книги из ГПНТБ / Сахарников Н.А. Высшая математика учебник

Обозначив здесь х — х 0 — Ах, у — у 0 —

Ау, z — z0 =

Az,

получим

y0) = Az,

(63)

fx (x0, y0)Ax + fy (x0, y0)Ay = Az и df(x0.

(Pu = d(dn~1u).

(64)

Исходя из равенства du = uxdx +

uydy, определяющего

пер­

вый дифференциал,

последовательно

выведем

d-u — d (ii'xdx -f- u'y dy) = (u'x dx -|- uy dy)x dx -f-

-r {uxdx + Uydy)ydy,

(65)

d2u =

,

uxx (dx)2-f- 2uxy dx dy -j- uyy (dy)2.

после чего показатели степеней у

и

надо считать указате­

лями порядка производных по а: и у от функции и.

135. Формула

Тейлора для функции нескольких переменных.

Пусть функция и

=

f

(х, у) непрерывно дифференцируема п + 1

раз в

некоторой

окрестности точки

М 0 (х0,

у 0).

Пусть

точка

М (х0

Ах, у о +

Ау) принадлежит этой окрестности. Вспомога­

тельную функцию ф (t) определим в промежутке 0 sç

t sg 1 равен­

ством

Ф (t) = f(x,

у),

(67)

где X

= х 0

t

Ах,

у = у 0 + t Ay. Согласно

п. 51 составим фор­

мулу

Тейлора

для

ф ( t ) :

ф (t) =

Ф

( п

> ( 0

)

е +

(П+1)

т

fn+l

(68)

ф

( 0

)

+

ф t' +( 0 .)

п

!

ф

(«+D!

ф" (t) ■ = fxxX* 2H- 2fxyX'y' +

fyyy’ 2== d2f (x

y),

. . .,

Ф(п) (l) = dnf (x, y), ф(п+1,( 0 ; dnnf(x,

y).

Заменив в последнем

равенстве

t на dt,

а в остальных положив

t = 0 , найдем ф (А) (0) = dkf (х 0,

у 0) при

к = 0 , 1,

. . п,

ф(п+п

__ ^п+1/ (хо

Ах, у0+ Ѳі Ау).

положить в нем t = 1, то получим для / (х, у)

формулу Тейлора

dkf(xо, уо) I

dn+1f(xо + ѲДх, Уо + ѲД!/)

(69)

f ( x > У ) =

f ( x Уo, о ) + 2

к !

(п+ 1) !

h=1

где

x =

ж0 4

Аж, у = у0 4 Ay. Ее

можно записать в

виде

f(M )= f( M 0) +

йи+1/ (М*)

(70)

4 4 1 )!

'

Л=1

где

М * (х 0 4

ѲАж, у 0 4

ѲАу). Формула

Тейлора

для

функции

любого

числа

независимых переменных имеет

такой

же вид.

136.

Экстремум функции нескольких переменных. Рассмотрим

функцию и

=

/ (ж, у), непрерывную в области А. По определению

функция / (ж, у) имеет в точке М 0 (ж0, у 0) максимум,

если выпол­

няется

неравенство / (ж,

у) < /( ж 0,

у0)

или

Au = f (М) — / (М0) < 0

(71)

в некоторой

окрестности

точки М 0, т. е.

при

условии

0 < р = d(M0, М) = У (Аж)24 (Ау)2< Ô.

(72)

ô-окрестности точки М 0 выполняется неравенство / (М) > /

(М „)

или

Д и Х ) .

(73)

Для обозначения максимума и минимума употребляется й

общий

термин — экстремум.

илй

Если

вместо (71) или (72) выполнено условие А и ^ 0

А и ^ 0,

то экстремум называется несобственным.

экстремум.

у 0) в точке ж0 имеет

экстремум (того же

Тогда функция / (х,

смысла), потому что неравенство (71) или (73) выполняется для

в с е х

точек ô-окрестности

точки М 0, в частности

оно

выпол­

няется

при условии у

= у 0.

Поэтому (см. необходимое

условие

экстремума функции

одной

переменной,

п. 39)

производная

ция / (ж0, у) при у =

у 0 тоже имеет экстремум, и поэтому f'y (х0, у)

в точке у 0либо равна нулю, либо не суще­

ствует. Теорема доказана.

