книги из ГПНТБ / Сахарников Н.А. Высшая математика учебник
.pdfтакое ôxX ) , что при условии |
0<С|^ — « |<Сôx выполняется нера |
|||
венство |а |< - |- . |
По условию |
ß |
есть |
бесконечно малая, и по- |
этому существует такоечисло ô2> |
0, что при условии 0 <1 £ — а | < ô 2 |
|||
выполняется неравенство j ß | <Г . |
|
|||
При условии 0 < 1 ^ — a | < ô , |
где ô — наименьшее из чисел |
|||
и б2, выполнены |
неравенства |
|а |< - |- |
и | ß | < 4 - и вместе с ними |
|
|
|
|
<L |
А |
неравенство
I а + ß I «£ і а I -I-1ß I < Y + у = e.
Таким образом, установлено, что любому е > 0 соответствует такое ô ]> 0, что имеет место неравенство |а (х) + ß (х) | < е при условии 0 < I X — а | < Ô. Теорема доказана.
П р и м е ч а н и е . Теорема верна для алгебраической суммы любого конечного числа слагаемых, что доказывается аналогично.
Функция |
/ (X) называется |
ограниченной на множестве |
X , |
|
если |
существует число М > 0 |
такое, что для каждого х из |
X |
|
имеет |
место |
неравенство |
|
(4) |
|
|
| / И І ^ М . |
||
Например, функция sin х ограничена в любом промежутке, так как I sin X I ^ 1.
Функция / (х) называется ограниченной при стремлении х к а, если существуют числа М и ôj такие, что выполняется нера венство (4) при условии 0 < | ж — а | < ô x. Например, любая бесконечно малая а (х) при стремлении х к а есть величина огра ниченная. Действительно, роль числа М играет любое фиксирован ное et 0, так как по определению бесконечйо малой выполняется неравенство | а (х) | < ех при условии 0 < | х — а | < бх.
Теорема 2. Произведение ограниченной величины на бесконечно малую есть величина бесконечно малая.
Дано: 1) функция / (х) ограничена при стремлении х к а, т. е. на множестве, определяемом условием 0 < і\х — а | < С в ы п о л
нено неравенство (4), 2) а (х) -> 0 при |
х |
-> а. |
|
|
||
Требуется доказать, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
lim / (х) а (я) = 0. |
|
|
|
(5) |
|
|
х-^а |
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Фиксируем е > 0 |
. По |
второму условию |
|||
теоремы |
числу -щ-е соответствует б2> 0 |
такое, |
что выполняется |
|||
неравенство |а ( х ) |< ;-1^ е при условии 0 < !| іс— а | <;ô2. |
||||||
Если |
0 < | я — а | < 0 , |
где ô —наименьшее из |
ôx |
и ô2, то вы |
||
полнены |
неравенства \ f(x)^zM и | а (х) | |
|
е, |
a |
вместе с ними |
|
и неравенство \ f (х) а (х)\<.&, так как | / (х) а (х) | = | f(x) | ( а ( х ) | <
< М Ж |
= е - |
1. Произведение постоянной с на бесконечно |
|||
С л е д с т в и е |
|||||
малую |
а (х) есть |
величина бесконечно малая: |
lim с а (х) |
= |
0. |
|
|
|
X -> а |
= |
с. |
Действительно, это равенство получается из (5) при / (х) |
|||||
С л е д с т в и е |
2. Произведение двух бесконечно малых а (х) |
||||
и ß (х) |
есть величина бесконечно малая: lim а (х) ß (х) = 0. |
|
|
||
Действительно, |
х - ^ - а |
стремлении х |
к а |
||
бесконечно малая ß (х) при |
|||||
есть величина ограниченная, поэтому можно положить в формуле
(5) |
/ (х) |
= ß (х), что и |
приводит к цели. В частности, если ß (х) = |
= |
а (х), |
то имеем lim |
а 2 == 0. |
X -*■ а
Целая положительная степень бесконечно малой тоже есть вели чина бесконечно малая: lim а" --- 0, что можно доказать методом ин дукции.
