Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Сахарников Н.А. Высшая математика учебник

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.10.2023

Размер:

24.22 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 3233 / 4833 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 > Следующая >>>

= q (x — x0)/r3,	u'y	= q (y — y0)/r3, u z’		= g (z — z0)/r3		н	по	формуле (7)
и. 183 получим
grad и =		[(x—x0) iT (y —y0) j + (z“ zo) k]					=	E.
Следовательно, выполнено условие (34) и функция						и (М ) = — q/r есть
потенциал векторного поля Е (М).				создаваемое	материальной				точкой
П р и м е р	2.	Рассмотрим	поле,
массы т . Так же, как в примере 11, получим выражение силы, с									которой
притягивается единичная масса, помещенная в точке М ,						F ( М)		т т
								— -g-, если
постоянную тяготения принять равной единице. Сила тяготения F является
градиентом скалярной функции			и = mjr и поэтому		и есть		потенциал поля
тяготения, создаваемого точечным источником.						значит, что			векторы
II р и м е р	3.	Пусть дано	центральное поле; это

этого ноля направлены в одну точку М 0 (называемую центром) или из нее. Поэтому

		а = / ( с ) - ,			(36}
				г
где = (х— х0) і -Н у— I/O ) j + ( z— zo)k.				Следовательно,	Pdx-\-Qdy-\-Rdz =
х ~ х 0	, у- -Vо		dy-		dr = du (г),
= /(0 -------—dx-\----
где		“ (''):= \| /		(г) dr.	(37)

Отсюда следует, что центральное векторное ноле (36) потенциально и его потенциал определяется равенством (37).

В частности, если / (г) == kq/rz (к — + 1 или к = —1), что соответствует случаю поля тяготения и электростатического поля при наличии точечного источника в однородной среде, то

По теореме 1 получаем выражение работы центрального поля в рассматривае мом случае

Г ас?г= к(М)-и(Мо) = -	— + — .		(38)
J	г	'о
М0М

§33. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

193.Определение поверхностных интегралов, нх свойства.

Теория поверхностных интегралов во многом аналогична теории криволинейных интегралов. Рассмотрим прежде всего задачу,

которая приведет к понятию поверхностного интеграла пер вого рода.

Задача о массе изогнутой пластины. Пусть на поверхности S

непрерывно распределено вещество с известной плотностью р (М). При этом под плотностью вещества в точке М поверхности S понимается предел средней плотности на бесконечно малом эле менте, содержащем точку М. Требуется определить всю массу материальной поверхности S.

Решение задачи состоит в выполнении следующих действий (рис. 139). 1. Разделим поверхность S произвольными гладкими

линиями на п элементарных частей А5* с площадями	ДоА, наи
большую из этих площадей обозначим Хп.	АSk	плот
2. Предположим, что в каждой элементарной части
ность постоянна и равна р (N k), где N k — одна из	точек	АSk,

безразлично какая. Тогда масса к-го элемента будет приближенно

равна АтК^		р (Nk) Aok.
3. Для	массы всей поверхности получим приближенное выра-
жение т	П	P (Nk) Aok.
	2

k=l

4.Определим массу материальной поверхности («изогнутой

пластины») как	предел	полученной суммы при	стремлении Хп
к нулю:
П		р (М ) do.
т = lim 2 P {Nk) Aok ■- : Jj*		р (М ) do.
/£=1	s
	s	( 1)
		( 1)
Пределы такого	вида называются
поверхностными	интегралами пер
вого рода.
Сформулируем определение по
верхностного интеграла		первого
рода в общем случае. Пусть функция F (М) определена на гладкой
поверхности S.	Разделим, как и выше, S на элементы AS г, . . .,
ASn с площадями Аод, . . ., Асг„ соответственно			и обозначим че

рез %п наибольшую из этих площадей. Выберем на каждом эле менте ASk произвольную точку N k и составим такую интеграль ную сумму:

an= £ F ( N k ) A o k.

	k=l
О п р е д е л е н и е	1. Конечный предел интегральной

суммы ап при стремлении Я„ к нулю (если этот предел	существует
и не зависит от способа деления S на элементарные	части и от
выбора точек N) называется поверхностным интегралом первого

рода от функции F (М) по поверхности S и обозначается		сим
волом
J j F	{М)da = Hm É F {Nk) Aok.	(2)
s	V ”

Его физическое истолкование: например, это масса материаль ной поверхности с плотностью распределения вещества F (il/).

