — и * =

У х,

будем иметь

а?

\

е-Р* Л .!*— d x = J

о

У х

У р

Отсюда следует, что

- * У 7 ^

26. Р е ш е н и е .

У р

_

v ™

X

, i

2ех

Ух

ех

e - fdt

С

С

1) е* Erf У х

---—

\ е

dt = ——

\

— — -

У *

)

У *

i

V t

лучим

X

оХ—t

.

1

dt<r-

(р — 1) У Р

о

у Td

Следовательно,

У>ел Erf ( У х ).

{р — \ ) У р

2 Ух

2) Erf с

1 — — —

\ е

“2du.—— -— \

е

“z du

2 У л

у ;

}

У й

2

Ух

2

[ e~ u2du =

--------

[

e~u2d и -----

г

4х Л =

У 71

}

V *

\

y « . J

2 /.V

J

f ) d t* ±

ф (/?)?[<? (/>)],

о

где 9 (р) ф->/ (х)

и ф (р) e~aq<'p'>7-» F(je, a),

заключаем, что в данном случае

/ ( а ) — Tj

(д — а)

и Е ( д ,

а) =

1

— —

---- —

е

4х .

Следовательно,

У * Х

? (Р) =

е ~ ар

, ф (/>)<?

,

,

--------

а<г(р) = ---- — — ,

р

У р

Ф(Е):

, ч (р ) ~ У р

V .

И Ф(р)=Ф(р)?[?(р)] =

а- « У Р

,

т. е.

P-*VP

■Erf С

У х }

2

4—1931

97

( Р - \ ) п

28.

Г (я +

а + 1)

_ ( р — 1)"_

27.

я!

пП -\а 1

р п ■1

29. Р е ш е и и е.

Пусть

1

tkn (V X ).

<р (р) ^

V x

н

(у -) _ V

( - 1)\k t2")1

2, . ^ ' n—k— 4-

у.

Я 2г а ( | / * ) - ^

Л1 (2п — 2А)1

й = 0

я

(— 1)* (2л)! 22/г-2* Г (л — Л + — )

т (р) =

2 -----------

га— А + -

/г-0

Л! (2я — 2Р)! р

(— 1)*(2я !)) Л е

2

'

га-й+т

к

0

А! (п — к)\р

(2га)!

(1 - р ) "

/

1

\ (1 — я)"

я!

= 22"Г я +

—

' ------ ~

«+т1

\

2

"+дг

Р

2) у н г

л

3 \

(1- Р)п

з

32. Д о к а з а т е л ь с т в о .

<р„ |_2

(р) - > sin" h2 лг;

РЧп+2 (Р)

(sin" 12л:)' = (я + 2) sin" *>cos х;

P2(fn4 2 (Р) т~> {п + 2) (и +

1) sin"x — (я +

2)2 sin" ‘2 лг.

Изображение правой части последнего операционного

ношения будет

( Я + 2) ( Я + 1) <ря

( р )

— ( Я

+ 2)2 <р„ Ь2 (р) =

р а <Р„ 4 2 ( р ) .

33.

Определяя отсюда фя+2 (/?), получим искомый результат.

1) Р е ш е н и е .

Используя

результаты

предыдущего

примера,

можем записать:

(2п -

1) 2п

Ъ п(р)

Р2 +

(2л)2 ^ ¥2/1-5 (р);

¥5/1-2 (Р) =

(2л — Щ 2п — 2)

¥2я-4 (/>);

/?2 +

(2п — 2)2

1-2

'f2(^ ) =

>

+ 22

¥о (/>) =

—

•

Р

Перемножая между собой эти равенства, получим

(2л)!

sin2” x.

'Р2Л ( Р )~

р (р2 + 22) (р2 +

42) ...

[р2 +

(2л)2]

2)

Аналогично,

(2л + 1)!

¥2Лм (р ) =

I)2] —>sin2” т 1 X.

(р2 +

1)(р2 +

32) ... [р2+(2 л +

34.

Р е ш е н и е.

Р

■cos х;

^ cosXififA"!;

Р2 +

1

Р° + !

2р

.

X

1

X

(■

x p

$*

cos x 2 rfx2

(Р2 +

l )2 7» X

\ COS Xj d

, -------------- >

2

(Р2 4- О2 ’

$

4p

X

Л \

7> —

^ Xj Px, ^ cos x 2 rfx3;

(p2 +

l )3

4*

99