книги из ГПНТБ / Применение методов статистического моделирования в автоматизированном химическом производстве

21

i-м номере наблюдения. Таким образом, для всех п факторов

аУ(xj).

Отметим, что N есть число замеров (в нашем примере — количество групп, усредненных заранее). Для нашего приме­ ра N = 25.

Величина среднеквадратичного отклонения (ау) рассчи­ тывается как средневзвешенная по группам и в нашем приме­ ре принимает значение 1,075.

Среднеквадратичные отклонения выходного параметра от точек на прямой, характеризующей зависимость последнего от каждого из входных факторов, и вычисленные индексы кор­ реляции представлены в табл. 7.

Следовательно, на основании рассчитанных индексов корре­ ляции наиболее влияющими оказались следующие факторы:

д-Т(0,597); х2(0,469); лг3 (0,411); (0,386). Кроме указанных

22

факторов, в дальнейших расчетах было учтено изменение ак­ тивности катализатора как величина, обратная величине ос­ татка в печном масле.

Мы видим; таким образом, что отобранные параметры ока­ зались полностью идентичными параметрам, отобранным на основании способа модификации метода наименьших квадра­ тов (см. формулу (21). Однако последний способ намного проще и требует меньшего количества вычислительных опера­ ций. Что касается отбора факторов с помощью коэффициента корреляции, то эта попытка окончилась неудачей.

В предыдущем разделе мы рассмотрели новый способ отбора влияющих на выходную функцию процесса значимых факторов на основе построенной линейной математической модели. Предположим, что из п влияющих на функцию откли­ ка W факторов мы отобрали k значимых, которые обозначим Х\, . . ., хк. Зададимся целью построить нелинейную квадра­

торов 1, х ь x t Xj. А по отношению к ней мы вправе применить весь описанный выше математический аппарат. Система век­

решения этой задачи обычный (не модифицированный) спо­ соб наименьших квадратов, поскольку отбор значимых фак­ торов на этот раз уже не производится.

На электронной вычислительной машине «БЭСМ-2» со­ ставлена стандартная программа отбора факторов и по­ строения нелинейной квадратичной модели модифицирован­ ным способом. По сути дела, в программе совмещены две раз­ личные, хотя и связанные задачи:

1)отбор факторов на основании линейной модели («ли­ нейная задача») и

2)построение нелинейной модели без отбора факторов

23

в) значения Ло;

Для случая нелинейной задачи печатаются: а) значения коэффициентов в уравнении

б) значение остаточной дисперсии о2, оцениваемой по фор­

муле о2= - ^ Д

N—n

Висследуемом примере процесса дегидрирования этил­ бензола в стирол на основании пяти отобранных параметров по описанному выше способу модификации метода наимень­ ших квадратов были получены уравнения зависимости выхо­ да стирола на разложенный этилбензол (у\) и на пропущен­

ный этилбензол (г/г) -

у1——0,000046—264,56^!—1,30^2+ 856,14х3 -{-1,95x4+

+145,24x9 + 5.62XJ2+ 0,0020х22 + 75,97х32—0,000081х42— —2,11х92 + 0,43xiX2—31,65х!Х3—0,048x^4 + 0,77xiX9—

—1,37x2X3—0,0026x2X4—0,18х2х9 + 0,053х3х4—2,15х3х9— —0,046х4х9*.

у2 = —0,000018+ 466,63х, + 4,30х2—1176,97х3—5,69х4— —304,58x5—19,37Х!2—0,0063х22—148,87х32 + 0,00020х42 +

+1,/ЗХ52—0,7DXjX2 + 92,14xiX3 + 0,1 lX[X4 + 5,09 IX1X5 +

+2,011х2х3+ 0,0082х2х4 + 0,41х2Х5—0,34х3х4—19,70х3х3 +

+0,079х4Х5.

Выше было указано, что оценки А[ = 1’ ^ ■ (а следо­

вательно, и оценки, получаемые линейной комбинацией зна­ чений А{) являются приближенными. Отсюда возникает вопрос относительно меры точности определения коэффициен­ тов Ai. Можно считать, что среднее квадратичное отклонение коэффициентов Ah обозначенное нами ДAh равно

а

А А

В нашем примере мера точности коэффициентов прини­ мает следующие значения.

*В дальнейшем для последовательности обозначения индексов фактор

х9 обозначим символом х5.

