Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Сахарников Н.А. Высшая математика учебник

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.10.2023

Размер:

24.22 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 488 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

40. Достаточные условия экстремума. Условимся в следу ющем: будем говорить, что «производная меняет, знак плюс на ми

нус при переходе через точку			ж0», если в некоторой окрестности
точки х 0 выполняются неравенства: /' (х) >- 0 при х <				х 0 и /' (х) < 0
при X > ж 0.	Аналогично, если /' (х) < 0 при х < х 0 и				/' (х))>0
при ж > г 0,	то	производная	меняет знак минус	на	плюс при
переходе через		х 0.	у = / (х) непрерывна	и дифферен
Теорема	1. Пустъ функция

цируема в некоторой окрестности критической точки х 0 (в самой
точке х 0 производная может не	существовать). Если	при пере
ходе через точку ж0 производная /'	(х) меняет знак плюс	на минус,

то в	точке х 0 функция имеет максимум. Если же при переходе
через	точку ж0 производная меняет знак минус на плюс, то в точке

х0 функция имеет минимум.

До к а з а т е л ь с т в о . Предположим сначала, что произ водная , меняет знак плюс на минус. Рассмотрим значение х, меньшее х а, и напишем формулу конечных приращений (см. п. 34)

для / (х) и промежутка [х, х0]: Ау = /' (с) Ах, где Ах						=	х — х 0,
Ау	=	Î (х)	— / (ж0), X -<с О		0. По условию при х < іх0	f	(с) > 0
и	поэтому		Ду	< 0 .
	Если же X >			х 0, то из аналогичной формулы Лагранжа и усло
вия /' (ж) < 0 следует, что Ду					< 0 . Итак, в обоих случаях Ау < 0 ,
и	в	соответствии с определением понятия максимума				функция
/ (х)		имеет максимум в точке х 0.
	Аналогично доказывается вторая часть теоремы.
	Отсюда следует п р а в и л о исследования функции на экстре

мум с помощью первой производной. Пусть в (а, b) дана функция / (х): 1) находим ее первую производную, 2) находим критические значения, 3) выясняем знак f (х) слева и справа от каждой крити ческой точки, 4) выносим суждение об экстремуме в соответствии с теоремой 1, 5) вычисляем значения функции в точках экстремума.

П р и м е р 1. Для исследования на экстремум функции у =					х2/<3 (х + 5)
находим ее критические значения (см. п. 39): х г =				—2 и х2 =	0. Затем со
гласно правилу последовательно заполняем строки таблицы
X	—оо<[г<('—2	ад = —2	- 2 < ж < 0	ж2 = 0	0 О < < + ° °
у '	+	0	—	оо	+

УВозрастает Максимум Убывает Минимум Возрастает

Следовательно,	в точке х1 данная функция имеет максимум, а в точке х.г
она имеет минимум,		причем / (я-,) = —3 {^4, / (х2) = 0.
П р и м е р	2.	Дана функция у = х3 — Зж+ 2. Найти промежутки воз

растания и убывания и точки экстремума. Для этого вычисляем производную у' — 3 (х — 1)(х + 1) и находим критические точки хх = —1, х2 = 1. За полняем последовательно строки таблицы

—оо<^х<С_—1

Х 1 — — 1

- 1

0 <

*2 = 1

1 < * < + оо

у'

—

Возрастает

Максимум

Убывает

Минимум

Возрастает

График функции изображен на рис. 27.

Теорема

2. Пустъ функция / (х) имеет в точке х 0 и ее окрест

ности непрерывные первую и вторую производные, причем f

(ха) =

= 0,

/" (х 0) ^ 0.

Тогда

функция /

(х)

имеет в точке х 0 мини

мум,

если

Г (х о)>0;

(9)

2) функция / (а:)

имеет в точке х 0

максимум,

если

/ " Ы < 0.

(10)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

выполнено

условие (9). По усло

вию /" (ж)

непрерывна

в точке х 0,

поэтому в

силу

леммы о сохране

нии

знака

функции (см. п. 15) ус

ловие /" (х)

> 0

будет

выполнено

х 0.

