Г л а в а 6
Точность у рае новвшиваная роторов
А. А. ШУБИН
УДАРНЫЙ РЕЖИМ РАБОТЫ ПОДШИПНИКОВ В СЛУЧАЕ ГИБКОГО РОТОРА
При вращении неуравновешенного гибкого ротора на его цапфы действуют динамические силы, вызываемые неуравнове шенностью и изгибом ротора. Эти силы, воздействуя на подшип ники, создают повышенный износ их, а при неблагоприятных условиях приводят к разрушению подшипников.
Наиболее опасным является ударный режим работы под шипников, который возникает вследствие отрыва цапфы от под шипника. Это приводит к быстрому выходу подшипника из строя. Отрыв цапфы от подшипника происходит при определен ной критической скорости, величина которой зависит от геомет рических и массовых параметров подшипника и ротора. Поэто му основным критерием плавной и надежной работы машины является такая скорость вращения ротора, которая по величине должна быть меньше критической скорости, возникающей при отрыве цапфы от подшипника.
Данному вопросу в настоящее время посвящено достаточно много работ, в которых рассматривается движение цапфы как плоская задача, но без учета гибкости ротора. Решение этой за дачи связано с громоздкими и сложными выкладками, так как движение цапфы в подшипнике рассматривается как колебания маятника при больших амплитудах, что приводит к нелинейной задаче с параметрическим возбуждением. Учет же гибкости ро тора делает решение задачи в такой постановке малопригодной для практики, так как еще в большей степени затрудняется ана лиз основных факторов, влияющих на характер движения цап фы в подшипнике.
В настоящей работе дано новое решение этой задачи с учетом гибкости ротора при любой его неуравновешенности.
Для того чтобы лучше понять метод решения данной задачи, рассмотрим самую простую систему в виде гибкого ротора с од ним круглым диском, установленным посередине между опора ми и имеющим малый эксцентриситет е относительно оси ротора (рис. 1).
При вращении ротора вследствие его неуравновешенности, определяемой эксцентриситетом диска е, ротор прогнется под действием центробежной силы.
Пренебрегая пока весом рото ра, который будет учтен до полнительно при рассмотрении величины давления на под шипник, получим из условия равновесия выражение
|
™-(y+e)^ |
= ky. |
(1) |
Рис. |
1. Схема вращающегося |
гибкого |
|
|
ротора |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Решая это |
уравнение |
относительно величины прогиба |
рото |
|
ра, |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СО \ 2 |
|
|
|
|
|
|
у |
( 0 „ |
|
(2) |
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
со„ |
|
|
|
где |
|
2G — масса ротора; |
|
|
|
|
|
|
8 со |
угловая скорость |
ротора; |
|
|
|
|
У |
- величина прогиба ротора; |
|
|
|
У |
_k_ |
- жесткость |
ротора; |
|
|
|
га, |
kg |
угловая частота |
свободных колебаний ротора. |
|
|
|
|
2G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Принимая во внимание выражение |
(2), получим |
|
|
|
|
|
у + е = - |
|
у |
(3) |
|
|
|
|
|
|
to |
|
Если ротор вращается с угловой скоростью со и в некоторый момент времени цапфа занимает в подшипнике положение, ука занное на рис. 2, на нее действуют: опорная реакция от веса ро тора 2G, центробежная сила от движения цапфы в подшипнике
G |
G |
—гр2 Д, |
тангенциальная сила инерции —фА, центробежная си- |
8 |
8 |
|
Q |
ла от изгиба и неуравновешенности ротора —ю'2 (у + е) cos (со/—
|
|
8 |
|
— а), сила трения F и реакция Р на подшипник. |
|
Из условия равновесия |
имеем |
|
G |
Ф2А Ч |
G |
(4) |
Р = G cos а Ч |
со2(# Ч- e)cos(co.y — а); |
8 |
|
8 |
|
G |
G |
со2(г/ Ч-e)sin(co/ — a) + F, |
(5) |
— грА = — GsinoH |
|
где |
g — ускорение силы тяжести; |
|
|
|
•ф •— скорость движения цапфы по подшипнику; |
|
|
а — угловое перемещение цапфы |
от вертикального положе |
|
ния равновесия. |
|
|
|
Уравнение движения цапфы (5) |
объединяем с |
граничным |
