книги из ГПНТБ / Сахарников Н.А. Высшая математика учебник

упомянутый параллелепипед — прямоугольный и его объем равен произведению его измерений: dx = dsudsvdsw. С помощью формул (13) получаем выражение элемента объема в ортогональной си­ стеме координат

ные векторы касательных к соответствующим координатным ли­ ниям в рассматриваемой точке М 0, направленные в сторону возра­ стания координат (см. рис. 123). В общем случае элемент объема

направленные по касательным к соответствующим координатным линиям (см. и. 185). Длины векторов (19) соответственно равны значениям коэффициентов Ламе:

Из (18) и (21), учитывая представление смешанного произведения векторов через проекции сомножителей (см. п. 96), следует выра­ жение элемента объема в системе координат (и, v, w)

где

Геометрически функциональный определитель D представляет отношение, в котором преобразование (7) изменяет объем.

179. Вычисление тройного интеграла в ‘.(криволинейных коор­ динатах. В цилиндрической системе координат координатными поверхностями, проходящими через точку М 0, являются: цилинд­ рическая поверхность р = р0, полуплоскость ф = ф0 и плоскость

Если область В ограничена координатными поверхностями си­ стемы (w, V, w), то соответствующий повторный интеграл будет иметь постоянные пределы для каждой из переменных интегриро­ вания.

П р и м е р 1. Вычислить объем тела, вырезанного цилиндром я2-(-у2 = 1

В сферической системе координат координатными поверхно­

(рис. 125), которую можно принять приближенно за прямоуголь­

Вычисление тройного интеграла в сферических координатах можно рекомендовать, если область В ограничена координатными поверхностями этой системы. В этом случае повторный интеграл в формуле (26) будет иметь постоянные пределы интегрирования, что, вообще говоря, упрощает вычисления.

П р и м е р 2. Вычислить объем шара радиусом R. Но формуле (26) имеем

вами (7), элемент объема представлен формулой (22). Замена пере­

= I j / / ( : r (н, и, w), у (и, и, w), z(u, v, w))\ D \dudv dw. (27)

в

Здесь правые части (7) предполагаются непрерывно дифферен­ цируемыми в В, якобиан D — сохраняющим знак в В, f (М ) —

непрерывной в В. Формула (27) выводится аналогично формуле (29) п. 174.

где y2-\-z2, X2 + z2 и X2 + У2 суть квадраты расстояний от точки М (х, у , z) соответственно до осей Ох, Оу и Oz. Поэтому моменты

Глава X I

ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ И ТЕОРИЯ ПОЛЯ

181. Понятие поля. Понятие поля лежит в основе многих представлений современной физики. Векторный анализ является средством изучения полей.

При рассмотрении физических явлений встречаются величины трех видов: скалярные, векторные и тензорные. Соответственно этЛіу различают три вида полей: скалярные, векторные и тензор­ ные. В общем случае полем величины а называется облаетъ В трех­ мерного пространства, с каждой точкой которой в каждый мо­ мент времени связано определенное значение величины а. Поэтому а есть функция точки М и времени t. Заметим, что областью В может быть и все трехмерное пространство. Если величина а скалярная (температура, давление, потенциал и т. д.), то и поле называется скалярным. Если а есть вектор (сила, скорость и т. д.), то соответствующее поле называется векторным. Если а — тензор (напряженности, проводимости и т. п.), поле называется тензорным.

Поле величины ос называется стационарным, или установи­ вшимся, если ос не зависит от времени t. В противном случае оно называется неустановившимся.

Пример с к а л я р н о г о п о л я . Пусть данная область заполнена газом, температура которого есть функция точки и времени. Однако со вре­ менем может наступить тепловое равновесие, в результате которого темпера­ тура в каждой точке области стабилизируется во времени. Температура станет функцией лишь точки, поле температур станет стационарным.

Примеры в е к т о р н ы х п о л е й . 1. Пусть область В заполнена жидкостью (или газом), причем скорость течения ѵ (М) не зависит от времени и является функцией точки наблюдения М. Поставив в соответствие каждой точке М области В вектор ѵ (М), получим векторное поле, называемое полем скоростей стационарного потока жидкости.

2. Пусть в некоторой области пространства распределено некоторое вещество. Тогда на материальную точку с единичной массой действует сила

тяготения, зависящая от местоположения точки. Эти силы образуют вектор­ ное поле, называемое полем тяготения, или гравитационным полем, соответ­ ствующим данному распределению масс.