этой

окрестности

точки

в некоторой

окрестности

точки

х 0 функция

z =

/' (х)

возрастает,

так как

ее

производная

поло

жительна: z

= /" (х)

> 0 . По условию в

точке х 0 первая про

изводная равна

нулю. Следовательно,

при переходе через точку

х 0 первая

производная

(х) меняет

знак

минус на

плюс,

и по

этому в силу теоремы 1 функция / (х) имеет в точке х 0 минимум. Аналогично доказывается вторая часть теоремы 2.

Теорема 2, так же как теорема 1, содержит достаточные усло

вия	экстремума.
	П р и м е р	3.	Исследовать		на экстремум	функцию	у = х3 — Зх + 2.
Для этого находим у' =				Зх2—3 и у" = 6х. В точке х1 =			—1 функция имеет
максимум, так как у'			=	0, а у"	0. В точке хг =	1 функция имеет минимум,
так	как у' = 0,	а у" >		0.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функ ции в промежутке la, b] можно поступить так: 1) найти критиче ские значения xt, . . ., хп и присоединить к ним точки а и Ъ, 2) вычислить значения функции в каждой из этих точек и выбрать среди этих значений наибольшее и наименьшее. В результате получим искомые значения функции.

41. Задачи на экстремум. З а д а ч а 1. На какой высоте h следует подвесить лампочку, для того чтобы в точке А освещенность была наиболь

шей (рис. 28)	при условии, что расстояние АС =					а задано?	А равна
Р е ш е н и е .		Как	известно,	освещенность		/ в точке
J = k cos ф/г2. Здесь cos			ф = /г/г, г2	= /г2	+ а2. Следовательно,		величина /
есть функция	h,	определенная в области			h ï s 0:

/ =

(h2-f- а2)3/г

Надо найти такое значение h, при котором величина / максимальна. Иссле дуем функцию на экстремум; найдем ее первую производную

/'=/£■ д2	—2/г2	2к	- f = - h		-h
(h2	+ a2Ÿ/z	(Л2 + а2)Ѵ2		V2	Ѵ г
Производная обращается в нуль в точках h±				о:	а	из которых
Производная обращается в нуль в точках h±				TZ. II іЪп	'■ 1	из которых
				К2	Г 2

a-2x

Рис. 30.

Р е ш е н и е .

только

/ij

может доставить функции

экстремум.

П р и 0< /

h < / /гх

имеем

/ '

Г> 0,

при

h>>

/ ' <

Следовательно,

точке/г, =

л*0,7а

величина /

достигает

максимума.

то /г

70 см.

Например,

если

а =

100 сдг,

З а д а ч а

2. Две среды разделены прямой.

Известны

скорости

движения

точки в

средах

Ѵі и

у2

соответственно.

Данные

точки

А и В

(рис. 29) находятся в разных

средах на расстоя

ниях а и соответственно

от границы раздела.

Расстояние между проекциями этих точек на

границу

раздела дано

А 1В 1 =

Требуется

найти

на

границе

сред точку

С такую,

чтобы

время движения

из

далее в В

было

бы

наименьшим.

СВ равно

Время прохождения пути АС +

1	У a2-j- £2	1	■Ь2
t (х) = ----	У a2-j- £2	_]-------}' (й_ X)2-	■Ь2
Ѵ 1		ѵ 2

где X — расстояние А\С. Надо найти такое значение х, при котором функция t (х) имеет минимум. Производная

dx	Уа2 - X 2 V2 V(d —x)2 + b2


обращается в нуль при условии--------\		у	сс _	— --------\	. ---------	d_ос		, которое
	Ѵ1	у	а 2 ^ х 2	t72	Y ( d — x ) 2 +			Й2
равносильно следующему:	S i n ф і	ѵі	, где углы фх и			фг	указаны
	sm ф2	у2				t (х)	имеет именно
рнс. 29. Можно доказать, что при этом условии функция						t (х)	имеет именно

минимум. Итак, для того чтобы время движения из А в В было минималь ным, надо точку С выбрать так, чтобы отношение синусов углов ф, и ф2 было равно отношению скоростей щ и ѵг. Именно такой путь выбирает луч света при движении из А в В.