12. Бесконечно большая функ
ция. |
Рассмотрим |
графики |
функ |
||
ций |
у |
(х — |
а)-1 и |
у |
— |
= (х— а)-2 в |
окрестности точки |
а, |
|||
за исключением самой точки а, где эти функции не определены (рис. 11). Относительно значений этих функций можно сказать, что
они сколь угодно велики по абсолютной величине, если соответ ствующие значения аргумента достаточно близки к а. Часть фразы «значения функции сколь угодно велики по абсолютной величине» следует понимать в том смысле, что для каждого положительного числа Е, как бы велико оно ни было, выполняется неравенство
\f ( x ) \ > E .
Оп р е д е л е н и е 2. Пусть функция / (х) определена в не которой окрестности X точки а, за исключением, может быть, са мой точки а. Функция / (х) называется бесконечно большой при стремлении х к а, а если для каждого положительного числа Е (как бы велико оно ни было) существует соответствующее
положительное |
число |
ô такое, |
что |
выполняется неравенство |
|
I / {х) I > Е для |
всех |
значений |
х, |
удовлетворяющих |
условию |
0 •< IX — а I < б. |
|
|
|
|
|
Тот факт, что / (X) является бесконечно большой функцией |
|||||
при стремлении х к а, |
записывают символически lim |
/ (х) — оо |
|||
X - y Q
ичитают: f (х) стремится к бесконечности при стремлении х к а.
Вчастности, если при этом f(x) положительна в некоторой окрестности точки а, то говорят, что f(x) стремится к плюс бесконечности, и записывают lim f(x) = + со. Аналогично, если
X - + Q
бесконечно большая / fa) отрицательна в некоторой окрестности точки а, то lim / (х) — — оо.
X-+а
Пр и м е р . Функция tg X стремится к—оо при стремлении х к х0-
справа, т. е. со стороны значений х, больших х0, а при стремлении х к х0 слева (т. е. при х <( х0) tg х стремится к + оо. Принята следующая форма за писи в подобных случаях:
lim |
tgx' = —оо, lim tg X — |
- | - о о . |
|
я |
+ ° |
- -я- о |
|
П р и м е ч а н и я . |
1. |
Бесконечность (оо) не |
число, а символ, который |
употребляется, например, для того, чтобы указать, что соответствующая переменная есть бесконечно большая величина.
2. Бесконечно большая при х ->■ а величина / (х) не имеет при этом пре дела, потому что под пределом переменной понимается некоторое число, а символ оо не является числом.
Ниже помещены две теоремы о связи между бесконечно большой и бесконечно малой функциями.
Теорема 1. Переменная, обратная бесконечно большой, есть
величина бесконечно малая. |
|
|
|
Пусть lim / (X) = оо. Докажем, что lim |
1 = |
0. |
|
х-*а |
х-кі |
^ fa) |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Фиксируем |
любое |
е }>0 и обозна- |
чаем — = Е. По условию переменная / (х) — бесконечно оольшая
при стремлении х к а, поэтому числу Е соответствует Ô > 0 такое, что при условии 0 < |х — а К ô выполняется неравенство |/(ж)| >>
Е = —, a вместе с ним и неравенство |
< е. |
|
f f a ) |
Теорема 2. Если бесконечно малая не обращается в нуль, то обратная ей величина есть бесконечно большая.
Пусть lim а (ж) = 0. Докажем, что lim |
1 |
оо. |
|
♦а а (*)
Д о к а з а т е л ь с т в о . Фиксируем любое Е fa>0 и обозна-
Л
чаем -=■ = е. По условию а (х) — бесконечно малая при стремле-
нии X |
к а, |
поэтому числу е > 0 соответствует ô > 0 |
такое, что |
||
при условии 0 < |
\ X — а | ■< Ôвыполняются неравенства | а (х) | < |
||||
<; е = |
1 |
|
1 |
j > Е. Отсюда следует заключение |
теоремы 2. |
-g- и |
|
||||
13. Предел функции. Пусть функция / fa) определена в неко торой окрестности X точки а, за исключением, может быть, самой
точки |
X = а. |
П р е д е л о м |
ф у н к ц и й |
/ (х) |
О п р е д е л е н и е 3. |
||||
п р и |
с т р е м л е н и и |
х к а называется число b такое, |
что |
|
разность ffa ) — b есть величина бесконечно малая при стремле нии X к а.
Если число |
b является пределом / (ж) при стремлении ж к а, |
то пишут lim |
/ (х) — Ь, или / (х) -> b при х -> а и читают: пере- |
х~*а |
|
менная / (ж) стремится к b при стремлении ж к а.