П

р

и м

е р

1 .

z =

X 2

у 2 ,

z'x

=

2 х ,

z'y =

2 у .

Производные

равны

нулю

в

точке

х0 =

Уо =

О, гДе функция имеет минимум.

П р и м е р

2.

z =

X2 — у2.

Производные

первого порядка опять равны нулю в точке хп =

— i/o ~

О’ н0 экстремума эта функция не имеет

(поверхность

носит

седлообразный характер).

Теорема

(о

достаточном условии экс­

дважды

непрерывно

тремума).

Пустъ

функция

и — и (х,

у)

дифференцируема

в

некоторой

окрестности

точки М 0 (х0,

у 0) и в самой

точке

М 0

выполнено

условие

их (М0) = иу {М0) = 0.

(74)

Обозначим

А

=

ихх (М 0),

В

=

иху (М 0),

С — и"уу (М 0),

D =

— АС — В 2.

Тогда

в

точке

М 0

функция

и (х,

у) 1)

имеет

минимум,

если

D > 0

и

А

р> 0,

2)

имеет

максимум,

если

D > 0

и А

< 0 ,

3)

не имеет экстремума,

если D < 0 .

п

= 1

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Формула

Тейлора (70) при

имеет

вид

и'уу (М%) = С +

а 3, где а г, а 2, а 3 — величины бесконечно малые

при стремлении

р к нулю (рис. 95). Поэтому из (75) следует

равенство

где

р = |/(Даг)2 (Аг/)2,

ар2—ах (Дх)2-|- 2а2Ах Ау + а3(Дг/)2.

Поло­

жив

в (76) Дх —pcoscp,

Дг/— р sin ф, получим

2 Аи =-- р2 {(А cos2ср -f 2В sin ф cos ф -j- С sin2ф) ;■а},

(77)

2 Ди = р2j [(И cos ф -{-В sin ф)2 f D sin2ф] • + aj

(78)

I 1. Если

,

0

и

П > 0 , то

в формуле

(78) имеем

[. . ,]> 0^

—д [. . .]> 0

Д и > 0

и в точке М 0 функция

имеет минимум,

2. Если

D > 0

и

0, то

[. . ,]> 0 ,

-j- [. . .]< 0 ,

Д и<0 й

в точке М0 функция имеет максимум.

слагаемые в квадратной

Заметим,

что

в

этих двух

случаях

второй член

равен

нулю при sin фх =

0, первый же член

равен

нулю

при условии

ф = ф2, где

,

=

А

,

tg ф2

— -g- , причем фх

Ф- ф 2.

За.

Если

D < 0

и

Л > 0 , то

экстремума нет, так как 1) вдоль

луча

ф = фх

имеем

[. . Л = А2cos2ф > 0 ,

{. . ,} > 0 и Д и> 0,

36. Если

Z> < 0

и А<^0, то экстремума нет, потому что 1) на

луче ф = фх Дг^-<0,

2) на луче ф —■ф2 Ди>0.

Зв. Если

D<Z0

и А = 0, то В =h 0.

Из (77) следует равенство

2 Ди = р2 (sin ф(2/3 cos ф+

(7sin ф) + а}.

(79)

Если величина | ф | достаточно мала, то сумма 25 cos ф +

С sin ф

с ним

и Ди,

будет иметь знак 5 , если ф > 0 ; оно

будет иметь

противоположный знак,

если ф < 0 . Следовательно, нет экстре­

мума

и в этом

случае.

Теорема доказана.

П р и м е р

3.

Требуется исследовать на экстремум

функцию и =

= ж3 +

у ъ — 3ху.

Ее частные производные первого порядка и'х = Зх2 — 3у,

производные равны ихх = 6х,

иху = —3, иуу = 6г/. В точке М0

имеем А

=

= С = О, В — —3, D — —9 и экстремума в этой точке нет.

В точке

Мг

имеем А = С = 6, В — —3, D =

27 и функция имеет минимум, равный / (Мх) =

значения разных знаков, а в самой точке и =

0.

П р и м е р 5. и — X*

уі. В точке х„ =

у 0 — 0, где D = 0, функция

имеет минимум, потому что в любой окрестности этой точки и

0 , а в самой

точке и = 0 .