Введем понятие с т о р о н ы п о в е р х н о с т и . Пусть S — гладкая поверхность (см. п. 133), не содержащая особых точек. Выберем на ней внутреннюю точку Л/0, проведем через нее

нормаль к S и выберем на этой нормали одно из двух возможных

направлений; пусть оно представлено единичным вектором п.
Проведем на S через М 0 какой-либо замкнутый контур I, не име
ющий общих точек с границей поверхности. Будем перемещать
точку М из положения М	0 вдоль I так, чтобы вектор п оставался
все время нормальным к	S и чтобы его направление менялось

при этом н е п р е р ы в н о . Возможны только два случая: после обхода контура мы вернемся в М 0 либо с тем же направле нием нормали, либо с направлением, противоположным исход ному.

Гладкая поверхность S называется двусторонней, если обход по любому замкнутому контуру, лежащему на S и не имеющему общих точек с ее границей, не меняет направления нормали.

Введем понятие поверхностного интеграла второго рода. Пусть S — гладкая двусторонняя поверхность. Фиксируем ту сторону этой поверхности, которая представлена выбранным еди ничным вектором нормали к поверхности n = n (М). Пусть в каж

дой точке поверхности S определена векторная	функция	точки
а (М), имеющая непрерывные проекции Р (М ),	Q (М),	R (М )
на координатные оси.	элементы АSk
Разобьем поверхность каким-либо способом на	элементы АSk

с площадями Aak и обозначим наибольшую из этих площадей

через \ п. На каждом элементе выберем произвольную					точку Nk
и рассмотрим сумму	П

ßn = ü a (TV*) п (ЛД) Ааь
где a (Nk) — значение	вектора	а (М)	в	точке N k; n (N k) — еди
ничный вектор нормали в этой точке;			а п — скалярное		произве
дение этих векторов.	2.	Конечный		предел интегральной
О п р е д е л е н и е

суммы ß„ при стремлении Хп к нулю (если он существует и не зави сит от способа деления S на элементы и выбора точек N ) назы вается поверхностным интегралом второго рода от векторной

функции а	(P , Q, R) по в ы б р а н н о й с т о р о н е п о в е р х
н о с т и	и обозначается символом
	( 3)

Из определения следует, что при изменении стороны поверх ности поверхностный интеграл второго рода меняет лишь знак. Действительно, если изменить направление n на противополож ное, то изменит знак сумма ß„ и ее предел (3).

Обозначим направляющие косинусы вектора п, соответству ющего выбранной стороне поверхности, через cos а, cos ß, cosy. Интегральную сумму ß„ можно записать в виде

R	=	У, (Р cos а + Ç cos ß -f R cos у] Aak.
Уп		f"■'	*ѵ/е

IIап da

Перейдя в (4) к пределу при Х„	0, согласно (2) и (3) получим
[ [ an da = [ I (Р cos a	Q cos ß , -i?cos y) da.	(5)

' s V

П р и м е ч а н и е 1. Если do — бесконечно малый элемент площади поверхности, то выражения cos a da, cos ßda, cos yda представляют собой проекции элемента da на координатные пло скости Oyz, Oxz и Оху, поэтому мы обозначим их dydz, dxdz и dxdy соответственно.

На основании этого интеграл (3) записывают также в другой форме:

jJ (Р cos га + Q cos ß + R cos Y)da =

' s s

	= P dy dz + Q dx dz + R dx dy.					(6)
	’ s
Если интегральную			сумму	ß„ представить	в виде	ß„ =
П
= 2	ап (Nk) &ak, гДе ап (М) — проекция вектора				а (М ) на	Hop
fte	п (М), и перейти	в	этом	равенстве к пределу, то получим
малъ	п (М), и перейти	в	этом	равенстве к пределу, то получим
следующую формулу связи между поверхностными интегралами
первого и второго рода:
	[ j	ап da =		J I ап (М) da.		(7)
	’ s			s
П р и м е ч а н и е		2.	Можно доказать, что при наших			пред

положениях	о гладкости поверхности £ и непрерывности функ
ций F (М ), Р (М ), Q (М ) и R (М ) интегралы (2) и (3) существуют.
О б щ и е	с в о й с т в а п о в е р х н о с т н ы х и н т е г

р а л о в .	I
1°. Постоянный множитель можно вынести за знак поверхно
стного интеграла.	интеграл от алгебраической суммы функ
2°. Поверхностный

ций равен соответствующей сумме интегралов от слагаемых.

3°. Если поверхность разбитъ на конечное число частей, то интеграл по всей поверхности равен сумме интегралов по всем ее частям.

4°. Меньшей функции соответствует меньший интеграл, т. е. из неравенства f (М) у g (М ), которое выполняется на S, следует

неравенство \1/	(М) da sg ]j	g (M ) da и, например, fj / (М) dxdy^
s	s		’ s
Яs ё (M ) dxdl/»	если cos (n,	z)	0.

