книги из ГПНТБ / Сахарников Н.А. Высшая математика учебник

В случае разрыва первого рода в точке хп разность / (х0 -j- 0) — j (хй—0) называют величиной скачка функции / (х) в точке х0.

23. Свойства непрерывных функций.

Теорема 1. Сумма, разность, произведение и част}іое двух функций, непрерывных в точке х 0, также являются функциями, непрерывными в точке х 0 (в случае частного предполагается, что знаменатель не обращается в нуль в этой точке).

Доказательство основывается на теореме об арифметических действиях над функциями, имеющими пределы. Так, если функции и (х) и V (X) непрерывны в точке х 0, то для каждой из них выпол­ нено условие (1), и по теореме о пределе суммы имеем

lim [и (х) -f- и (ж)] == lim и (х) ~j- lim v(x)~^u (х0) -f- v (а:0).

в точке х 0, потому что для нее выполнено условие (1). Аналогично доказывается непрерывность разности, произведения и частного.

Теорема 2. Все основные элементарные функции непрерывны там, где они определены.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Степенная функция у = хп с нату­ ральным показателем п непрерывна при любом х, так как по теореме 2 п. 15 имеем

lim хп = (lim х)п = хп.

X - + X Q X - * X Q

Целая рациональная функция непрерывна при любом х, что прямо следует из теоремы 1.

Дробная рациональная функция непрерывна всюду, где знаме­ натель не обращается в нуль, что также следует из теоремы 1, принимая во внимание непрерывность многочлена.

Непрерывность тригонометрических функций sin х и cos х имеет место всюду, что доказано выше (в и. 21); tg х и ctg х не­ прерывны всюду, где эти функции определены как отношения двух непрерывных функций sin х и cos х.

Можно доказать непрерывность и других основных элементар­ ных функций в соответствующих областях.

Непрерывность х — ф (t) в точке t0 означает, что при стремле­ нии t к t0 величина Ах стремится к нулю, а следовательно, х стремится к х 0. Из непрерывности у = f (х) ъ точке х 0 следует, что при стремлении х к х 0 величина Ау стремится к нулю.

Следовательно, если t стремится к t0, то стремится к нулю соот­ ветствующее приращение Ах «внутренней функции» х = ф (t), а вместе с ним и соответствующее приращение Ау, что и означает

24. Свойства функций, непрерывных в замкнутом промежутке.

Эти свойства ниже сформулированы в виде теорем, которые мы приводим без доказательства *.

Пусть функция у = / (х) непрерывна в промежутке [а, 6]. Это значит, что она непрерывна в каждой внутренней точке про­ межутка и что на концах промежутка имеет место односторонняя

наибольшего и своего наименьшего значений, т. е. существуют

Глава I I

ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ФУНКЦИИ

§ 4. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ

Производная является важнейшим понятием математического анализа, основным понятием дифференциального исчисления. Это понятие возникло как результат многовековых усилий, на­ правленных на решение задачи о касательной к данной кривой, задачи о скорости неравномерного движения и некоторых других задач. Подобные задачи интересовали математиков с давних вре­

путь s, отсчитываемый от определенной точки прямой, есть функ­ ция времени t. Движение считается заданным, когда известно уравнение движения: s = f (t). В частности, в случае равномерного движения s — линейная функция времени: s — s0 + vt, где v — постоянная.

Требуется найти скорость движущейся точки. Вместе с тем надо выяснить смысл самого понятия скорости в данный момент времени для случая неравномерного движения.

* Исаак Ньютон (1642—1727) — английский математик и физик. Гот­ фрид Вильгельм Лейбниц (1646—1716) — немецкий философ и математик.

Ньютон и Лейбниц — создатели дифференциального и интегрального исчи­ сления.

Рассмотрим два момента времени t и t + A t. Моменту времени t соответствует положение точки М и пройденный ею путь, равный

меньше At. Поэтому правильное представление о скорости движе­ ния дает предел средней скорости при стремлении At к нулю.

Скоростью V точки в данный момент времени t называют предел

Мы получили предел отношения приращения функции к соот­ ветствующему приращению аргумента при стремлении At к нулю. Пределы такого вида часто встречаются в математике и ее прило­ жениях. Они называются производными. В данном случае речь идет о том, что скорость движущейся прямолинейно точки есть производная от пути по времени, что обозначается символом и = s't.

З а д а ч а о с к о р о с т и х и м и ч е с к о й р е а к ц и и . Предположим, что некоторое вещество вступает в химическую

будет соответствовать приращение AQ величины Q. Отношение^

выражает среднюю скорость химической реакции за промежуток времени длиною At. Предел этого отношения при стремлении At

представляет среднюю теплоемкость тела в промежутке темпера­ тур между Ѳи Ѳ + АѲ. Но теплоемкость, вообще говоря, меняется

при изменении ДѲ. Под теплоемкостью тела понимают величину

с = lim Итак, можно сказать, что теплоемкость есть произ- дѳ-о

водная от количества тепла по температуре.

З а д а ч а о к а с а т е л ь н о й к д а н н о й к р и в о й .

Касательной к кривой в данной ее точке М 0 называется предельное

Для этого возьмем на кривой точку М 0 (х0, у 0) и близкую к ней точку М (X, у). Проведем секущую М 0М и обозначим через а угол

наклона секущей. Согласно построению (рис. 19) имеем tga =

щ е В М = А М - AB = f ( x ) - f ( x 0) = Ay, М 0В =---СА = О А - ОС = = X — х 0 = Ах.

Следовательно, tg a = -^|-. Если те­

Следовательно, угловой коэффициент касательной еотъ про­ изводная от ординаты по абсциссе.

Пр и м е р 2. Пусть у = хг. Тогда Ду = 2х0 Дж + (Az)I2,&* где х0 — абс­

цисса точки касания М0. Следовательно, »

&= 1іт р г ~ = lim (2ж0-}-Дж) = 2жо. Дх-»-о Д2" Д*-*о

отрезок OB пополам. Таким образом, для построения касательной к параболе у == х%в точке С достаточно разделить пополам отрезок OB п его середину соединить с точкой касания.

28. Понятие производной функции. Если сопоставить опера­ ции, которые были выполнены при решении задач п. 27, и отвлечься от различия в истолковании переменных, то мы увидим, что каж­ дый раз приращение функции делилось на приращение независи­ мой переменной и затем вычислялся предел их отношения. Так мы приходим к основному понятию дифференциального исчисления — к понятию производной.

Пусть функция у = / (х) определена в некоторой окрестности

з а в и с и м о й п е р е м е н н о й х п р и д а н н о м з н а ч е н и и х0 (или в данной точке х0) называется конечный предел отношения

Для обозначения производной приняты следующие символы:

справа (или слева), то он называется производной справа (соответ­ ственно производной слева). Такие пределы называются односторон­ ними производными.

Операция (действие) нахождения производной функции назы­ вается ее дифференцированием. Функция f (х) называется диффе­ ренцируемой в точке х0, если она имеет в этой точке производную. Функция / (х) называется дифференцируемой в промежутке, если она имеет производную в каждой точке этого промежутка. При этом, если промежуток от а до Ъ замкнутый, то на концах проме­ жутка речь идет об односторонних производных.

Геометрическое значение производной установлено в п. 27: производная функции f (х) в точке х0 численно равна угловому коэффициенту касательной к графику функции у = f (х) в точке М 0 с абсциссой х0. Чем «круче» график функции, тем больше | <р |, Itg фI и \у'\. Из геометрического смысла производной следует, что если производная в каком-либо промежутке положительна, то сама функция в этом промежутке возрастает; если же производ­ ная отрицательна, то функция убывает.