Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Сахарников Н.А. Высшая математика учебник

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.10.2023

Размер:

24.22 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 486 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Механическое значение производной установлено тоже в п. 27: скорость прямолинейно движущейся точки есть производная от

пройденного пути по времени.
Если	слово «скорость» понимать в б о л е е ш и р о к о м
с м ы с л е,	то можно производную всегда интерпретировать как не

кую «скорость». Пусть дана функция y — f(x). По аналогии с п. 27 средней скоростью изменения у по сравнению с х при изменении х

на величину	Да; можно считать отношение ѵ,ср				Ду	Скоростью
					Ах
изменения у	при	данном	значении	х естественно	назвать предел
этого отношения		при стремлении		Да: к нулю: lim vcp= lim
				Ах^О		Ах^0^Х
т. е. как раз производную от у по х.
Из определения производной вытекает схема ее вычисления.
Пусть дана функция у =			/ (х). Фиксируем х, даем независимой
переменной х приращение			Ах, находим соответствующее прираще
ние функции Ау — / (х +			Да:) — / (а:). Составляем отношение Ду

к Ах. Находим предел этого отношения и получаем в соответствии

с формулой	(3) производную.
П р и м е р	1.	Если у =	с, то Ау =	0,	Аѵ	0 и у' =	0.	Следователь
					■— =
но, производная постоянной равна нулю.					Ах и у' — 1.
П р и м е р	2.	Если у =	х, то Ау =				Ах) — sin х =
П р и м е р	3-	Если у = sin х,		то	Ау = sin (х +
Используя непрерывность cos х и формулу (12) п. 16, получим
у' = 2 lim — .			2 • lim cos ( *+ -^Л = cos х.
		Ах^о	Длг-ѵо		\	^ >
Теорема	(о	непрерывности		дифференцируемой				функции).

Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она в этой точке непрерывна.

Пусть в точке х0 данная функция у = f (х) имеет производную

/' (х0). Требуется доказать, что в этой точке функция непрерывна,

т.е. выполнено условие: Ау -> 0 при Да: ->- 0.

До к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим Ах = х — хй и соответ

ствующее		приращение	функции Ду — f (х) — / (а:0). По теореме
о	пределе произведения ограниченной величины на бесконечно
малую при Да: 0 имеем
		Ау =	• A x-> f (х0) *0 = 0,
и	теорема	доказана.

П р и м е ч а н и е . Обратное утверждение неверно, что показывают примеры.

П р и м е р

у — I X |

есть функция, непрерывная в

точке XQ = 0.

По она но имеет производной в этой точке. Существует производная справа

(т. е. при Ах

0) /' (+0) =

lim — =

1 и производная слева (т. е. при Дж <; 0)

/' (—0) =

_\х

= —1, но они не равны между собой.

lim

П р и м е р

Кривая растворимости сернокислого натрия Na2S04

имеет вид, изображенный на рис. 21. По оси ординат отложено процентное

содержание соли в растворе. При температуре Ѳ4 касательная слева не

совпадает с касательной справа.

29.

Основные

правила

дифференцирования.

Пусть

и (х) и

V (X) — дифференцируемые

функции.

1. Постоянный множитель можно вынести за знак производной:

(си)’ =

си'.

(4)

Действительно,

пусть

у = си(х),

где с—постоянная. Приращению неза

висимой переменной Да: соответствует

приращение функции Ду

Au.

По

этому A3? = с A3?

после

перехода

в этом

равенстве

пределу

при

Дж->0

получим

равенство

(4):

в,

Н т Aÿ

с lim

= си' (х)

Рис. 21.

л*-о Дж

л^о

Ѵ'

Производная суммы двух дифференцируемых функций суще

ствует и равна сумме их производных:

(и + ѵ)' = и' + ѵ'.

(5)

Пусть

= и (х) + V (х).

Тогда

Ду = и (х + Ах) + ѵ (х + Ах) —

— и(х) — и (х) =

[и (х +

Ах) — и (я)] -Г [у (ж + Ах) — ѵ (ж)] = Au + Ду.