условием при отрыве цапфы от подшипника, т. е. с |
равенством |
(4) |
при Р = 0. |
|
|
|
Для этого дифференцируем выражение (5) по а |
|
Д — i | j = — Gcos a |
— ю2 (і/ + e)cos(ci)^—- a) + |
du L S |
J |
|
£ |
da |
и, складывая |
равенство |
(4) с выражением |
(6), получим |
|
d |
+ |
p = A A r |
+ d L , |
|
da |
|
g |
g |
da |
тогда
|
|
|
rf-ф |
|
^f2 da. |
(8) |
|
|
|
~dT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Умножая |
обе части |
уравне |
|
ния |
(8) на |
|
получим |
|
|
djl |
_гіф_ |
= гЬ2 |
dtb, |
|
|
dt |
dt |
|
|
|
|
dt |
|
|
или |
|
|
|
2 = ±d(r\ |
Рис. 2. Схема вращающейся |
цапфы |
• d |
dt |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
в подшипнике |
где |
da заменено через tf>. |
dt
Таким образом, окончательно будем иметь следующее диф ференциальное уравнение движения цапфы в подшипнике:
|
|
dt |
— |
V2 |
Y |
|
(9) |
|
|
|
|
|
|
|
^ |
|
|
|
Разделяя переменные и интегрируя |
выражение |
(9), находим |
|
|
|
|
t |
+ |
c |
(10) |
|
|
ф |
— |
У 2 |
|
|
|
Постоянную |
С\ найдем |
из начального условия. Дл я этого |
предположим, |
что в начальный |
момент |
(t = 0) цапфа при от |
рыве от подшипника |
имеет |
угловое |
перемещение |
от вертикаль |
ного положения, равное сю. |
|
|
|
|
|
Это может |
иметь |
место |
только в том случае, |
если скорость |
ф в данный момент |
времени — очень |
большая величина. Поэто |
му при t = 0 -ф = со. Подставляя эти значения для начальных
условий в равенство (10), получим су = 0. Следовательно, выра жение для скорости x[i примет вид
Из выражения (11) можно заключить, что для определения угла а оно не может быть непосредственно проинтегрировано, так как функция а при t = 0 разрывна. Однако это затруднение легко обойти, если воспользоваться дельта-функцией Дирака.
Действительно, в рассматриваемом случае производная в точ ке разрыва, как известно, равна дельта-функции Дирака, сле довательно, можем написать
|
_ ' о т р |
_ |
%mp = ±V2 |
f b(t)dt = ±V2, |
(12) |
|
6 |
|
где аотр — угол отрыва цапфы от подшипника.
Таким образом, функция угла а при любом времени t боль
ше нуля равна ± ] / 2.
Из выражения (4) видно, что отрыв цапфы (Р = 0) вообще возможен лишь тогда, когда последний член выражения (4), зависящий от неуравновешенности ротора, становится отрица тельной величиной, т. е. при
- f L < ( ( B / _ a ) < J ? L .
Поэтому наименьшее значение неуравновешенности, при ко торой происходит отрыв цапфы от подшипника, соответствует
®кр^отр |
аотр ~ П> |
Р — 0, |
|
отсюда, учитывая равенство (12), получим |
|
<*кр= |
' |
• |
(13) |
|
|
f o m p |
|
|
Подставляя эти значения |
для |
сок р |
в равенство |
(4), находим |
/ |
^ V W i y ^ - U |
( 1 4 ) |
'g cos у 2
Зная теперь время отрыва цапфы от подшипника, можем оп
ределить критическую |
скорость. |
Действительно, |
подставив |
в равенство (13) |
выражение |
(14), найдем |
|
сок |
= (я + |
1/2) |
| / |
. |
(15) |
Подставляя в это значение для критической скорости <акр выражение (3), после соответствующих преобразований получим
т ) 2 - Г |
+ |
|
( < c |
o s V |
2 |
+ • |
+ |
|
I |
ті |
(л + V2)2 |
= 0. |
|
|
|
\ы1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(16) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решая последнее |
уравнение относительно |
т), найдем |
|
|
Г| = |
( |
я |
+ у |
! ) 2 |
/ |
и , |
|
|
|
|
+ |
1 |
|
|
|
— |
|
|
|
|
^-cos 1/2 + — |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
,2 |
|
|
|
А |
|
|
|
|
± v 4 |
( я + У 2 ) 2 |
/ а .- C O S / 2 + — | + 1 |
|
|
|
Д |
|
|
|
|
2 |
|
|
Д |
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(17) |
где |
|
|
со: |
и круговая |
частота |
маятниковых |
колебаний |
|
|
|
и, |
|
|
Любое значение т), находящееся в пределах 0 |
=S; г) ^ |
1, является |
решением |
данной |
задачи, |
т. е. указывает на |
отрыв |
цапфы |
от подшипника |
при критической скорости. |
|