24

Т а б л и ц а 8

Л24

26

I.

В нашем случае /^-критерий принимает значения (табл. 8):

для уравнения yi = f(xu . . х5) F= 1,11;

для уравнения y2 = f{x\, . . х5) F= 1,93.

Найденное в таблице /^-распределений значение для 5-про­ центного уровня значимости, соответствующего f\ = n—k—1 степеням свободы в числителе и /2 = «(/—1) степеням свободы в знаменателе, равно 2,63. Поскольку фактическое значение F меньше 5-процентного граничного значения, найденные урав­ нения зависимости адекватно представляют процесс.

После нахождения коэффициентов нелинейной (в нашем случае квадратичной) математической модели производствен­ ного процесса необходимо найти комбинацию значений пара­ метров этого процесса, оптимизирующего значение выходной функции. Мы рассматриваем, таким образом, задачу оптими­ зации многопараметрической системы. Обозначив через

ция качества должна принимать наименьшее значение, то

Q(x 1*,..., x * )< Q ( x u ...,x„)*.

Компоненты Xi , . . ., х п являются параметрами оптимизи­ руемой системы, образуя «-мерный вектор, причем функция качества Q определена на конечном или бесконечном множе­ стве этих n-мерных векторов.

Существует ряд способов нахождения оптимального набо­ ра параметров в многопараметрической системе. Наиболее простым и самым трудоемким является перебор всех возмож­ ных комбинаций значений параметров х и . . ., хп, после чего выбирается искомая комбинация Х\*, . . ., хп, минимизирую­ щая выходную функцию качества Q(xb . . ,,хп). К преимуще­ ствам метода перебора относится независимость метода от вида и характера функции качества Q, а также гарантия на­ хождения глобального минимума за однократный перебор. К недостаткам метода относится необходимость проведения огромного количества вычислительных работ (особенно при больших п ), так как количество всех возможных комбинаций нередко приобретает астрономические размеры. Поэтому этот способ в настоящее время мало применяется для оптимиза­ ции многопараметрических систем.

Метод Гаусса — Зайделя сводится к поиску минимума (функции качества таким образом, что на каждом этапе мини­ мум отыскивается тольк'о по одному параметру. При этом ме­ тоде сходимость крайне медленная, причем в отдельных слу­ чаях решение вообще не может быть достигнуто. Наиболее распространенными из неслучайных способов поиска являют­

* В дальнейшем будем считать оптимальной комбинацию параметров, минимизирующую функцию качества Q.

27

ся методы градиента и наискорейшего спуска, широко описан­ ные в литературе [9], [10], [12], [13]. На первом этапе примене­ ния метода градиента выбирается (случайно или неслучайно) точка, в которой определяется направление градиента.

Поиск происходит в обратном направлении, причем метод градиента особенно эффективен в том случае, когда функция качества Q является линейной. Основной недостаток метода градиента — резкое снижение его эффективности при наличии ограничений. Достоинством метода является его сравнительно высокая точность. Метод наискорейшего спуска является раз­ витием метода градиента и отличается от последнего тем, что система определяет направление градиента не на каждом шаге поиска, а только в тех случаях, когда значение функции качества после очередного шага увеличилось. В противном случае система делает очередной шаг в прежнем направле­ нии, не определяя заново направления градиента.

На наш взгляд, более эффективными способами оптимиза­ ции многопараметрических систем являются методы случай­ ного поиска. Наиболее простым, хотя и не всегда экономич­ ным, является метод статистических испытаний (метод Мон­ те-Карло). Он сводится к «розыгрышу» значений параметров

числа «розыгрышей» выбирается комбинация параметров xh для которой значение выходной функции Q будет минималь­ ным. Обычно «розыгрыш» значений параметров х, происходит равномерно в диапазоне изменения значений этих парамет­ ров.

Практически реализация метода Монте-Карло на ЭЦМ происходит следующим образом. Необходимо определить та­ кую комбинацию значений факторов х ь ..., х п, которая опти­ мизировала бы функцию f(xu . . . , x n). Определяем границы изменения значения для каждого из факторов х ;. Так, в на­ шем случае, область изменения для фактора Xi (соотношение)

следующая: min = 2, max = 4; 5.

Для фактора х2 min = 522, max = 674, и т. д. После это­ го «разыгрываем» п случайных чисел ah каждое из ко­ торых, соответственно, распределено равномерно в интервале

(minx,, шах х г).