Это определение опирается на понятие бесконечно малой. Можно сформулировать определение предела функции без ссылки на бесконечно малую. Обозначим / (ж) — b ен <х (ж). В соответствии с определением 3 постоянная b является пределом функции / (ж)
при стремлении ж к а, если функция а (ж) при |
этом бесконечно |
малая. Сформулируем это предложение на «языке е, б» и придем |
|
к следующему определению предела функции, |
эквивалентному |
определению 3. |
4. Число b называется п р е д е л о м |
О п р е д е л е н и е |
|
ф у н к ц и и / (ж) п р и |
с т р е м л е н и и х к а, если для каж |
дого положительного числа е существует соответствующее поло
жительное |
число б такое, что при условии |
0<; |ж — а|-< б |
выполняется |
неравенство |
|
|
|/( * ) - Ь |< е . |
(6) |
Заметим, что в точке х = а функция / (ж) может быть не опре делена. Но если она определена при ж = а и имеет значение / (а), то это значение функции не окажет влияния ни на факт существо вания предела lim / (ж), ни на величину предела функции. Это
|
х~+а |
определении предела |
функции |
значение |
объясняется тем, что в |
||||
/ (а) не |
участвует, что |
указано в условии |
| ж — а | > |
0, т. е. |
ж Ф а. |
|
|
|
|
Если Y — область изменения рассматриваемой функции, то b |
||||
есть точка сгущения множества Y. |
|
|
||
Если неравенство (6) выполняется при условии 0 <; ж — а < б, |
||||
то число Ъ называется |
пределом справа и обозначается символом |
|||
b — lim / (ж), или / (a-f-0). Аналогично при условии 0 < |
а —ж < 5 |
|||
X -*• с + 0 |
lim / (ж) = f (а — 0). |
В этих |
случаях |
|
имеем |
предел слева |
|||
X -► а ~0
пределы называются односторонними. Если само а = 0, то вместо
0 + |
0 (0 — 0) пишут просто + 0 |
(—0). |
|
|
|
||
Г е о м е т р и ч е с к а я |
и л л ю с т р а ц и я |
в |
п р е д е л а |
ф у н к |
|||
ц и и . |
Рассмотрим график (рис. 12) функции / (х) |
промежутке изменения |
|||||
у, определяемом |
неравенством Ъ— е |
у <^ Ь |
г. |
Прямые, |
проходящие |
||
через точки оси |
ординат у і = |
Ъ— е и у2 = b -f- s параллельно оси абсцисс, |
|||||
пересекают график только в точках А я В, проектируя которые на ось абсцисс получим точки х\ — а — Ôj и х 2 = а + ô2. Выберем наименьшее из чисел ôi и 08 и, обозначив его через Ô, рассмотрим промежуток о — & <^х <; a + ô (с исключенной точкой а). Проведем прямые, параллельные оси ординат, через
точки оси абсцисс а — ô и а + |
б. |
а, то для каждого е >> 0 |
|
Итак, если число |
Ь есть предел / (х) при х-+ |
||
существует число Ô |
0 такое, что график функции f (х), соответствующий |
||
изменению х на множестве а — ô |
ж <) a -f- ô (х ^ |
а), не выходит из полосы |
|
b — е < у < Ь + е . |
|
|
|
Из определения 3 непосредственно вытекают |
три |
|
след |
||||||||||||||||
ствия. |
|
1. |
Если |
постоянная |
Ъ есть |
предел |
функции |
||||||||||||
С л е д с т в и е |
|||||||||||||||||||
/ (х) при стремлении х к |
а, |
то |
эту функцию |
можно |
представить |
||||||||||||||
в виде суммы числа |
b и бесконечно малой величины а (х): / (х) |
= |
|||||||||||||||||
— b + а (х). |
|
2. |
Если |
функцию / (х) |
можно |
представить |
|||||||||||||
С л е д с т в и е |
|||||||||||||||||||
в виде суммы некоторой постоянной |
b и бесконечно малой а |
(х) |
|||||||||||||||||
при стремлении х к а, то существует |
и |
равен |
b |
предел |
/ (х) |
||||||||||||||
при стремлении х к а, |
т. е. b ~ |
lim / (х) при х -*■ а. |
