книги из ГПНТБ / Сахарников Н.А. Высшая математика учебник

часть равенства (2) численно равна угловому коэффициенту хорды АП, а пра­ вая часть — угловому коэффициенту касательной в точке С. Из равенства угловых коэффициентов вытекает равенство углов наклона хорды и касатель­ ной и параллельность этих линий (рис. 24).

Формула (2) называется формулой Лагранжа, или формулой конечных приращений. Из нее непосредственно следует соотноше­ ние

Заменив здесь а на х0, b на х, Ъ — а на х — х0, получим

Обозначив Aх = х —х0, Ay —f(x) — /(х0), получим

Формулы конечных приращений (3), (4) и (5) показывают, что

приращение функции равно произведению соответствующего при­ ращения аргумента на значение производной в некоторой средней точке.

Промежуточное между х 0 я х значение аргумента с в формулах {4) и (5) можно представить в следующем виде:

член этого неравенства буквой Ѳи мы прямо отсюда выведем соот­ ношение (6).

об односторонних производных), то в этом промежутке функция

/(х) постоянна.

До к а з а т е л ь с т в о . По условию функция /' (х) диф­ ференцируема в [а, 6], и поэтому она непрерывна (см. п. 28).

Функция / (х) удовлетворяет всем условиям теоремы Лагранжа в промежутке [а, х], где х — любая фиксированная точка про­ межутка (а, 6]. Формула Лагранжа (4) для функции / (х) я про­ межутка [а, х] имеет вид

/(*) —/(«) = /'(с)( х — а) .

Здесь по условию /' (с) = 0, и поэтому справедливо равенство / (х) = / (а). Оно имеет место для любого рассматриваемого х. Следовательно, функция / (х) сохраняет в промежутке [a, b] постоянное значение, равное / (а).

Встречается другая формулировка следствия — если производ­ ные двух функций тождественно равны в некотором промежутке, то сами функции либо равны, либо отличаются постоянным слагаемым.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Из третьего условия теоремы сле­ дует, что g (а) Ф g (b), в чем можно убедиться рассуждением от противного. Действительно, если g (а) = g (b), то, по теореме Ролля, примененной к функции g (х) (здесь выполнены все усло­ вия теоремы Ролля), получается, что g' (сД = 0 в некоторой внут­ ренней точке сх промежутка (а, Ь). Но это противоречит третьему условию теоремы.

Рассмотрим вспомогательную функцию ф (ж) = f (ж) + 'Я g (ж), где Я — число. Функция ф (ж) удовлетворяет первым двум усло­ виям теоремы Ролля при любом к как сумма Двух непрерывных и дифференцируемых функций. Она удовлетворяет третьему

Рассмотрим прежде всего случай отношения бесконечно малых. Теорема Лопиталя.* Предел отношения двух бесконечно малых

Необходимым условием для истинности какого-либо предложе­ ния называется всякое условие, без осуществления которого это предложение заведомо неверно.

П р и м е р 1. Для делимости числа N на 6 необходимо, чтобы а) число N было целым, б) число N было четным. Каждое из этих условий является не­ обходимым условием для делимости N на 6.

Достаточным условием для истинности какого-либо предло­ жения называется всякое условие, из которого следует, что это предложение верно.

П р и м е р 2. Для делимости числа N на 6 достаточно, чтобы число N делилось на 12, или, чтобы число N делилось на 6к, где к — любое натуральное число.

В нашем примере речь идет о математическом предложении «число N делится на 6». Это предложение может быть истинным (верным) или неверным в зависимости от числа N. Если выполнено

являющееся необходимым и вместе с тем достаточным для истин­ ности рассматриваемого предложения. Необходимое и достаточ­

Из определения следует, что понятие экстремума носит локаль­ ный характер в том смысле, что в случае экстремума неравенства

(5) и (6) не обязаны выполняться для всех значений х в области определения функции, а лишь в некоторой окрестности точки х 0 (за исключением х 0).

В случае максимума график функции имеет вершину, и точке максимума х 0 соответствует ордината / (х0), наибольшая среди соседних ординат. Очевидно, функция может иметь несколько максимумов и несколько минимумов, причем иной максимум может быть меньше другого минимума. На рис. 25 / (ж0) < / (я3).

Наибольшее значение функции в промежутке [а, Ъ] — это не обязательно наибольший из максимумов; это может быть значение функции на границе промежутка, например в точке х = Ъ (см. рис. 25).

П р и м е ч а н и е . Если функция имеет в точке х0 экстремум, например минимум, то это еще ие значит, что справа от хп функция возрастает, а слева убывает. Это показывает следующий пример, в котором х0 есть точка сгуще­ ния экстремумов. Пусть функция задана равенствами

ности точки х0 (но не в самой точке х0) непрерывна и меняет знак бесконечно

мулировка теоремы Ферма, все условия которой здесь выполнены, а поэтому имеет место и ее заключение.

Для дифференцируемой функции / (х) условие (8) является необходимым условием экстремума. Но функция может иметь в точке экстремум и не быть в этой точке дифференцируемой. На рис. 21 показан график такой функции. Следовательно, необхо­ димо, чтобы в точке экстремума производная функции либо не существовала, либо была равна нулю.

Заметим, что условие (8), будучи необходимым условием экст­ ремума дифференцируемой функции, не является достаточным условием экстремума. Это показывает пример: функция у = х3 не имеет экстремума, но ее производная равна нулю в точке х 0 =

на нулю, а в точке х%бесконечна; причем сама функция в этих точках опре­ делена.

* Аналогичный пример рассмотрен в работе И. П. Привалова и С. А. Гальперна «Основы анализа бесконечно малых».