5°. Теорема о среднем. Если F (М) непрерывна на поверх ности S ( с площадью о), то на S имеется такая точка М *, что

/ f F(M)da = F(M*)a.

Все эти свойства поверхностных интегралов вытекают из их определения и выводятся так же, как свойства определенных,

кратных и криволинейных интегралов (см.	пп. 154, 169, 188).
194. Поток вектора через поверхность.	Пусть в области В

дана векторная функция точки а (М ) с непрерывными проек циями P (М), Q (М) и R (М) на координатные оси.

На поверхности S, ограничивающей В, выберем определенную сторону и рассмотрим интеграл (3). Он допускает следующее физическое истолкование. Будем трактовать векторную функ

цию а (М)	как скорость	потока однородной					жидкости		с	плот
ностью р =	1. Тогда произведение
	а (Nk) n (N,,) Аок= а (Дд) cos (а,					п Ц	Ащ,			(8)
		представляющее общий член интеграль
		ной суммы (3), может быть						истолковано
		либо как объем цилиндра (любого из
		двух	равновеликих				цилиндров,			изо
		браженных		на	рис.		140 с основанием
		Док и	высотой,		равной проекции					век
		тора а на нормаль п), либо как								отне
		сенное к единице времени количество
		жидкости,		протекающей				через		пло
		щадку	Дсг* в сторону нормали n (так
		как р =- 1).				интеграл			(3)	дает
		Следовательно,
ющеи через	поверхность	общее количество жидкости, протека-
		S в	сторону		выбранной			нормали п,
отнесенное к единице времени
Поверхностный интеграл
		Яan da								(9)

(независимо от конкретного смысла вектора а) называется потоком вектора а (М), или потоком векторного полян (М), через поверх ность S в сторону нормали п. Заметим, что при перемене напра вления n интеграл меняет лишь знак.

И р іг м е р. Рассмотрим поло температур и (М). Через элемент da поверхности S в сторону нормали n за время dt вследствие теплопроводности

, , ди ,

переместится количество тепла, равное dQ — —kda — dt, где k — положи

тельное число, называемое коэффициентом внутренней теплопроводности. Введем в рассмотрение так называемый вектор потока тепла q — —k grad и. В соответствии с формулой (8) п. 184 имеем dQ — qn dadt. Поэтому через всю поверхность 5 переместится количество тепла (отнесенное к единице времени), равное потоку вектора q через поверхность S в направлении нормали n :

Q —У qnda.

195. Вычисление поверхностных интегралов. Пусть гладкая по-

верхность S	задана уравнением
				2 = fix,		у),				(Ю)
правая часть которого определена в области А,								представляющей
проекцию поверхности S на плоскость Оху. Предполагаемая
гладкость поверхности S означает непрерывность частных произ
водных /.Г ~	P	II f'y ~ д.
Для нахождения направляющих косинусов нормали п к по
верхности S	запишем уравнение (10) в виде ср =								/ (х, у) — z = 0
и найдем ср.( =		р,	<pÿ — q, q>'z = —1. Получим (см. п. 133)
cos а —				о2		COS ß :	V i + i
			± М	о2			V i + i
cosy			— 1		( 11)
cosy					( 11)
		± V i +p2 + q2
Выберем		ту	сторону		поверх
ности, для которой выполнено ус
ловие cos у Д> 0			(рис. 141).		Поэтому
в формулах	(11) перед			корнем сле
дует выбрать		знак минус и тогда, в
частности, получим
cosy			1		( 12)
cosy			У 1+р2+у2		( 12)
			У 1+р2+у2
Заметим,	что		величина		Аа пло		Рис•
щади элемента поверхности S связа-							Рис•
на с площадями проекций Дауг,										Oxz
Аахг, Ааху этого элемента					на координатные плоскости Oyz,					Oxz
и Оху соотношениями
Аауг = Аст • cos а,				А<т*2= Аа-cos ß,			Ааху=	Аа• cos у,
где cos а, cos ß и cos у суть направляющие косинуса нормали к S
в некоторой точке N* элемента AS. Следовательно, имеем
			Д	Уи 1	+р= 2	+	аху.g	2	L	(, 1	3А

Заменим в интегральной сумме, соответствующей интегралу (2), величину Ди по формуле (13), а величину z — по формуле (10). Получим

к	Уи, Ч ) АОk ^ - ï’j F (xk,	У ь	/ (Хк, Уи)) / М	- р 2 + r f	I	(Аа ху)к.
к	к				1	к
						(14)
Если в качестве точки Nk выбрать точку N% и					перейти в
этом	равенстве к пределу	при	Хп -> 0, то	получим	формулу,

связывающую поверхностный интеграл первого рода с двойным интегралом:

у,

z ) d a = \ \ F { x , у,

(х, у)) |

р*1 ..

q-dxdij.