|
|
точке |
||||||||||||||
С л е д с т в и е |
3. |
Функция |
не |
может иметь |
в одной |
||||||||||||||
двух |
различных |
пределов. |
Действительно, |
и |
если |
/ (х) ->■ b |
|||||||||||||
и / |
(х) -> с |
при |
X -> а, |
то |
/ (х) |
— |
Ъ + сс |
/ |
(х) |
— с + |
ß. |
||||||||
Следовательно, b -f |
а |
с -f~ ß |
и |
Ъ — с |
-- |
ß — а, |
где |
ß — а |
— |
||||||||||
|
|
|
|
|
бесконечно |
малая, |
a b — с |
— постоян |
|||||||||||
|
|
|
|
|
ная. Этой постоянной может быть только |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
нуль: b — с = |
0. |
Поэтому |
b = с. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
14. |
|
Предел |
функции |
при стремле |
|||||||||
|
|
|
|
|
нии аргумента к |
бесконечности. |
|
Если |
|||||||||||
|
|
|
|
|
множество {х} содержит сколь угодно |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
большие |
по абсолютной величине |
зна |
||||||||||||
|
|
|
|
|
чения ж, |
то говорят, |
что |
оо |
является |
||||||||||
|
|
|
|
|
точкой сгущения |
для |
{х}. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
Пусть |
Е — данное |
положительное |
|||||||||||
|
|
|
|
|
число. |
Числовое |
множество, |
все |
эле |
||||||||||
|
|
|
|
|
менты которого удовлетворяют условию |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
\х \ |
Е , |
назовем Е-окрестностъю |
бес |
|||||||||||
|
|
|
|
|
конечно |
удаленной |
точки. |
Множество |
|||||||||||
вем |
.Е-окрестностью |
|
чисел, |
больших |
(меньших) |
Е, |
|
назо- |
|||||||||||
оо |
(соответственно |
Е'-окрестностыо — оо). |
|||||||||||||||||
О п р е д е л е н и е |
5. Пусть функция / (х) |
определена |
|
в не |
|||||||||||||||
которой окрестности |
X |
бесконечно |
удаленной |
точки. |
Число |
b |
|||||||||||||
называется |
п р е д е л о м |
f (х) |
п р и |
|
с т р е м л е н и и |
х |
|||||||||||||
к б е с к о н е ч н о с т и , |
если |
для |
каждого |
положительного |
г |
||||||||||||||
существует |
соответствующее |
Д Д О |
такое, |
что |
выполняется |
||||||||||||||
неравенство |
\ / (х) — b | < е , |
если |
\х \ |
Д> А. |
При |
этом |
пишут |
||||||||||||
lim |
/ (х) = |
Ъ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X - + с о
Если рассматриваются лишь положительные (или лишь отри цательные) значения х, то говорят о пределе функции при стрем лении X к + оо (или к — оо).
Введем понятие предела |
последовательности. |
Пусть |
функция |
||||
/ (х) |
определена на |
множестве |
натуральных |
чисел |
X = {п}• |
||
Обозначим X = п и / (п) = уп. |
Ъ |
называется п р е д е л о м |
|||||
О п р е д е л е н и е |
6. Число |
||||||
п о с л е д о в а т е л ь н о с т и |
{уп} |
п р и с т р е м л е н и и |
|||||
п к |
б е с к о н е ч н о с т и , |
если для каждого |
положительного |
||||
8 существует положительное число N |
такое, что для всех п О N |
||||||
выполняется неравенство \ у„— Ь\ < е. При этом пишут 6 = 1ітг/„.
п ~> со
Заметим, что определение 6 согласуется с определением 5. Так, в определении 6 участвует условие п > N вместо | ж | > Д , но оба они представляют некоторое множество точек из окрест ности бесконечно удаленной точки, на котором данная функция определена.
П р и м е р і. Докажем, что lim gn = 0, если | g | < 1- Для этого фиксп-
СО
руем любое положительное е и докажем, что неравенство | qn | <( г выпол няется для всех достаточно больших значений переменной п, т. е. при п > N, где N —некоторое число.