|
|
|
|
|
|
сокр |
= |
< О р 1 Л — Т | . |
|
|
|
|
(18) |
Все д р у г и е |
з н а ч е н и я |
для т) показывают н а |
отсутствие |
ударов |
цапфы по подшипнику, т . е. в этом случае цапфа |
все время со |
прикасается с подшипником. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Угловое |
п о л о ж е н и е цапфы |
п р и ее отрыве |
от |
подшипника |
О п р е д е л я е т с я |
ПО формуле (12) И раВНО |
П р и б л и з и т е л ь н о |
Окр = |
= 80°. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В случае абсолютно жесткого ротора |
критическая скорость |
Ыкр м о ж е т |
б ы т ь п о л у ч е н а , |
если воспользоваться |
выражениями |
(13) и (14). Полагая |
в этих выражениях |
у = |
0, находим |
|
|
|
|
|
|
|
(K + |
V2)VCQS |
|
V2 |
|
|
|
|
(19) |
|
|
|
|
|
|
|
|
V2f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2А |
|
|
|
|
|
|
|
|
ИЗ |
ЭТОГО |
В Ы р а ж е Н И Я |
ВИДНО, ЧТО, ЄСЛИ |
= |
—; |
|
-=Г7Г |
зна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
( я + у |
2 ) 2 |
|
чение |
для критической |
скорости |
стремится |
к |
бесконечности, |
т. е. обеспечивается |
при любой скорости |
вращения |
соприкосно |
вение цапфы с подшипником. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим теперь общий |
случай |
определения |
|
критической |
скорости отрыва цапфы от подшипника для случая гибкого ро-
тора, находящегося под действием центробежных сил от не уравновешенности. Как известно, в этом случае уравнение упру гой линии может быть написано так:
|
|
EJ |
та2 у = т(л2ех, |
|
(20) |
где |
т — погонная масса |
ротора; |
|
|
|
|
со — угловая скорость вращения |
ротора; |
|
|
|
ех — эксцентриситет |
от неуравновешенности, |
расположен |
|
ный произвольным образом как в поперечных сечени |
|
ях, так и по длине ротора. |
|
|
|
Раскладывая величину каждого эксцентриситета, зафиксиро |
ванного углом |
аг в произвольном і-м поперечном |
сечении от на |
чала |
отсчета, |
в двойной |
ряд Фурье, |
получим при п = |
1, 3, 5, |
к симметричное нагружение ротора, |
а при п — 2, 4, 6, |
к косо- |
симметричное нагружение. Разложение в ряд Фурье для каждо го эксцентриситета, расположенного в произвольной і-й плоско сти поперечного сечения ротора, можно записать в следующем виде:
|
|
- о |
tin |
V I |
, |
• о |
• ПЛ |
|
ех.= |
у |
a „ s i n 2 a ( s i n |
|
х + у |
Z?n sm2 aI sin |
х, |
/ 1 = 1 , 3, 5 |
|
|
л = 2 , 4, 6 |
|
|
|
|
где ап, Ьп |
— коэффициенты ряда Фурье. |
|
|
|
по на |
Если отложить от произвольной точки, как из центра |
правлениям радиуса, выражения ап sin2 а, |
и Ъп sin 2 |
а*, то |
полу |
чим пучок |
векторов. Очевидно, |
направление |
равнодействующей, |
принадлежащей векторам п-я гармоники, будет отличаться друг от друга в зависимости от номера гармоники. В силу этого при
вращении ротора будут возникать |
последовательно |
плоскости |
изгиба ротора, совпадающие с направлением |
равнодействующих |
гармонических |
составляющих, согласованных |
с |
критическими |
скоростями гибкого |
ротора. Следовательно, вблизи гс-й критиче |
ской |
скорости |
решение |
уравнения |
(21) |
можно записать так: |
|
|
|
|
sin — - х |
при п = 1, 3, 5, |
. . ., к; |
|
1 — |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
со |
\ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ук = |
\ |
Ш и |
/ |
. |
tilt |
П Р И |
С\ |
А Г* |
|
1 |
|
7 — Ч т " s |
i n |
— х |
" = 2, 4, 6, |
...,k, |
где |
6, = sin2 GH — величина |
единичного |
эксцентриситета в месте |
|
|
его расположения на окружности |
поперечно |
|
|
го сечения |
ротора. |
|
|
|
|
Определим значение—со2 |
(у + ехс) для всего ротора при сим |
8 |
G — половина веса ротора: |
метричном нагружении, где |
|
Кг |
( а к р |
— |
(йЦу+ехс)=-— |
|
g |
2 |
<»кр |
|
N2 |
|
|
|
|
|
|
гая |
, |
,а . . |
пл |
X |
|
S i n — |
х |
+ |
an (P,-)sin |
|
\ 2 |
1 |
|
|
|
|
|
при п = 1, 3, 5, |
|
k. |