3. Если в некоторой области пространства распределены электрические заряды, то на единичный электрический заряд, находящийся в точке М, эти заряды действуют с некоторой силой Е (М). Эти силы образуют вектор­ ное поле, называемое электростатическим, соответствующим данному рас­ пределению зарядов.

Примером т е н з о р н о г о п о л я является поле тензора упругих напряжений тела, с каждой точкой которого связапо определенное значение тензора напряжения. При этом в каждой системе координат тензор в данной точке можно представлять системой девяти чисел (в то время как скаляр можно представить одним числом, а вектор — системой трех чисел).

§31. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ

182.Скалярное поле. Поверхности и линии уровня. Пусть дано стационарное скалярное поле <р (М). Если выбрать систему декартовых координат (х , у, z), то каждая точка М будет иметь координаты X, у, z и функция точки cp (М) станет функцией трех независимых переменных ф (х, у, z). Мы всегда будем предпола­ гать эту функцию непрерывно дифференцируемой в рассматри­ ваемой области.

Основным вопросом исследования скалярного поля является вопрос об изменении функции ф при переходе из одной точки пространства в другую. Для выяснения этого вопроса рассмотрим прежде всего геометрическое место точек, в которых величина ф сохраняет постоянное значение, оно называется поверхностью уровня. Через каждую точку М 0 области В проходит единственная поверхность уровня. Ее уравнение в выбранной системе коор­ динат имеет вид

ф(ж, у, z) -----ф(х0, у0, д„) г. , (1)

Следовательно, поверхности уровня, отвечающие различным постоянным с, заполняют всю область, в которой определено поле, и никакие две поверхности уровня, отвечающие различным значениям с, не имеют общих точек. Задание всех поверхностей уровня с указанием соответствующих значений с равносильно заданию самого поля.

Указанный способ изображения поля особенно удобен, если речь идет о поле, заданном в плоской области А двух перемен­ ных. Такое поле описывается функцией двух переменных ф (х, у), определенной в области А. Равенство ф (х, у) = с определяет, вообще говоря, некоторую кривую, называемую линией уровня плоского скалярного поля. С помощью линий уровня изобра­ жается, например, рельеф местности на топографических картах (путем задания поля высот точек местности над уровнем моря). В случае поля температур на плоскости линии уровня называ­ ются изотермами, в случае поля давлений — изобарами и т. д.

183.Производная по направлению. Проследим за изменением

вует) отношения приращения Дф функции при смещении точки М в направлении вектора т к величине

Производная скалярной функции ф (М ) по направлению т характеризует скорость изменения величины ф в точке М в напра­ влении вектора т , что следует из определения. В каждой точке пространства имеется бесконечное множество различных напра­

по направлению m равна производной от ф по р в точке р —0:

Дифференцируя ф(р) по р как сложную функцию, получим

ф' (р) = ц)'х (N) cos а + фу (N ) cos ß -f- фг (N) cos у.

Положив р - - 0, получим окончательно

Формула (5) представляет выражение производной скалярной функции ф (М) по любому данному направлению m (cos а, cos ß, cos у) через производные этой функции по трем взаимно перпен­ дикулярным направлениям i, j и к.

И р и м е р. Рассмотрим поле температур cp (М), создаваемое беско­ нечно длинным прямолинейным источником тепла, расположенным по оси Oz

(рис. 127).

Пусть, например, ф = (хг + у2)~]. Поверхностями уровня являются цилиндрические поверхности вращения вокруг источника тепла. Производ­ ную функции ф по направлению m (cos а, cos ß, cos у) найдем по формуле (5)

—2 (х2-ту2)~2 (х coset-)- у cos ß).

правлении к источнику тепла температура возрастает).

184. Градиент скалярного поля. Пусть дано скалярное поле Ф (х, у, z). Среди различных возможных направлений в данной фиксированной точке М пространства выделим направление,

{см. п. 133). Вектор п играет важную роль в теории поля и назы­ вается его градиентом.

Ф о р м а л ь н о е о п р е д е л е н и е г р а д и е н т а : гра­ диентом скалярного поля ф (М ) в точке М называется вектор, обо­

Если функция ф (х,у, z) имеет частные производные первого по­ рядка, то в каждой точке М эта функция имеет свой градиент. Таким образом, скалярное поле ф (М ) порождает векторное поле grad ф (М).