книги из ГПНТБ / Сахарников Н.А. Высшая математика учебник

логарифмируя по основанию е тождество х = а]оеах , получим равенство In х — ln a-log0 х. При х = е это равенство дает

1

logaе (18)

In а

При а — 10 то же равенство дает In х — In 10 - lg х и

Формула (19) связывает натуральные и десятичные логарифмы и показывает, что эти логарифмы прямо пропорциональны один другому. На рис. 14 изображены графики логарифмических функ­ ций при основании 10 и е. Число М называется модулем перехода от натуральных логарифмов к десятичным: М — lg е ^ 0,43429,

2,30258 • 0,30103 ; 0,69315.

18.Задача. Пусть некоторое вещество, начальная концен­

трация которого равна с0, вступает в химическую реакцию. Со временем концентрация этого вещества убывает; обозначим через с (t) его концентрацию в момент времени t, отсчитываемый от начала реакции. Требуется найти величину с (t) при условии, что концентрация изменяется со скоростью (обозначим эту ско­

где к — данное положительное число. Равенство (20) есть пример так называемого дифференциального уравнения (см. гл. XIII).

Р е ш е н и е . Фиксируем любое положительное t и разбиваем мысленно промежуток времени от 0 до t на п элементарных частей,

значению в начале соответствующей части. Согласно этому пред­ положению величина с' изменяется скачками в начале каждого элементарного промежутка.

Вычислим при этом предположении концентрацию, которую будет иметь вещество к концу каждого элементарногоЧіромежутка.

В первом промежутке от £0 = 0 до Ч = ~ скорость с' постоянна

По условию задачи скорость концентрации убывает не скач­ ками, а непрерывно. Поэтому для получения точного ответа надо устремить п к бесконечности; при этом длительность каждого

элементарного промежутка времени ^ устремится к нулю. Таким

образом, получим

в ряде других процессов и явлений. Например, при изучении рас­ пада радия, размножения бактерий, изменения атмосферного давле­ ния с высотой и др. В финансовом деле — это закон сложных про­ центов.

19. Сравнение бесконечно малых. Рассмотрим две бесконечно малые при х -> а функции а (х) и ß (х) и их отношение. Пусть существует предел этого отношения при стремлении х к а. Воз­ можны следующие случаи.

1.Если lim ~ = с, где с — отличное от нуля число, то беско­

нечно малые а и ß называются бесконечно малыми одного порядка.

В частности, если с = 1, то бесконечно малые а и ß называются

эквивалентными бесконечно малыми, что обозначают символом а ~ ß. Например, при стремлении х к нулю sin х и х суть эквива­ лентные бесконечно малые.

2. Если lim 0, и, следовательно, lim ß _ оо. то а назы­

вается бесконечно малой высшего порядка по сравнению с беско­ нечно малой ß, а бесконечно малая ß — величиной низшего по­ рядка по сравнению с бесконечно малой а.

Например, если а = схР1(с Ф 0), ß = хР, где ш и н — положи­ тельные числа и X 0, то при т ~р>п бесконечно малая а высшего порядка по сравнению с ß.

Теорема 1. Для того чтобы бесконечно малые а и ß были экви­ валентными, необходимо и достаточно, чтобы их разность была бесконечно малой высшего порядка по сравнению с любой из них

мента. Все теоремы теории пределов, содержащиеся в пп. 11, 12, 14 и 15, оказываются верными для всех этих случаев.

Докажем, например, теорему о сумме двух бесконечно малых: сумма двух бесконечно малых есть величина бесконечно малая.

Пусть а (х) и ß (X) — бесконечно малые при стремлении х к а, где а — число или символ оо. Фиксируем любое е > 0. По усло­

вию имеем: неравенство |а (х) | < ~ выполнено на некотором мно-

жестве Хг, а неравенство | ß (х) | выполнено на Х 2, где Х г

и X ; суть окрестности точки я, из которых исключена точка а. Рассмотрим множество Х гХ 2, т. е. пересечение множеств Х х и Х 2.

Тогда, если х £ Х 1Х 2, то будут выполнены неравенства! а (х) I

Аналогично могут быть доказаны все остальные теоремы тео­

Уп = (—1)" при п -> ОО.

Вопрос о существовании предела функции имеет в высшей математике существенное значение. Прежде чем ставить вопрос о величине предела функции, необходимо предварительно выяс­ нить, существует ли предел функции. Пренебрежение этим поло­ жением может привести к ошибочному выводу. Это показывает следующий пример.

менная уп предела не имеет; это бесконечно большая переменная (см. п. 14).

Некоторые достаточные условия существования предела даны в пп. 13 и 15. Другие даны ниже.

Пусть функция / (х) определена на числовом множестве X

убывает, 2) ограниченная, так как f(x) ограничена сверху. По­

возрастает и ограничена сверху (ап <б.Ь1 при всех п). Согласно

стве ап <С Ъп перейти к пределу при п -►со, то согласно теореме 4

По условию длины отрезков (23) стремятся к нулю. Поэтому а = ß и число а принадлеяшт всем отрезкам последовательности (23), что прямо указано в неравенстве (24). Лемма доказана.