(

При F (М )

1 на

.S' по

определению

поверхностного

интег-

рала имеем

J J d o -

lim 2

Aa„ = F„,

-> 0 f t = l

s ’

где Fg — площадь поверхности S.

В этом случае формула (15)

дает выражение площади поверхности в виде двойного интеграла:

Fs =

| J

V~1 + р2 -f g2 dx dy.

(

П р и м е р

Найти площадь части сфе

рической

поверхности

£2+ г/2 + z2 = R2,

вы

резанной

из нее плоскостью

z — h, где 0 ^

sÇ h < R (рис.

142).

Здесь

Z = ]Л й 2 — ж2 — Î/2 ,

поэтому

—x/z,

q ——уf z

и 1 + p 2 + g2 = Д2/ 22-

Об-

ласть А есть круг

радиусом

Ri = V R 2 — h2

с центром в точке с координатами ж0 = г/0 = О,

z0 = 0. По формуле

(16)

получим

rdr

--2nR V R 2- r 2

= 2лR (R —h).

V № —г*

С целью

сведения

поверхностного

интеграла

второго

рода

I [ R (М ) dx dy к двойному интегралу заменим в соответствующей

"'s

интегральной сумме величину z по формуле (10); получим

Ук,Я *к) №

ху)к(

2 *

,(xk,

у k,

f ( x k, yk) ) ( à a Xy)k.

Перейдя в этом равенстве к пределу при кп ->- 0, получим значе

ние нашего интеграла по верхней стороне поверхности

j j

Я (ж, У, z) dx dy = J J R (x,

y, f(x,

y))dxdy.

(17)

Аналогично вычисляются поверхностные интегралы второго рода по координатам x, z и г/, z.

Вычисление поверхностного интеграла от векторной функции точки сводится к вычислению поверхностного интеграла первого рода с помощью формулы (5).

П р и м е р 2- Вычислить 11 (у2 + z2) dx dy, где] S — верхняя сторона

_________"s

поверхности z -- | а2 — ж2, отсеченной плоскостями у ■— 0, у = Ь и z = 0. Р о ін е н и о. Проекция S па плоскость Оху есть прямоугольник А , определяемый неравенствами —а ^ х ==; а, 0 £=: у ^ Ъ. По формуле (17)

находим

		а	Ь
fj(ÿ2 +	z2) d x d y = f	I (ÿ2 + c/2—ж2) dx dy =-- I	dx \| (y2-)-«2 — x^)dy =
S	Л	- a	(J
	a
	— ^	— [—a'-b— xïb'j йж = -\|- ab (2я2 -\|-Ь2).

-a

196.Формула Остроградского.* Формула Остроградского свя зывает тройной интеграл по трехмерной области с поверхностным интегралом по внешней стороне по верхности, ограничивающей эту об ласть.

Пусть дана замкнутая конечная

трехмерная область В , ограничен ная поверхностью S. Относительно S предполагается, что она гладкая или кусочно-гладкая и что прямые, параллельные осям координат, пере секают ее не более чем в двух точках. Проекция S на плоскость Оху есть область А (рис. 143).

Пусть Z = Z 1 (X, у) Il		z =	z 2 (х, у)
суть уравнения соответствующих ча
стей	S — нижней части	S х и		верх
ней	So, где zx (х, у) и z2 (х,		у)	непрерывны в области А.
Данные функции P,		Q и R		непрерывны вместе со своими ча

стными производными Р ’х, Qÿ, R ’z в замкнутой области В.

Рассмотрим тройной интеграл от R ’z по области В и преобра зуем его, как указано ниже, в двойной интеграл и, наконец, в поверхностный интеграл второго рода:

^ d x ~ A \ d x d y 1 Л

R (X, г/, zx(х,

г 2 ( хГ, у )	дЯ	-dz=	f f [R{x, y, z2(x, y)) —
J	dz	II	V^
Zi (х, у)		- 1fR (x, y, z) dx dy —
y))\dxdy		- 1fR (x, y, z) dx dy —

ш s;

-Пл<*. У, ■		R(x,	y,	z) dx dy +
Sx	г) dx dy — U	R(x,	y,	z) dx dy +
Sx	s2
У,	z) dx dy == ]7 R(x,		У,	z)dxdy.	(18)
Si	S

* Михаил Васильевич Остроградский (1801—1861) — русский матема тик и механик.