Неравенство |
g | <[ е |
равносильно |
следующему: |
в lg lg K l g e |
|
(где lg I g I <1 0, |
так как | q | < |
1), а также |
неравенству п > |
Iff S |
^ = N . * |
^ ^ |
|||||
Поэтому, если я > N, то будет выполняться неравенство | qn | <; е и наше утверждение доказано.
|
П р и м е р 2. |
Докажем, что lim |
qn= оо при [ q \ > 1 . Для этого фикси |
|||
руем положительное Е. |
Выясним, |
при каких я выполняется неравен |
||||
ство |
I qn I > |
Е. |
Оно |
равносильно |
неравенствам |
я lg | q | > lg Е и |
п > |
-Л—I—1- = |
N (где I q I > |
1 и lg I q I > |
0). Поэтому, если n > N, то | qn | > £ , |
||
|
Щ\Ч \ |
|
|
|
|
|
что и требовалось доказать.
15.Основные теоремы о пределах. Здесь рассматриваются
функции одного |
и того же аргумента х, |
при этом х |
стремится |
|||||||||||
к а или X стремится к бесконечности. Все теоремы и. 15 имеют |
||||||||||||||
место в обоих этих |
случаях; |
они верны |
также |
и для |
последо |
|||||||||
вательностей. |
Мы приведем доказательство |
для |
одного |
из этих |
||||||||||
случаев (именно, когда х -> а), |
|
потому |
что для другого |
доказа |
||||||||||
тельство аналогично (см. п. 20). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Лемма (о |
сохранении |
|
знака |
функции, |
имеющей |
отличный |
||||||||
от нуля предел). |
Пустъ |
ф ункция f (х) |
|
определена |
в некоторой |
|||||||||
окрестности |
точки |
а, |
за |
исключением, |
|
может |
бытъ, |
самой |
||||||
точки а. Если при |
х — а |
функция f ( x ) |
|
имеет |
положительный |
|||||||||
(от рицат ельны й) |
предел, |
то |
и |
сама |
ф ункция |
положительна |
||||||||
(от рицат ельна) по крайней мере для значений х, достаточно
близких к а и не равных |
а. |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Из факта |
существования предела |
b = lim / (х) следует, что |
каждому g > |
0 соответствует ô > 0 |
X -+ а |
|
|
такое, что при условии 0 < |
| ж — а | <; ô выполняется неравенство |
||||||
|
|
|
b — е < |
f ( x) < |
5-fe. |
(6а) |
|
Если |
Ъ> |
0, |
то возьмем е ==— '&. |
Из левой части |
нера |
||
венства |
(6а) |
|
следует, |
что |
f(x) > Ъ ----—{ Ъ — ~ Ь > 0 |
при |
|
0 < | £ — а I •< |
Ô. |
|
|
|
|
|
|
Здесь знак = |
употребляется в смысле обозначения. |
|
|||||
. Если Ь<О, то возьмем е = ----—Ъ. Из правой части неравенства
(6а) следует, что |
f{x)<. b— ~-Ь = -^-Ь< 0 |
при |
0 < | х — a J < ô . |
||||
Лемма доказана. |
|
|
|
|
|
|
|
Пусть переменные и = и{х) и ѵ — ѵ(х) |
имеют пределы |
||||||
|
lim и (х) = Ъ, |
lim v (х) = с. |
|
||||
|
х-*а |
|
х-+а |
|
|
|
|
В силу следствия |
1 п. 13 |
имеем и — |
bа, |
г; = |
с + ß, где а |
||
и ß — бесконечно малые при стремлении х к а. |
|
||||||
Теорема 1. Предел суммы двух переменных, имеющих пределы, |
|||||||
существует и равен сумме |
пределов слагаемых: |
|
|||||
|
lim (и + і?) ~ |
lim и |
lim |
ѵ. |
(7) |
||
|
х-*а |
|
х~*а |
X +а |
|
|
|
Действительно, согласно условию теоремы переменную и + ѵ можно представить в виде суммы постоянной b + с и бесконечно малой а + ß:
и + v = (Ь + с) + (а + ß).
Отсюда следует (см. следствие 2 п. 13), что переменная и + ѵ имеет предел, равный b + с.
Теорема 2. Предел произведения двух переменных, имеющих пределы, существует и равен произведению пределов сомножителей :
lim (uv) — lim и |
lim v. |
(8) |
|
x-+a |
x->a |
x-*a |
|
Эта теорема доказывается аналогично теореме 1 с помощью равенства иѵ ~ Ъс + (ас + ß& + aß).