3 а д а ч а 3. Из квадратного листа со стороною а нужно сделать ко робку наибольшего объема (причем уголки выбрасываются и швы свари

ваются, рис. 30).
	Р е ш е н и е . Объем ѵ ~ (а—2х)г х, где ж—высота коробки^О <				х <С .
Производная		ѵ' =	а?—8ах +	12ж2 обращается в нуль в точках	хг = а/2
и х2 = а/6. Из них только хг достав
ляет	объему	максимум, потому что
при	этом ѵ" =	—4а <С 0.
	О т в е т :	х =	а/6.
42. Выпуклость, вогнутость,
точки перегиба.			Пусть	функ
ция / ( X) дифференцируема в
промежутке (а, Ъ). Тогда ее гра
фик	имеет касательную			в каж
дой	точке.
Кривая называется выпуклой
(вогнутой) в промежутке (а, Ъ),
если все ее точки лежат ниже
(выше) любой ее			касательной в

этом промежутке. Говорят, что на участке выпуклости кривая обра щена вогнутостью в сторону отрицательных ординат, или вниз (рис. 31). Из этого определения следует, что на участке выпукло сти, так же как и на участке вогнутости, касательные к графику функции не пересекаются с самим графиком и имеют с ним каждая свою единственную общую точку — точку касания.

Точки, отделяющие выпуклые части графика функции от его вогнутых частей, называются точками перегиба. Очевидно, что в точке перегиба касательная пересекает график, так как с одной стороны от этой точки кривая лежит под касательной, а с другой—

над	нею.
Для решения вопроса о направлении вогнутости кривой, задан
ной	уравнением у = / (х), рассмотрим в		окрестности точки х 0
знак	разности у — У между ординатой		графика функции у =
= f	(х) и ординатой У точки (х, У)	касательной к этому графику
в точке М 0 (х 0, у о). Предположим		существование в этой окрест

ности второй производной /" (х). Величину У всегда можно пред

ставить в	виде	У = AB + ВС = / (х0) + f	(х0) (х — х 0).
Поэтому разность ординат, преобразованная с помощью фор
мулы конечных		приращений, будет равна
y — Y =	f(x) — f (х0) —/' (х0) (X — х0) = [)' (с) -		/' (agi (х - ад.

Используя еще раз формулу конечных приращений применительно к функции /' (ж), получим

У— Y — f (Cj) (z — x0) (с — х0),

где произведение (х — х 0) (с — х 0) всегда положительно. Следова тельно, знак левой части вполне определяется знаком второй

производной:		если у" )> 0, то у >• Y и кривая вогнута, если
у"	< 0 , то у	<	7 и кривая выпукла. Таким образом, мы пришли
к	следующему		утверждению.

Теорема. Пустъ в промежутке (а, Ъ) функция / (х) имеет вто рую производную, которая сохраняет знак. Тогда кривая у — f (х)


	в	этом			промежутке				выпукла,
	(вогнута), если в (а, Ъ) выпол
	нено условие
			/* (* )< о			[Г(х)>0].					(И)
			П р и м е р			1.	Кривая		у =		е~х
	всюду			вогнута,		потому		что		ее	вто
	рая		производная				у" =	е~х		всюду
	положительна.						Кривая		у	=	In х
			П р и м е р 2.
	выпукла, потому что у" ~ — 1/а;2 < 0 .
			П р и м е р З .				Кривая			у = х3
	выпукла				при X <		0 н вогнута				при
	X >		0,	потому		что у" =		6х <С 0 при
	г < 0 и / > 0					при	X	0.	В точке
	х0 = 0			вторая		производная				обра
	щается в нуль. Точка перегиба имеет
II р и м е р	абсциссу х0 = 0.
	4. Кривая у — х* всюду вогнута в силу определения поня
тия выпуклости.	Однако в точке хй =	0	вторая производная					обращается

впуль и условие (11) нарушено.