Преобразование I основано на правиле вычисления тройного интеграла, II — на формуле Ньютона — Лейбница, III — на формуле (17); в результате получаются интегралы по верхним сторонам поверхностей 5Д и S 2. Преобразование IV приводит к поверхностным интегралам по внешним сторонам S t и S 2. Затем эти интегралы объединены в один интеграл по внешней стороне поверхности S.

Аналогично получим

J [ J Qy dx ~	J J Q dx dz,	j J J P'x dx - ----J j*P dy dz.		(19)
h	s	B	s

Сложив эти три равенства, придем к так называемой формуле Остроградского (в координатной форме)

j j	P dy dz-'rQdxdz + R d x d y ^ Щ ( i £	+	+ 4 r	) d%’ <2°)
S	B
где поверхностный интеграл берется по		в н е ш н е й		стороне
поверхности S.

П р и м е ч а н и е. При выводе формулы Остроградского мы считали, что поверхность S , ограничивающая область В , пересекается прямыми, парал лельными координатным осям, по более чем в двух точках. Можно доказать справедливость формулы Остроградского при условии, что В есть ограничен ная область, граница которой состоит из конечного числа кусочно-гладких поверхностей.

197. Дивергенция вектора. Пусть дана векторная функция точки а [М), проекции которой P (М), Q (М ) и R (М ) на коорди-

натные оси имеют частные производные	дР	дО	дП
натные оси имеют частные производные		^	и тр-.

О п р е д е л е н и е . Дивергенцией, или расходимостью, век тора а (М) называется скалярная функция точки, определяемая равенством

div а (М) =	дР	.	dQ	dR	(21)
	дх	'	ду '	dz

С помощью понятий дивергенции вектора и потока вектора (см. п. 194) формула Остроградского может быть записана в век торной форме

f ( ап da = j j j div a dx

(22)

Sв

исформулирована так: поток вектора а через замкнутую поверх ность в направлении внешней нормали равен интегралу от дивер генции этого вектора, взятому по области, ограниченной этой

поверхностью.

Инвариантное (по отношению к выбору системы координат) определение дивергенции вектора получим с помощью формулы (22). Для этого фиксируем точку М векторного поля а (М ), окру-

жим ее поверхностью S и обозначим через В область, ограничен ную S. Напишем для области В формулу Остроградского (22) и по теореме о среднем для тройного интеграла получим

d iv a (A / * )F B =	JJ anda.
Отсюда следует, что		s
		ff о« der

d i v a ( M ) = lim		(23)
(S) - M		V T

T . e. дивергенция вектора в каждой точке поля М есть предел отношения потока этого вектора через бесконечно малую замкну тую поверхность, окружающую М, к величине объема области, ограниченной этой поверхностью.

Физический смысл понятия дивергенции позволяет выяснить формула (23). Для этого будем трактовать а (М) как вектор ско рости течения однородной несжимаемой жидкости (с плотностью

р — 1). В п. 194 установлено, что интеграл J = J j ando равен s

количеству жидкости, протекающей в единицу времени через поверхность S в сторону нормали п. Пусть S — замкнутая по верхность и п - ее внешняя нормаль.

Если величина потока J > 0 , то из области В, ограниченной поверхностью S, вытекает больше жидкости, чем втекает в нее. Следовательно, внутри В должны быть и с т о ч н и к и жидкости, обильность (интенсивность) которых характеризуется величиной потока J. Если / < 0 , то внутри В есть с т о к и жидкости. Обильностью, мощностью, или интенсивностью, источника (стока) назовем величину потока вектора через бесконечно малую поверх ность, охватывающую источник или сток.

Более точной характеристикой обильности источников и стоков в области В служит удельная обильность, т. е. отношение вели чины потока к объему области, ограниченной S: J/VB . Именно эта величина содержится в формуле (23) под знаком предела. Для того чтобы получить характеристику удельной обильности источника или стока в точке М, надо перейти к пределу в полу ченном отношении, когда область В стягивается к точке М. При этом согласно формуле (23) получим значение дивергенции век тора скорости в точке М.

Следовательно, если а (М ) есть скорость потока однородной несжимаемой жидкости, то div а (М ) характеризует удельную обильность источника или стока в точке М рассматриваемого поля скоростей.

В общем случае, когда вектор а (М ) может быть не является

вектором скорости потока жидкости, величина jj ап do есть поток

вектора а через поверхность S. Поэтому, рассуждая так же, как

<<< < Предыдущая 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 3233 / 4833 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