Поэтому

A3/

ілСС

f -

и после перехода в этом равенстве к

пре-

делу при

A3/

(5).

Ах-х-0

получим равенство

П р и м е р 1. (жз-f-sin ж)'= (ж2)'-ф (sin ж)'= 2ж + cos ж.

Правило дифференцирования суммы двух слагаемых распро страняется на случай алгебраической суммы любого конечного числа слагаемых, что доказывается аналогично.

3. Производная произведения двух дифференцируемых функций существует и равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго, т. е. имеет место формула

(иѵ)‘ = и'ѵ -\-иѵ\

(6)

Пусть у — и (х) V(х). Тогда Дг/ — и (ж + Дж) ѵ(ж + Ах) — и(х)ѵ (х).

Здесь и(х + Аж) =~ц(х) + Au, и (ж + Дж) = и (ж) + Ди. Следова тельно, Дг/ = VДи -f- и Au 4 Au • Au и

* 1» P* Aw	I Au	»	Aw * I	f, , f
? -= І Г „ №	" + “ ^	+	і Г ЛС	= “ і’ + “1'-

Третье слагаемое в квадратной скобке стремится к нулю, по тому что величина ограничена (как переменная, имеющая

предел), а Au — бесконечно малая (что следует из дифференци руемости ѵ).

П р и м е р 2 - ( ж 2 s i n х ) ' = ( х 2 ) ’ s i n ж - j - x ï ( s i n Х У = 2 ж s i n х Щ х 2 c o s х .

Производная

частного

двух

дифференцируемых

функций

и (х) и

и (х)

при V (х)

=h 0 имеет следующее выражение.-

(т У

_ _ и

и — и V

( 7 )

Пусть г/ = — . Тогда Ау

и 4 - А и

и A u — и А ѵ

И п оэтом у

y+ Ди

и(п + Ди)

\ ^ - ѵ - -u Av'

у' — lim

[u (u

Au)] --- u

' v

— u v ' ,

так

как

Ди

стре

A^ O LA*

A x

мится к нулю вместе с Дх, что следует из дифференцируемости ѵ.

Пр име р

3• ( —

‘ X C O S X — S i n X

)'■

Производная

сложной

функции у = /

(<р (х)),

составленной

из дифференцируемых функций у — / (и) и и =

<р (ж), существует

и равна произведению производной внешней функции / (и) по проме

жуточному аргументу и на производную этого аргумента по неза

висимой

переменной х

У х ~ У и ‘ ^ х .

( 8 )

Выведем формулу (8). Имеем у = / (и) и и =

<р (х). Фиксируем

ж, даем независимой переменной х приращение Дх.

При этом и

получит приращение Ди = <р (х + Дх) — ф (т),

а у получит соот

ветствующее

приращение Дг/ = / (и +

Ди) — / (и).

Из

равенства

у'и = lim

следует, что —

г/û +

и Дг/ — i/ÛAu +

аДи,

где

Au-*О &U

Ли

переменная а бесконечно мала при Ди -> 0. Заметим сразу же, что при стремлении Дх к нулю будет стремиться к нулю как Ди (что следует из дифференцируемости и), так и переменная а. Величина

ограничена как переменная, имеющая предел. Поэтому полу

чим

П р и м е р	4.	у = sin х2 есть тригонометрическая функция от степен
ной и по формуле		(8) имеем у' — cos х2 (х2)' = 2х cos х2.
II р и м е р	5.	у = sin2 Xесть степенная функция от тригонометрической,
и поэтому у’ =	2 sin X (sin х)’= sin lx‘.

Производная

о б р а т н о й

функции.

тео

рема позволяет найти производную обратной функции, зная произ

водную прямой функции.

у =

/ (ж)

Теорема. Если строго монотонная в [а, Ъ] функция

имеет при некотором значении х 0

отличную от нуля производную,

то обратная функция х =

ф (у) имеет в соответствующей точке-

у0 производную

х у,’

равную

единице,

деленной

на у х:’

(9)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Обозначим

через

Дж и

Ду

соответ

ствующие приращения х и у, т. е.