Пр и м е ч а н и е ! . Вторая производная дважды дифференцируемой

функции может обратиться в нуль в отдельных точках промежутка выпук лости или вогнутости ее графика (см. пример 4)-

П р и м е ч а н и е 2. Вторая производная дважды дифференцируемой в (о, Ъ) функции не может обратиться тождественно в нуль ни в каком про межутке выпуклости или вогнутости графика функции. Действительно, если бы в (а, Ъ) имели /" (х) = 0, то в силу следствия из теоремы Лагранжа /' (х) = к

и / (х) = кх +	Ь. Но график линейной функции — прямая линия, не обла
дает свойством	выпуклости или вогнутости. Поэтому }" (х) ф 0 в (а, Ь).

Если /" (z) меняет знак при переходе			через точку х 0, то ме
няет знак и	разность у — Y , и в	точке	ж0 налицо перегиб.
П р и м е р	5. График функции у =	хъ имеет точку перегиба М 0 с аб

сциссой х0 = 0, потому что при переходе через точку х() = 0 вторая произ водная меняет знак минус на плюс.

В точке перегиба вторая производная может не существовать. Это показывает следующий пример.

II р и м е р	6. Функция задана	равенствами у = —а + У аг—ж3 при
—а =+ ж ïg 0, у =	b—У Ь-—ж2 при О	ж =+ 6. Ее график составлен из дуг

окружностей различных радиусов а и 6. Точка ж0 = у 0 = 0 есть точка пере гиба. В ней функция непрерывна, имеет первую производную у' — 0, но не имеет второй производной.

43. Асимптоты. Перейдем к изучению бесконечных ветвей графика функции у = / (х), если такие ветви имеются. Бесконеч ной ветвью кривой называется такая ее часть, на которой имеются точки, сколь угодно далекие от начала координат. Например, окружность не имеет бесконечной ветви, а парабола имеет две

бесконечных ветви.
Асимптотой бесконечной ветви кривой называется прямая
расстояние			<5 до которой от точки М кривой стремится к нулю
когда		точка		М	вдоль	этой
ветви		неограниченно удаляется
от	начала		координат.			Если
обозначить			через d (О, М) рас
стояние от начала координат О
до	точки М (рис. 32), то
lim ô^O			при	d(0,M )		оо.
						(12)
	Различают			асимптоты		вер
тикальные			(т. е. параллельные
оси		ординат)		и	наклонные

(т. е. не параллельные оси ор
динат).	В е р т и к а л ь н ы е		аи м и т о I ы. Из		определения
1.
асимптоты следует, что если / (х)			- у О О	при X -у х 0 +	0, или при
X -> х 0 — О,		ИЛИ при X - У Х 0, то	прямая X = х 0 есть асимптота
кривой	/ (х)	(см. рис. 32).
П р и м е р		1. График функции у	X	имеет асимптоту х = 2, потому
			ж —2
что у -у оо как при ж -у 2 + 0 , так и при ж				2 — 0. Для того чтобы прямая

была асимптотой, достаточно выполнения одного (любого) из этих условий.

Вданном случае кривая имеет две бесконечные ветви, для которых прямая

ж= 2 служит единой асимптотой (рис. 33).

Правило нахождения вертикальных асимптот таково: 1) нахо дим точки разрыва функции, 2) исследуем поведение функции при стремлении аргумента слева и справа к каждой из этих точек. Если при этом окажется, что / (х) — функция бесконечно боль

шая,	то X = х 0 есть уравнение	вертикальной асимптоты.	уравне
2.	Н а к л о н н ы е а с и м п т о т ы изображаются		уравне
нием	вида
	у — ах +	Ъ.	(13)

Заметим, что если бесконечная ветвь имеет наклонную асимптоту (с углом наклона ср), то вместе с условием (12) будет выполнено

условие lim РМ = 0	при	х -»- оо, так как РМ — ~со° ф » гДе
cos ф — const (см. рис. 32).		Здесь	величина	РМ —A M — АР —
— і (х) — ах — Ъ, поэтому		имеем
	lim 1/ (ж) — ах — Ъ] — 0			(14)
при X ->- + оо или X	— оо, т. е.		разность	ординат кривой и

асимптомы есть величина бесконечно малая при стремлении х к сю.