экстремума функции любого

П р и м е ч а в и е. Достаточное условие

числа переменных состоит

в том, что второй дифференциал

этой функции

u ~ f ( x , у)

(80)

направляющей

же служит

кривая,

определяемая уравнением

<р (х, у) = 0 в

плоскости

Оху. Если

линия пересечения этих

поверхностей имеет внутреннюю точку с наименьшей

или

с наи­

большей аппликатой, то имеет место относительный

экстремум.

П р и м е р 1

. Функция и =

ж2 — у2 абсолютного экстремума не имеет,

но при условии у

= 0 она имеет

относительный минимум,

а при

условии

X = 0 она имеет относительный максимум в точке хп у п =

0.

u = f(x, у{х)) и Ф (ж, у (ж)) = 0.

(81)

Дифференцируя первое равенство по х, получим u'x =

fx + 'Уу'.

Эта величина

равна нулю в точке М 0, потому что по

условию

в этой точке

функция (80) ймеет относительный экстремум

/; + / > ' = 0.

(82)

относительно ж, верное, в частности,

при х 0:

Чх + ЪѴ' = о .

(83)

тельный множитель к. А именно умножим равенство (83)

на к

и, сложив

с (82), получим

fx + Wx + (fy + k % )y '=

(84)

Величину

к

выберем из

условия

f ’y + кц>'у = 0.

Тогда из

(84)

следует,

что

/(. + ксрх =

0.

Система

уравнений

(относительно

X, у я к)

f ’x + b ф* = 0,

/^ +

А,ср; =

0,

ср(х, у) = 0

(85)

представляет

необходимое

условие

относительного

экстремума.

В точке М 0 (х 0, у 0), где имеет место

относительный экстремум,

условия

(85) выполнены. Поэтому для нахождения

точек «подо­

искомых

точек.

в левых частях равенств (85)

стоят частные про­

Заметим, что

изводные

функции

Ф(х, у, k) = f(x, у) + кц>(х,

у),

(86)

ф ; 0, Фу = 0, Ф( = 0,

(87)

найдены точки Мк (хк,

ук), «подозрительные» на

экстремум,

4) выяснить наличие или отсутствие экстремума в

точках М к

путем дополнительного

исследования.

ция и = f

(xlt

. .

хп)

и условия связи

(рк (хх,

. . .,

хп) = 0

(к = 1, . .

., т < и ),

то

функция

Лагранжа

имеет вид

Ф = / + ^іфі +

• • • + ктц>т.

(88)

Необходимое условие экстремума представляет система

урав­

нений (относительно п +

т неизвестных х ъ . . .,

хп,

к г, .

. .,

кт)

Ф і,= 0 , ...,

ф ;п = 0,

Фя, = 0, ... ,

Фят = 0.

(89)

П р и м е р

2.

Для

исследования

функции и =

ху

на

экстремум

при

условии X +

у =

а

составим

функцию Лагранжа Ф =

ху +

X (х +

у

— а)

и напишем необходимые условия экстремума

Фі = г/+^ = 0,

Фу = х-{-К — 0, Ф{ = х-\-у —а — 0.

^

а тт

Следовательно, экстремум может быть лишь в точке х0 — у 0 =

—. По смыслу

а2

потому что при

задачи имеем в этой точке относительный максимум и = -г - ,

4

, т. е.

и(х„+ Ах, у 0 + Ау) < и (ж0, уо).

(1)

содержащая приближенные значения величин х и у.

Для нахождения функции у = f

(х)

табличных

данных (1)

недостаточно, но можно поставить вопрос о нахождении функ­

ции,

приближенно

представляющей

/ (х),

причем

это

при­

ближение должно

быть наилучшим

в каком-то смысле,

т. е.

должно удовлетворять

некоторому

условию.

Возможна различ­

ная постановка вопроса о наилучшем приближении

функции.

Рассмотрим

некоторые

из них.

138.

Интерполяционная формула Лагранжа. Дана таблица (1).

Требуется найти многочлен Ln (х) степени п, принимающий в точ­

ках

х 0, х х,

. . ., хп соответственно

значения

у 0,

у 2, . . ., уп\

L n{xk) = yk при к = 0,

1, ... ,

п.

(2)

Геометрическая постановка вопроса

такова — требуется

найти

многочлен, график которого проходит через точки,

координаты

которых заданы таблицей (1).