Дж =-- ср (у0 -}- Ду) - ф(у0),

Ду --=f {х0+ Дx)—f(xe).

Заметим, что Ду вызывает приращение Ах,

но можно считать

и наоборот, что Дж вызывает приращение Ду.

Оба эти прираще

ния отличны от нуля

и мы имеем

= -д- .

Перейдя

этом

равенстве к

пределу при

стремлении

Ах

Ду к нулю (заметим, что

Ах и Ду вместе стремятся к нулю

(см. п. 25)),

получим

фор

мулу (9)

Ах

= lim

AJL

Ді/->-0

Âÿ

lim

Ух '

Дл:-*0

Ах

П р и м е р

Пусть у =

V х. Обратная функция х =

у 2 имеет произ-

водную

х’у =

2у.

По

формуле

(9)

если

имеем уV= — =

-----7=-,

Ух

2у

2 Ÿ x

Правило дифференцирования функции, з а д а н н о й

п а

р а м е т р и ч е с к и .

Пусть

зависимость у от х не задана

непо

средственно, а вместо этого задана зависимость обеих переменных

ж и у от некоторой третьей, вспомогательной, переменной (называ

емой параметром): ж =

ж (t), у

== у

(t)

при а

t <

ß. Предполо

жим, что функция X =

ж (t)

имеет

обратную

функцию t —

t (ж).

Тогда,

очевидно, у является функцией от

х:

у — у (t (ж)) =

/ (ж).

Если функции ж (t), у (t) и t (ж) имеют производные, то и функ ция / (ж) имеет производную. Действительно, по правилу дифферен цирования сложной функции имеем у'х = y r t’x, где (согласно пра-

вилу дифференцирования обратной функции) tx = — . Поэтому

х(

при x't=h 0 получаем окончательно

П р и м е р	7-	Функция у	(х)	задана	параметрически: х = г cos t,
у = г sin t, где	г	— постоянная.	По формуле (10) получаем
		( r s i n t ) ' t	___	г cos t	___	X
		Ух = ( Г COS i ) ’t	~~	-г sin t ~		У '

Желая исключить параметр t, лозводнм оба данные равенства в квадрат и результаты складываем. Получим уравнение х2 + у2 = г2, из которого

найдем явную зависимость у от х: у = ± У г2 — х2. Дифференцируя эту

функцию по X, придем к прежнему результату у'х = -----—= — — .

30. Основные формулы дифференцирования. Приведем таблицу производных, содержащую основные формулы дифференцирования:

У = с,

у '

— 0;

у = хт,

г/ — тхт~1,

2а)

у = х,

у' — і,

26)11 = 4 ,

2в ) у = Ѵ^>

у ^ а х,

у’ = ах \па,

За)

у = ех,

у"

е х;

y = \ogax,

у'

4а)

г/ - In ж

у*= — ;

ÿ = sina;,

у’ =

г/=^ cos ж;

у '

== —

у — igx,

у’=

COS2 X

г/= ctg ж,

у' = —

sin2 X

у ~ arcsin ж,

у *~- Т і - х 2

10.

г/^arcco sж,

г/' = -

V 1 — X2 ’

11.

г/ = а г ^ ж ,

г/'

12.

г/ = а гс ^ ж ,

у* = ■

•

1 + Х2 ’

1 + Х2

Вывод основных формул дифференцирования помещен ниже.

Т р и г о н о м е т р и ч е с к и е ф у н к ц и и .