Но тогда	и величина — \f{x) — ах — Ь] — бесконечно						малая.
	ь	]				Отсюда следует, что
Поэтому	— а -----	]	О при X		со.	Отсюда следует, что
	X
		а — lim		/ (ар			(15)
			х ~ * СО	X
			х ~ * СО
Зная а, находим величину			b из	равенства		(14):
		6	= lim [f{x) — ах].				(16)
			Х - * СО

Если существуют пределы (15) и (16), то кривая имеет наклонную асимптоту, которая изображается уравнением (13). При этом надо

различать два случая:	х	+ оо и ж	— оо-
П р и м е р 2. у =	-. Вертикальная асимптота х = 2 найдена в при-
х —2

мере 1. Для нахождения наклонных асимптот вычисляем а и 6 по формулам

(15) и	(16):
	а = 1і т — î— = 0, Ь = 1 і т — î - ^ - = l .
		X —	2				X —	2
Следовательно, прямая у — 1			есть горизонтальная						асимптота как при х->-
-> + ° о ,	так как и при х -*■ —оо				(см. рис. 33).				(15) и (16) находим
П р и м е р З . у = X — 2 arctg х. По формулам									(15) и (16) находим
	в =	lim		n	- l a	r c t g	, - ! ^
	Х -+ i		0 0	L		x	J
	Ь = —2 lim				—	я при X		•— т - p оо,
	Ь = —2 lim	arctg x =				я при X		-*■—оо.
						я при X		-*■—оо.

Следовательно, график функции имеет две наклонные асимптоты:

у = Ж + Я при X -і-----оо и у — х —я при X —> -J-оо (рис. 34).

44. Общая схема исследования функции. Пусть дана функция. Можно рекомендовать следующую схему ее исследования: 1) выяс ним область существования функции, найдем точки разрыва и установим поведение функции вблизи точек разрыва, 2) найдем промежутки возрастания и убывания функции, 3) исследуем функ

цию на экстремум, 4) найдем промежутки выпуклости и вогнутости функции, точки перегиба, 5) найдем асимптоты и выясним располо жение графика функции относительно асимптот, 6) найдем точки пересечения графика функции с осями и другие дополнительные точки, 7) построим график функ ции.

При этом полезно установить, является ли данная функция чет ной или нечетной. Напомним, что функция называется четной в про межутке (—а, а), если в нем вы полнено условие / (—х) = / (ж); график четной функции симмет ричен относительно оси ординат. Например, у = cos х или у = ■— X sin X — четные функции.

Функция называется нечетной в (—а, а), если выполнено усло вие / (—х) = — / (х). График не четной функции симметричен отно сительно начала координат. На пример, у = Xs или у = X cos 2х —

П р и м е р .	Функция у =	е~ <-х~а'>2 всюду непрерывна, положительна.
Ее производная у'	= 2 (а — х) у	обращается в нуль только в точке ж0 = а,

в которой функция имеет максимум. Ее вторая производная у" — 2у [2 (х—


—а)2 — 1 ] обращается в нуль только в точках х 1= а —					1 и х2 =		а +	1 .
В промежутках —оо < J х <;	и х г <; х <! °о функция вогнута,						в проме
	жутке (хх,			х 2)	функция		выпук
	ла. Имеется одна горизонтальная
	асимптота у			= 0, так как пределы
	(15)	и	(16)	равны нулю.				Точки
	x t и хг суть точки перегиба.							Кри
	вая	симметрична				относительно
	прямой		X =	а.	График		функции
	изображен на				рис. 35 — это так
	называемая кривая Гаусса.
		45.	Кривизна.			Наиболее
	естественной				характеристи
	кой		искривленности					дуги
	кривой является					изменение

угла поворота касательной к этой кривой при перемещении точки касания от одного конца дуги к другому.


Рассмотрим график функции у = / (х),					которая предполагается
дважды дифференцируемой в				рассматриваемой		области.	Пусть
А и В — две		точки	графика,	соответствующие		значениям	аргу
мента	X и X +	Дж.	Выберем на кривой		начало	отсчета	дуг —
точку	N и положительное направление				отсчета	дуг (например,

направление увеличения абсциссы). Обозначим приращение угла

поворота касательной на дуге AB:

Дф =

фв — ф4,

приращение

длины дуги * обозначим

(рис. 36)

As =

w / lB

— v ^ N B

— V J N A .