|
|
|
Точно так же найдем это значение |
гружении: |
|
|
|
|
|
G |
2 / |
, |
ч |
4G |
0)2 |
— |
<»Чу |
+exk) |
|
=—- |
|
g |
|
|
|
gl |
я |
при кососимметричном на
MPt)
|
при я = 2, 4, 6, |
k. |
|
|
|
(у |
+ |
ехс) |
|
(у + |
ехк), которые |
|
Таким образом, |
значения |
для |
и |
|
имеют вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У + ЄХС |
= |
2а„(р<) |
при |
п = |
1, 3, |
5, |
. . ., |
k; |
|
ппх\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y + |
e x k - + |
4 р " ( Р < ) |
при |
л = |
2, 4, |
6, |
|
|
|
|
|
|
шкц |
|
|
|
|
|
|
|
необходимо подставить в выражение (15) для критической ско рости.
Выводы
1. Установлено, что для определения критической скорости вращения ротора, при которой происходит отрыв цапфы от под шипника, нет необходимости пользоваться обычным уравнени ем движения цапфы в подшипнике как маятника.
2. Критическая скорость отрыва цапфы от подшипника мо жет быть найдена из решения составленного нами нового нели нейного дифференциального уравнения движения, имеющего на один порядок выше обычного уравнения, но с разделяющимися переменными, что позволило получить расчетную формулу для критической скорости в простой форме, удобной для практиче ского применения.
3. Установлено, что отрыв цапфы от подшипника происходит в одном и том же месте независимо от гибкости ротора. Угол от рыва цапфы от подшипника равен \г 2 радиана, или прибли зительно 80°.
ЛИТЕРАТУРА
1.Шубин А. А., Самаров Н. Г. О критерии виброперегруженности под шипников качения. Реферативный научно-технический сборник «Горные ма шины и автоматика». Вып. 9 (114). М., 1969.
2.Цапко А. А. Применение балансировочных машин с неподвижными опорами для уравновешивания гибких роторов. Сб. «Теория и конструкция балансировочных машин». Под ред. В. А. Щепетильникова. М., Машгиз, 1963.
Н.Г. САМАРОВ
МАЯТНИКОВЫЕ КОЛЕБАНИЯ РОТОРА И РЕЖИМЫ РАБОТЫ ПОДШИПНИКОВ
Маятниковые колебания роторов в подшипниках, помимо самостоятельного значения, активно воздействуют на величину
|
|
|
|
|
|
|
изгибных колебаний |
(рис. 1). Эти воздействия носят двойствен |
ный |
характер. |
С одной |
сторо |
ны, |
маятниковые |
колебания |
накладываются |
на изгибные и |
непосредственно |
влияют |
на |
амплитуду, дополнительно |
сме |
щая центр тяжести ротора от |
носительно оси вращения. |
От |
метим, что направление |
допол |
нительного |
смещения |
может |
как совпадать, так и не совпа |
дать с направлением |
смещения |
центра тяжести. |
При скорости |
вращения |
ниже маятникового |
резонанса |
(первый |
режим |
ра |
боты подшипника) амплитуды |
Рис. 1. Схема перемещения цапфы в |
будут противодействовать друг |
подшипнике |
при маятниковых |
коле |
|
баниях: |
|
другу. После маятникового ре |
|
|
/ — подшипник; |
2 |
— цапфа; a, a m |
a x - уг |
зонанса (третий режим |
работы |
лы отклонения |
центра т я ж е с т и |
ц а п ф |
подшипника) они будут |
совпа |
|
|
|
|
дать по направлению. Таким образом, амплитуда изгибных ко лебаний А может соответственно увеличиваться или уменьшать
ся. С другой |
стороны, коэффициент сопротивления |
изгибным |
колебаниям п |
в выражении |
|
|
со* |
|
|
7 - Р |
|
|
А = |
(1) |
есть не что иное, как сож , т. е. угловая колебаний,
где р — эксцентриситет центра тяжести ротора; |
|
со — текущее значение угловой скорости |
вращения |
ротора. |
Следовательно, маятниковые колебания |
влияют на |
величину |
изгибных колебаний как фактор сопротивления. При измерении колебаний ротора на работающей машине, приборы улавливают полную амплитуду, которая является суммой изгибных и маят никовых колебаний. В связи с этим, расчетные значения ампли туд изгибных колебаний часто не совпадают с действительными величинами, измеренными при испытаниях машин. Отсюда воз никает задача выделить из суммарного значения измеренной амплитуды ее изгибную и маятниковую составляющие.