Производная

си

нуса выведена в и. 28. Представим у =

cos ж в виде у = sin ^ -----ж^

и в соответстви с правилом дифференцирования сложной функции получим

У	: COS I		-Sin X .
Производную	функции у = tg ж		sm X получим	по правилу
дифференцирования дроби			COS X
дифференцирования дроби
(sin г ) 'cos X —sin X(cos х)'			cos2 хф-sin2 х _
У =	COS2 X		COS2 X	COS2 X
Пусть у = ctg ж = tg		— ж) » тогда
			1

ÿ' = cos~2 (-у —ж) •(-!— Æ) :

Л о г а р и ф м и ч е с к а я					ф у н к ц и я .		Пусть	y = loga;£,	где
0 < а Ф 1.			Тогда	&у = loga (х -f Ах) — logax = loga ( l + ^ - ) • С по
мощью формулы (10) п. 26 получим
il	,		v log“( 1 + ^ )		1 г	1(Ц	1 + Пг)	4
il		—lim ----- ------------= — lim				-------------------=		—,— .
			Дл'-*о	Дж	x Ax^o		A l	x l n a
							X
Следовательно, производная логарифмической								функции	у =
= loga X равна				единице,	деленной	на	произведение аргумента

этой функции и натурального логарифма основания. В частности,

если а = е,	то	у'	А
если а = е,	то	у'	= —.
		а	»
П р и м е р	1.	г/= ln sin ж,		(sin х )' = ctg X.
В более общем сл>^ае, когда г/==1пф(ж). по правилу диф-
ференцирования		сложной		функции получим у’ = —р - ф' (г). Ло-
				ф \Х)

гарифмической производной данной функции ц>{х) называется

производная	ее логарифма
				[1пф(ж)]':			ф' (*)				(И )
				[1пф(ж)]':			<р(ж)				(И )
							<р(ж)
П р и м е р	2-		Для	нахождения			производной функции у =				V -
целесообразно	предварительно				найти		ее логарифмическую производную,
т. е. производную		функции Іи у =				\
т. е. производную		функции Іи у =				— (ln sin х — ln х). Дифференцируя по
гг. получим - у	=	^	(ctg	* -	- і ) .
Умножив этот результат на у,						получим окончательно
				10 Г	-
П о к а з а т е л ь н а я					ф у н к ц и я .			Пусть	у	=	ах, где
1 Ф а > 0.	При		любом вещественном					значении	х	величина у

положительна. Вычислим логарифмическую производную данной показательной функции, т. е. производную функции In у = х In а;

получим —	=	In а. Умножив	на	у,	получим окончательный
результат:	у'	= ах In а. Если	при	этом	х = х (1), то
		y't — ах In а • x't.			( 12)

Следовательно, производная показательной функции равна про изведению этой функции на натуральный логарифм основания

ина производную показателя. В частности, если а = е, то In а =

=1 и у' = ехх '.

П р и м е р 3. у — ааіпх, у' = а*1п * lu а • cosæ.

Следовательно, «скорость» изменения показательной функции пропорциональна уже достигнутому значению функции у' = ку. Именно на этом свойстве показательной функции основано ее широкое использование в науке.

С т е п е н н а я ф у н к ц и я у — х™ (где те — любое веще ственное число). Область изменения х зависит от те; она была

указана	в п. 8.	При х Ф О имеем
	Лу _ (х -f- Ах)т — хт
	Ах		Ах		!±х
					X
Если воспользоваться			пределом (12)	п. 26, то получим
			у" = lim ■— = тех
			& Х - + 0 & Х
Если	х0 = 0,	то те 5s 0. При те = 0 имеем у = 1				и у’ = 0. При
те> 0 имеем Ау = (х0 -f Ax)m — х™ = (Ах)”1 и
	/ = 1 і ш ^ = 1іт(Д*Г> = ( °				”Р“ га > 1 '
	Ах->0 &Х		Ах-*о	( 1	при те =	1.
Если 0 < т е		< 1 ,	то в точке х0 =	0 производная бесконечна

Во всех остальных случаях существует конечная производная, равная у' = техш_1. Если х ~ ц>(t), то производная степенной -функции равна произведению показателя степени на степень с тем же основанием и уменьшенным на единицу показателем и на про

изводную основания:			y't = тхт~1-х\.		(13)

П р и м е р	4-	Если	у = E sin х, то	у' — —C°S—- .
П р и м е р	5.	Пусть	температура	2У sin X	газа
				данной массы идеального

постоянна. Обозначим ее объем ѵ, а давление р. Тогда, как известно, имеет

место зависимость	рѵ — рощ, где р0 и	ѵ0 — первоначальные значения дав
ления и объема.	Следовательно, ѵ =	- °' °	ir ѵ'п = ---- .	Величина ѵ’„
		р	н	р*

характеризует скорость изменения объема газа при изменении его давления. Производная оказалась отрицательной, что указывает на уменьшение объема при увеличении давления.