С л е д с т в и е . Постоянный множитель можно вынести за знак предела'.
lim сѵ (х) = с lim v (х). |
(9) |
х-+а х-*а
Действительно, если в формуле (8) положить и — с, то получим равенство (9).
П р и м е ч а н и е . Формула (7) распространяется на случай алгебраи ческой суммы любого конечного числа слагаемых, а формула (8) — на случай любого конечного числа сомножителей.
Теорема 3. Предел отношения переменных, имеющих пределы, существует и равен отношению пределов этих переменных, если предел последующего члена отношения не равен нулю:
|
|
|
= т «*<»■ |
<10> |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . Требуется доказать, |
что разность |
||||
U |
Ъ |
Ъ-\-а |
^- = (ас — ßb) Т- |
( « ) |
|
V |
с |
с + |
|||
|
|
||||
есть величина бесконечно малая при стремлении х к а.
По условию переменная ѵ стремится к с, поэтому переменная
сѵ имеет предел |
lim сѵ — с2, больший нуля. |
Таким образом, |
|||
числу е = — с2 |
0 |
соответствует такое ô > 0 , |
что |
при |
|
0 < |х — а) <Сô выполнено соотношение 0 < с 2 — г <ісѵ < |
с2 + е. |
||||
I |
|
Отсюда следует, что 0 < |
1 |
2 |
и пере |
Имеем 0 < —с <Ссѵ. |
— |
< — |
|||
менная — ограничена.
СѴ
Правая часть равенства (11) представляет произведение беско-
нечно малой ас — ß b на ограниченную — и поэтому есть величина
бесконечно малая. Отсюда прямо следует заключение теоремы.
П р и м е р 1. Вычислить lim |
З х - і- 5 |
------ - . По формулам (10), (9) и (7) последо- |
|
X-►1 |
4х I |
вательно получаем |
|
|
|
|
Зж —р- о |
lim (3x + 5) |
ЗІітаг + 5 |
__ 8 |
|
х->-і__________ ___ |
х - > і |
|||
4х —2 |
1іт(4х —2) |
4 lim г —2 |
~ |
2 ~ ' |
|
Х-+1 |
|
|
|
|
х2_4 |
|
|
применить формулу |
П р и м е р 2. Вычислить lim ------ —. Здесь нельзя |
||||
|
х -*2 х 2 |
|
|
|
(10), так как предел знаменателя равен нулю. Поэтому до перехода к пределу произведем сокращение дроби на общий множитель х — 2; получим
|
lim |
X2 —4 |
lim |
(*— 2) (s+2) |
__ |
lim (х + 2) = 4. |
||||||
|
х->і |
X — 2 |
хч-2 |
|
х |
2 |
|
х-*-2 |
|
|
||
Теорема |
4. |
В неравенстве, обе части которого имеют пределы, |
||||||||||
можно перейти к пределу, присоединив знак равенства. |
||||||||||||
Дано: 1) в некоторой окрестности точки а (за исключением, |
||||||||||||
может |
быть, |
самой |
точки |
а) |
функции |
и (х) |
и |
ѵ (х) определены |
||||
и удовлетворяют соотношению и (х) |
]> |
ѵ (х), |
2) существуют пре |
|||||||||
делы |
этих функций |
Ъ = |
lim и (х) и с = |
lim |
ѵ (х). |
|||||||
Доказать, |
что b ^ с. |
х-+а |
|
|
|
|
х~+а |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Рассуждая от противного, предполо |
|||||||||||
жим. |
что |
b < с . |
Переменная |
и |
(х) — v |
(х) |
имеет предел |
|||||
lim [и (х) — |
v (ж)] = |
Ъ — с меньший |
нуля, |
так |
как b < с . Сог |
|||||||
X |
-+ а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ласно лемме в некоторой окрестности точки а выполняются неравенства и (х) — ѵ (х) < 0 и ц (х) < ѵ (х), что противоречит усло вию теоремы. Следовательно, b s» с.
1 1
П р и м е р 3. Переменные 3 -f- — и 3 -----— удовлетворяют соотноше-
равны.