в

виде

Запишем

искомый

многочлен

L n{x) = c0(x —x1) .. . [х — хп) + сх (х — х0)( х ~ х2) . . . (х — хп) +

+ . . . + С п(х — х0)(х — хг) . . . (х — хп_г),

3

( )

где

с0, сх,

. . ., сп — неопределенные

коэффициенты.

Полагая

в (3) последовательно

х = х0, х

=

х г, . . .,

х = хп,

получим

согласно (2) систему

равенств

иа =

=

+

=

(9)

и'ъ = 2

2 (axé+ 6— ук)= 2а 2 х* -f 2 (га

1)6 — 2

*/* = О,

где индекс суммирования А изменяется от 0 до п.

системы

Введем обозначения для коэффициентов полученной

уравнений 2 Х1 =

Iх , x h 2 х* =

Ы , 2 z/fe == Ы , 2 хкѴп =

tx>ÿl.

Эти постоянные могут быть найдены непосредственно по

исход­

ным данным (1).

системе

Необходимые условия экстремума (9) приводят нас к

двух алгебраических уравнений с известными постоянными

коэф­

фициентами

[X,

х]а -г {х)Ъ=[х, у],

[х]а + (і-{-іі)Ъ=-[у},

(10)

которая называется нормальной

системой

метода

наименьших

квадратов.

а0,

b = Ъ0 — решение системы (10). Можно дока­

Пусть а =

нений и (а0, Ь0). Эту эмпирическую

формулу

можно

улучшить

так, чтобы уменьшилась сумма квадратов уклонений.

Для этого

положим

у = а0х + Ь 0 + сц>(х),

(И)

где с — искомый коэффициент, а ф (х)

— любая

данная функция

(например, х 2 или sin х), удовлетворяющая

условию 2 ф2 (хк) ^

Ф 0. Составим сумму квадратов уклонений функции (11)

П

П

V (с) = 2 К х* + &о+ сф Ы —г/*]2= 2

[ссры + 8*]2-

h=o

h-o

этого составим необходимое

условие экстремума

П

= 2 2 и

ы + гк\ ф ы = о,

h=о

из которого следует, что с = с0 = —

При этом

Z.ф2(**)

у =

а 0х +

&о +

с0 ф (ж).

сумма квадратов

уклонений

меньше

Если

с0 ф. О,

то новая

прежней:

ѵ (с0) •< и (а0, 60). Действительно,

ѵ" =

2 ^

фа (^) > 0 ,

поэтому

V (с)

в точке с0 имеет именно минимум.

Других

точек

экстремума функция

ѵ (с) не имеет, при с =

0 она имеет значе­

ние

V (0)

=

и (а0,

b0).

Отсюда следует

наше утверждение.

Процесс улучшения эмпирической формулы может быть про­

должен

по

рассмотренной

схеме путем

добавления

новых

сла­

гаемых.

140.

О

равномерном

приближе­

нии

функции многочленом. Иногда

целесообразна

постановка вопроса о

наилучшем

приближении в

смысле

равномерного

приближения.

Пусть дана функция

/ (х). Гово­

рят,

что

функция

ф (х)

в

проме­

жутке

[а,

Ъ\

равномерно

прибли­

жает

функцию /

(X) с точностью до

е, если

для

всех

х из

[a,

b]

выпол­

нено

условие |/ (х) —

ф (х) I

<Г е.

Тейлора

Тп (х)

Можно

доказать (см. п. 216), что многочлен

функции / (х) при достаточно большом

п

равномерно

прибли­

жает / (х) в промежутке \х

— х 0| <; г, если

/ (х)

имеет производ­

Ниже сформулирована более сильная теорема

(налагающая

меньшие требования на функцию) о равномерном

приближении

функции многочленом.

в промежутке

Теорема Вейерштрасса. Если f (х) непрерывна

[а, 6], то для любого е

> 0 существует соответствующий много­

член Рп (х) такой,

что для всех х

из [а,

б]

выполняется условие

I f ( x ) - P n(x )\< z .

(12)

Геометрически

условие (12)

означает,

что график функции

Рп (х) не выходит

из

пределов

полосы

(рис. 96)

многочленов

создана П.

Л. Чебышевым *.

Способ

построения

многочленов,

равномерно приближа­

ющих данную непрерывную / (х), был

предложен в частности