С т е п ен но - п ок а з ат е л ьн а я ф у н к ц и я : у = иѵ,гр,еи =

— и(х), ѵ = ѵ(х).	Здесь н (х )> 0, и поэтому у можно представить
■в виде y = é°lnu.	Дифференцируя у по х как сложную функцию,

получим
у’ =еѵ1пи (и ln и)" — u® ln и ■v‘ -f- vuv xu \	(14)

Отсюда следует правило: для того чтобы найти производную' степенно-показательной функции, надо ее продифференцировать как степенную функцию и как показательную функцию и резуль таты сложить.

П р и м е р 6. у = хх,		у' -~хх ln х-'г ххх~1= хх (Іа хЛ-1).
О б р а т н ы е т р и г о н о м е т р и ч е с к и е ф у н к ц и и .
Пусть у = arcsin х;		ее	область определения \|х \|			^ 1 . Обратная
функция есть х	= sin у.		По правилу дифференцирования обрат
ной функции,	при	\х\	< 1	получаем
Ух~	ХУ	Сosy		+ У і —Sin2j/	V	’

где перед корнем взят знак плюс, так как |г/|< 4 ц .

Пусть у = arccosх; ее область определения |ж |^ 1 . Из опре деления функций arcsin х и arccos х следует, что их сумма

равна —, поэтому	у = ~— arcsinх			и у' — ---- .......... при \|х\|-<1..
I		I			у	1 _	х 2
Аналогично для	у — arctgx		получаем при			\|х \|< о о
Ух =	=	cos2 у		1	1
			1 +	tg2 У	1 + * 2		■

Для y = arctgx	при	\|х \|< о о	получаем у* =				arcctgx^ =

~1 + з;2 *

31.Производные высших порядков. Производная /' (х) дан ной дифференцируемой функции / (х) сама есть функция перемен

ной X. Ее называют производной первого порядка. Если она имеет производную, то, дифференцируя ее, мы получим новую функцию,, которая называется производной второго порядка, или второй производной первоначальной функции, и обозначается так:

У"= (уУ-

(15)

Продолжая дифференцирование, получим третью производную и т. д.

О п р е д е л е н и е . Производной п-го порядка, или п-й производ

ной данной функции, называется производная	от ее производной
п — 1-го порядка
уш = (у(п~ѵУ.	(16)

Для производных высших порядков приняты обозначения:

г г ,У Уш , у'й\

или у , у У 1\ у \

Функция / (X) называется непрерывно дифференцируемой п раз,

если существуют ее производные до порядка п включительно и эти производные непрерывны.

П р и м е р 1. Если і/= sin лг, то у' = co s ж = sin

J , у"~ —sin х —

= sin (ж + я), т. е. дифференцирование sin ж приводит к прибавлению числа

я^

— к аргументу. Поэтому имеем

yin) == (sin ж)(п>= sin ^ж-j-ra

(17)

П р и м е р

Если ?/= а0хпц- щж"-1-!- . . . -|-ал, где а0, . . .,

ап—постоян

ные,

то

г/ = а0яж'г~1 + а1 (п — 1) жи-2+ . . . + ял_1.

Продолжая

дифференци

рование,

получим

г/(тг) =

я0 (я !), где

я ! =

1 • 2, . . .,

я.

П р и м е р

Пусть у = и [ х ) ѵ { ж). Применяя правила дифференцирова

ния

произведения

и суммы,

получим

у' — и'ѵ-\-мд',

г/" = а'Ѵ+2м'у'-|-ма".