Ниже дано расчетное значение полной амплитуды колебаний с учетом как изгибной, так и маятниковой составляющих для случая третьего режима работы подшипника. Это случай, когда маятниковая составляющая наиболее значительна:
(J)2
Л2 = - |
|
|
|
А + р + Д,Ср |
|
|
|
(2) |
|
/ |
+ 4- |
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( I ) |
Кр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где Ас р — среднее значение |
радиального |
зазора |
в |
подшипниках. |
|
|
|
Если Аср |
= 0 и Л > |
р, |
то выра |
|
|
|
жение |
(2) совпадает |
с |
выражени |
|
|
|
ем (1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
маятниковые |
колебания |
|
|
|
вращающегося |
ротора |
достаточно |
|
|
|
описаны |
в литературе |
|
(см., напри |
|
|
|
мер, работу |
[1]), |
то |
сопротивление |
|
|
|
изгибным |
колебаниям, |
на |
наш |
|
|
|
взгляд, |
|
изучено |
еще мало. |
В связи |
|
|
|
с этим кратко остановимся на опре |
|
|
|
делении |
физического |
смысла |
коэф |
|
|
|
фициента п из выражения |
(1) [2]. |
|
|
|
Из |
выражения |
(1) видно, |
что п |
Рис. 2. |
Схема |
сил, действу |
имеет |
размерность |
рад/сек. |
Это оз |
ющих |
на подшипник при |
начает, |
|
что коэффициент |
затухания |
маятниковых |
колебаниях |
эквивалентен некоторой пока еще не |
|
вала |
известной угловой скорости. Опреде |
та п. Для этого рассмотрим |
лим физический |
смысл |
коэффициен |
взаимодействие |
сил |
|
при наличии |
третьего режима работы подшипника (рис. 2).
Составим сумму проекций всех сил на горизонтальную и вер тикальную оси чертежа:
Z^sincp-r- rcoscp — /?sincp = 0; — R1cosq> + T sin ср + R cos cp = G,
где R\ •— центробежная сила;
R— реакция подшипника;
Т— сила трения;
G — вес ротора, приходящийся на подшипник.
Сделаем допущение, что при малых углах <р и при ср = 2л sincp^O; c o s c p ^ + 1 ,
тогда
tgcp = Г
Л, + G
Вполученное выражение подставим значения:
Г= 2т/гсо[Д+(р + Л)];
|
|
^ 1 = т с о 2 [ Л + ( р + Л)]; |
G = mg, |
|
где |
m — масса ротора, приходящаяся на подшипник. |
|
Ускорение |
силы |
тяжести g |
выразим |
через |
произведение |
со2 |
(А + А + р), полученное из выражения |
|
|
|
|
|
«л = |
, |
|
|
(3) |
|
|
|
А + |
А + р |
|
|
|
где |
ttu — угловая скорость маятниковых |
колебаний. |
|
Это выражение аналогично формуле для собственной часто |
ты |
колебаний |
математического |
маятника |
со« = |
• Примени |
тельно к вращающемуся ротору длина маятника L соответству |
ет |
величине Д + Л + р , |
т. е. расстоянию |
центра тяжести ротора |
от центра подшипника. На третьем режиме, но в докритической
зоне оборотов, L = А + р + |
А. |
|
|
|
Из сказанного вытекает, что |
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
2 — |
|
tg<P = |
V |
- |
<4> |
|
|
|
О)2 |
|
Учтем, что при углах |
ср |
2я и ф ->- 0 tg ф «=• sin |
ф. Кроме |
того, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ф |
|
|
|
2 t |
g |
2 |
(5) |
8 І П |
ф = |
= |
|
|
|
|
1 + t g — |
|
Сопоставив выражения |
(5) и |
(4), можно сделать |
вывод, что |
1 |
СОи |
П = (ЛМ. |
/о\ |
— = — и л и |
(6) |