Докажем фундаментальную теорему Больцано — Коши, содер­ жащую необходимое и достаточное условие существования пре­ дела. При этом мы будем пользоваться общим понятием пре­ дела функции, определенной на множестве X, с точкой сгуще­ ния а (см. определение 7). Формулировку теоремы дадим парал­ лельно для случая конечного а и для случая а = оо.

Теорема Больцано — Коши *. Пустъ функция / (х) определена на множестве X, имеющем точку сгущения а, где а — число (или символ оо). Для того чтобы функция / (х) при стремлении х к а имела конечный предел, необходимо и достаточно выполнения сле­ дующего условия: для каждого числа е > 0 существует такое число

Другими словами, для того чтобы функция имела конечный предел при стремлении х к а, необходимо и достаточно, чтобы ее значения были сколъ угодно близки между собою для значений аргу­ мента, достаточно близких к а (но отличных от а).

Условие теоремы составляет так называемый критерий Боль­

/ (*') - f{x") = [f (х') - b] + [ b - f (х'%

которую мы представили в виде суммы двух слагаемых. Абсолют­ ная величина суммы не превосходит суммы абсолютных величин

T.e. выполнено условие (25).

До с т а т о ч н о с т ь . Пусть выполнено условие теоремы. Нужно доказать существование предела.

4

Рассмотрим последовательность положительных чисел е = —.

По условию теоремы для каждого числа п и е = — существует

окрестность точки а (назовем ее ô„) такая, что для любых х' и х", принадлежащих X и бл, выполняется неравенство

частью отрезков 8п и 0Л+ 1 и получили бы непустой отрезок 0„бл + 1, содержащийся в 8п.

Функция / (х) на отрезке 8п подчинена условию (26). Поэтому все множество Y n ее значений, принимаемых на 8п, может быть

заключено внутри некоторого отрезка ГАЛ[длиной —. Но 8n +1Ç 8п,

длина отрезка Ап стремится к нулю при п -*■ оо, то последователь­ ность отрезков {А,,} образует стягивающуюся систему отрезков. В силу леммы о стягивающейся последовательности отрезков существует число Ь, принадлежащее всем отрезкам Дл.

Убедимся в том, что число b является пределом / (х) при стрем­ лении ж к а. С этой целью рассмотрим числовое множество еь , т . е.

имеет предела при стремлении х к нулю, потому что нарушено условие (25), являющееся необходимым для существования предела. Действительно,

в силу периодичности функции sin г и стремления z = -і- к бесконечности,

существуют сколь угодно близкие к точке х —0 значения х' и х ", при которых / (х') = 1, / (х") = —1, а их разность / (х') — / (х” ) = 2.

§ 3. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ

Непрерывные функции образуют основной класс функций, рассматриваемых в математическом анализе. Первичное предста­ вление о непрерывной функции как о функции, график которой можно начертить не отрывая пера от бумаги, явно недостаточно.

Если это условие не выполнено, то точка ж0 называется точкой разрыва функции / (х).

телом при его нагревании до температуры Ѳ; Ѳі — температура плавления; Ѳ2 — температура газообразования вещества этого тела. При нагревании

тела от температуры Ѳ„ до Ѳі величина Q увеличивается. Она продолжает уве­ личиваться при дальнейшем нагревании тела при температуре Ѳі в процессе

Наоборот: если выполнено условие (5), то вместе с ним выпол- ' нены предшествующее ему равенство и вытекающее из него ра­ венство (1). Следовательно, условия (1) и (5) эквивалентны. Каж­ дое из этих условий может служить для определения понятия непрерывности функции в точке х 0. Поэтому можно дать такое опре­

соответствует бесконечно малое приращение функции.

В разных случаях удобно пользоваться тем или другим усло­

Величину Ду можно представить п виде произведения трех сомножителей:

из которых два ограничены, а один бесконечно мал (первый сомножитель ограничен при стремлении Дж к нулю, потому что он имеет при этом конечный предел). Следовательно, все произведение, т. е. А у, тоже стремится к нулю в силу теоремы о произведении бесконечно малой на ограниченную. Этим доказана непрерывность функции sin ж.

Аналогично доказывается непрерывность функции cos х.

Введем понятие односторонней непрерывности функции в дан­ ной точке. Функция / (х) называется непрерывной в точке х 0 справа (слева), если выполнено предельное соотношение / (х0 + 0) =

ной в промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого про­ межутка.

22. Классификация точек разрыва. Для непрерывности функ­ ции / (х) в точке ж0 необходимо (как, впрочем, и достаточно), чтобы она была определена в этой точке, чтобы существовали одно­ сторонние пределы слева и справа:

и чтобы имело место равенство трех чисел

/(*0 — 0) = /(*0 + 0) = /(Іо ) .

Если существуют односторонние пределы (6), но нарушено какое-либо из этих равенств, то х 0 называется точкой разрыва первого рода функции f (х).

Если хотя бы один из односторонних пределов (6) не существует (в частности, равен оо), то х 0 называется точкой разрыва второго рода функции / (х).