Продолжая процесс дифференцирования, придем к следующей формуле:

(uv)w

С%и(п-Ѵѵ" +

. . . +

-f-C„u(n-Ä)i>(fe)-\-. .. -\-uv(n),

(18)

которая называется формулой Лейбница. В ней принято обозначение

п (п — 1)

. . . (я -

(19)

1 • 2

П р и м е р

Если и = ех, у = ж2, то,

по формуле

Лейбница, получим

(е*ж2)(2°> = ехх2

20е* • 2ж +

190е* • 2 = t* (ж2 + 40ж +

380).

§ 5. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО

ИСЧИСЛЕНИЯ

32.

Теорема Ферма.* Если функция / (х) 1) определена в некото

ром

промежутке (а,

Ь),

2) достигает в

некоторой

внутренней

точке

этого

промежутка

наибольшего

(или наименьшего) значения, 3) существует

конечная производная /'

(с), то эта производ

ная необходимо равна нулю: f

(с) = 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

По

условию в

точке с функция / (х)

достигает,

допустим,

наибольшего

значения.

Это

значит, что

Рис. 22.

выполнено неравенство / (с) ^

/ (х), а вместе

с ним

и неравенство

Ау — f (х) — f (с) ^ 0

для всех X из промежутка (а,

Ъ).

При х<с.с

имеем £±.х = х — с < 0

и -^ - ^ 0 . По условию в точке

с существует конечная производная. Поэтому получим

lim

= f (с —0) ^

д*-+-о м

При	х~р>с имеем	Ах==х — с > 0 и	-^-=s;0.	Следовательно,
И т 4 F = / '( C+ 0 )^ 0 .
Д-ѵ-*-т о ах			0 и /'	(с + 0) sc 0, за
Сопоставляя неравенства /' (с — 0) >
ключаем, что /' (с) =		0.
Геометрический смысл заключения теоремы состоит в том, что
касательная к графику функции / (х) в точке с				параллельна оси
абсцисс	(рис. 22).
П р и м е ч а н и е .		При доказательстве теоремы существенно исполь

зованы все ее условия. В частности, если бы наибольшее (или наименьшее) значение достигалось не во внутренней точке, а на границе промежутка (а, Ь), при соблюдении условия существования производной (конечно, односторон ней) в этой точке, то обращение этой производной в нуль могло не иметь места.


	П р и м е р.			Функция		у =
= sin X в		промежутке 0 ^			х ^	я/2 ^
достигает		в	точке х0 = 0		наимень
шего значения,				но ее производная в
этой	точке		не	равна нулю:
у'й =	cos 0 = 1 .

33.Теорема Ролля*. Если

функция		f (х) 1)	непрерывна		0
в	замкнутом		промежутке			Рас. 23.
la, b], 2) дифференцируема по
крайней мере в открытом про					на	концах промежутка	равные
межутке		(а, Ь), 3)	принимает
значения		f (а) = /	(Ъ),	то внутри		промежутка (а,	Ъ) суще
ствует точка с такая,				что
				/* (с) == 0.			(1)

Геометрическое содержание теоремы Ролля состоит в том, что если выполнены условия теоремы, то внутри промежутка (а, b) существует хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции параллельна оси абсцисс (рис. 23).

Алгебраическое значение теоремы таково: между двумя кор нями дифференцируемой функции имеется корень ее производной (хотя бы один). Под корнем функции мы понимаем значение аргу мента, при котором эта функция обращается в нуль.

Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы Р о л л я . По теореме Вейерштрасса (см. п. 24), функция / (х) (непрерывная в замкну том промежутке) достигает в этом промежутке своего наибольшего значения q и своего наименьшего значения р. Пусть эти значения функции достигаются соответственно в точках с2 и с1 промежутка

Іа, Ъ),	так что / (сД =		р, f (с2) =	q. Возможны только два случая.
С л у ч а й		1. Обе точки с1 и		с2 совпадают с концами проме
жутка	\а, Ь].	Тогда	из третьего	условия	теоремы следует, что
р = q	и что функция		/ (х) постоянна в		[а, Ь]. Следовательно,

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 486 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