Средней кривизной дуги AB называется абсолютная величина

отношения угла поворота касательной на дуге AB к длине этой

дуги:

кср

Дф

Кривизной кривой в точке А называется предел средней кривизны

дуги AB при стремлении длины дуги

As к нулю: к = lim кср

при

0, причем В—>-Л.

Следовательно,

d(f

lira

Д ф

(17)

As-O

A s

Таким

образом,

кривизна

равна

абсолютному

значению

производ

ной угла

наклона

касательной ф

по длине

дуги s.

Кривизна

слу

жит мерой искривленности кривой

в бесконечно

малой

окрестности

соответствующей

точки.

П р и м е р

На прямой Д ф = О,

поэтому

кСр =

кривизна прямой

равна нулю: к — 0.

окружности ра

П р и м е р 2.

На

диусом

имеем

Д ф

(рис. 37),

И Кривизна окружности

Аср

постоянна

обратна

радиусу:

Puc. 36.

к°кр ~

Д •

В ы в о д ф о р м у л ы

к р и в и з н ы .

Дана

дважды

диф

ференцируемая функция

= f (х).

Пусть

по-прежнему

— на

чало отсчета дуг на графике функции / (х) (см. рис. 36). Обозна чим через s длину дуги s где А — точка, имеющая абсцис су X. Длина дуги s является функцией абсциссы х конца этой дуги: s = s (х). Угол наклона касательной ф также является функ цией абсциссы точки касания: ф = ф (х). Предположим, что обе функции s (х) и ф (х) имеют производные по ж и поэтому непре рывны.

Параметрические уравнения ф = ф (х), s = s (х) определяют

зависимость величины ф от		s. Переменная х играет здесь роль
параметра. Требуется найти		фз. По правилу дифференцирования
функции, заданной	параметрически, имеем
		ф( = фх/4.	(18)
Найдем числитель	и знаменатель правой части формулы		(18).

* Здесь мы пользуемся интуитивным представлением длины дуги кривой. Строгое определение этого понятия будет дано в главе IX.

у'	1.	Согласно		геометрическому значению						производной имеем
	=	tg ср.	Следовательно,		ф =- arctg у'				и
				<Рх		1 +	</'2			(19)

	2.	При	вычислении производной					длины
дуги s'x мы используем следующую лемму,
которую примем				без доказательства: предел
отношения			длины	бесконечно малой				дуги к
стягивающей ее				хорде	равен		единице:
lim KJAB/AB = 1				при AB -> 0.
	Из р\АВС (см. рис. 36)				по	теореме Пи
фагора следует,				что AB2= (Ах)2-Р (Ау)2					и
~	=	]/"1 + (-^ \| Y		. Для нахождения				s* рас
смотрим отношение
			As	\J AB	\J AB T Г . , / Ay \ 2
			Ax	Ax	AB	У		' V Ax )		"

Перейдя в этом равенстве к пределу при Ах —ѵ 0, получим Сог

ласно	лемме
			s'x = Ѵ і + гЛ						(20)
Из	равенств		(18) —(20) следует		формула		кривизны
					к = ±		/2ЛЭ/2		(21)
					(і+Ѵ 2)
			Кривизна (по определению) всегда положи
			тельна, поэтому знак				в	правой части фор
			мулы	(21) выбирается			согласно правила:
			плюс,	если	у" >>0, т. е.			если кривая во
			гнута; минус, если у"			< 0 ,		т. е. если	кривая
			выпукла.
			П р и м е р .		Найти	кривизну параболы у =*
водные		у' = 2ах,	= ах2	(а >> 0). Вычисляем первую и вторую произ
водные		у' = 2ах,	у ” = 2а и	по формуле (21)		получаем
			к	2а					(22)
			к	(1 + 4а2ж2)3/2					(22)
				(1 + 4а2ж2)3/2
При ж =		0 имеем наибольшую кривизну к = 2а. При увеличении							\| х \| кри
визна	к	уменьшается.

Введем несколько понятий. Окружностью кривизны кривой I в точке М называется окружность, которая обладает следующими свойствами: 1) проходит через точку М и имеет с кривой общую касательную, 2) имеет одинаковое направление вогнутости с

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 488 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