Сначала моделируется значение случайной величины, рас­ пределенное равномерно в (0, 1); затем полученное случайное число умножается на (т а х х ;—rninx^), а к произведению прибавляется значение min xL. В результате получается окон­ чательное значение случайной величины а ;, распределенной равномерно в интервале (min xh шах х(). Описанная выше процедура совершается для всех г от 1 до п. После получения п случайных величин а г определяется величина f (<хь . . ., а„), которая «запоминается» в памяти электронной вычислитель-

28

ной машины. После этого вновь «разыгрываем» комбинацию (a(j2),.-- > a(„2)) (разумеется, величины аг будут иметь другие значения), определяем величину а™) и смотрим,

ближе ли новое значение к оптимальному, чем первое. Если да, то комбинация , а<л2>) запоминается,. а старая ком­

бинация (a)1),.--. a(J)) стирается, если нет, то наоборот. Такую

процедуру повторяем многократно, после чего можно фикси­ ровать такую комбинацию (аь . . ., а„), для которой значение

как следствие, необходимость проведения большого количест­ ва повторных «розыгрышей». К достоинствам этого метода относится простота его применения и возможность использо­ вания минимального количества рабочих ячеек при моделиро­

циональна ]/М ,где N — количество произведенных «розыгры­ шей», и для ряда случаев, как уже указывалось выше, яв­ ляется недостаточной.

В этом случае весьма эффективным методом оптимизации является случайный поиск, исследованный в работах Л. А. Рас-

стригина [12], [13].

Наиболее простым способом случайного поиска является так называемый шаговый локальный поиск без обучения, сущ­ ность которого заключается в следующем.

Обозначим через x(-i «-мерный вектор (х)1'”1),..., л:]]-1)) минимизирующий функцию качества Q(xb . . ., хп) после (г—1)

ленный во всех направлениях «-мерного пространства пара­

чину Q(x(i>,. . ., х^).

Таким образом, мы возвращаемся назад, если функция каче­

29

ства возрастает, и случайно движемся вперед (с равномер­ ным распределением во всех направлениях) в противном слу­ чае. Данный метод особенно эффективен в случае, когда функ­ ция качества изменяется во времени со сравнительно боль­ шой скоростью.

Шаговый локальный поиск без обучения имеет две моди­ фикации, которые принципиально не отличаются друг от дру­ га: в первом случае происходит (при увеличении функции ка­ чества) возврат в предшествующую точку, во втором возврат­ ное движение при увеличении функции качества Q совер­ шается одновременно с последующим случайным движением, то есть возврат назад как бы пересчитывается. Таким обра­ зом, обе модификации отличаются лишь изменением количе­ ства шагов, а результаты оптимизации сходятся по вероятно­ сти к одному и тому же результату. Сходимость описанных выше методов случайного поиска при п> 1 существенно луч­ ше, нежели сходимость процесса оптимизации по методу гра­ диента, причем с увеличением п сходимость метода случайно­ го поиска все более улучшается по сравнению со сходимостью по методу градиента.

Наилучшим способом оптимизации многопараметрических систем является разработанный в работе [13] метод шагового локального поиска с обучением. Сущность этого метода за­ ключается в том, что после проведения г'-го шага из точки X t делается k независимых случайных шагов После этого выбирается тот шаг | у-, который дает наименьшее зна­ чение функции качества.

Q № + а 5У) = min Q + а ?е), 1 < е < к,

после чего фиксируется

Иными словами, обследуется окрестность точки X t и вы­ бирается самое оптимальное из «разыгранных» направлений. Этот алгоритм более эффективен, чем описанный выше метод шагового локального поиска без обучения, и сходимость к ло­ кальному оптимуму существенно возрастает.

Основной недостаток описанных выше методов — локаль­ ность оптимизации многопараметрической системы. Мы не­ редко оцениваем локальный оптимум, а отнюдь не подлежа­ щий оценке глобальный. Поэтому,, на наш взгляд, удачные результаты дает сочетание метода Монте-Карло, который но­ сит глобальный характер, но сходится медленно, и методов случайного поиска, которые носят локальный характер, зато обладают быстрой сходимостью.

По-видимому, в начале оптимизации следует «разыграть» методом Монте-Карло ряд точек-векторов «-мерного простран­

30