Теорема 5 (о сжатой переменной). Если две переменные стре мятся к одному и тому же пределу, а третья переменная заклю
чена между ними, то и она стремится к этому же пределу. |
|
|
|||||||||
Дано: 1) в некоторой окрестности X |
точки а функции и (х), |
||||||||||
V (X) и |
w (X) определены и удовлетворяют соотношению |
и (х) |
= |
||||||||
V (х) =5 w (х), |
2) существуют |
и |
равны |
пределы |
lim |
и (х) |
|||||
= lim |
w (X) = |
Ъ. |
|
|
|
|
|
х-*-а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
х~*-а |
|
что |
существует |
lim |
ѵ (х) |
и что |
lim v (х) |
= |
Ъ. |
||
Доказать, |
|||||||||||
|
|
|
|
х-+а |
|
е )>0. |
х-*-а |
|
суще |
||
Д о к а з а т е л ь с т в о . Фиксируем |
Из |
факта |
|||||||||
ствования пределов переменных и ш w следует, что 1) существует окрестность Х г точки а, в которой (при х Ф а) выполняется нера
С |
венство |
Ъ — е |
< и < |
Ъ + 8, |
|||||
2) существует окрестность Х 2точки |
|||||||||
|
|||||||||
|
а, |
в которой |
(при х Ф |
а) |
имеем |
||||
|
Ь — в < « ’ •<& + |
е- |
|
|
|
||||
|
|
Отсюда |
следует |
согласно пер |
|||||
|
вому условию |
теоремы, что если |
|||||||
|
X Ç Х гХ й и X Ф а, то Ь — е < |
||||||||
|
I v — Ь I < 8 . |
|
+ 8, |
а |
также |
||||
|
|
доказано, |
что |
||||||
|
для |
Таким |
образом, |
||||||
|
любого е )> 0 |
существует |
со |
||||||
|
ответствующая |
окрестность Х гХ 2 |
|||||||
|
точки а такая, что выполняется не |
||||||||
|
равенство |
I |
г; — |
b I < |
8, |
если |
|||
X £ Х гХ 2 и X Ф а. Следовательно, |
число |
b есть предел ѵ (х) при |
|||||||
стремлении х к а. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16. Один важный предел. Установим следующее |
равенство: |
||||||||
1іт ДІЕ±= і. |
|
|
|
|
(12) |
||||
Х-+0 |
Х |
|
|
|
|
|
|
|
|
Прежде всего выведем при условии 0 <с.х < 4 - |
тригонометри- |
||||||||
ческое неравенство |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
X < tgar. |
|
|
|
|
|
|
|||
sin а; < |
|
|
|
|
(13) |
||||
Для этого рассмотрим (рис. 13) дугу AB окружности радиусом г, хорду A B и отрезок АС касательной к окружности в точке А. Из построения следует, что площадь треугольника АОВ меньше площади сектора АОВ, которая в свою очередь меньше площади треугольника АОС. Поэтому, если под х понимать дуговую меру
угла АОВ при условии 0 <^х < у , то имеет место соотношение
Y r2s mx < Y r x < Y r
j
и по сокращении на — г2 получим неравенство (13).
Из соотношения (13) следуют неравенства 1 < ----- |
■<----- и |
sin X |
cos х |
|
|
|
|
|
|
л ^ |
|
sin X ^ |
cos X, |
|
|
|
|
/л ,ѵ |
||||
|
|
|
|
|
|
1 > |
—-— > |
|
|
|
|
(14) |
||||||
|
|
|
|
|
л |
. I |
|
Sin* |
. |
|
|
|
% g* X |
л |
х, |
|||
а также соотношение 0 < |
1 ---------< |
1 — cos х — 2 sm2 — < |
2 -г-= |
|||||||||||||||
|
|
|
X |
|
|
X |
X |
X |
|
|
|
|
|
|
Z |
Z |
|
|
так |
|
|
|
|
|
. Согласно теореме о сжатой пе- |
||||||||||||
как sin — <( 1 |
ив і п — |
|
|
Z |
||||||||||||||
|
|
„ |
и |
|
|
Z |
|
|
п ^ . |
sinx |
^ |
|
|
|
|
|||
|
|
из |
неравенства |
|
х |
следует, |
что |
|||||||||||
ременной |
|
0 - < 1 ----- -— < |
|
|||||||||||||||
/ . |
sin x |
\ |
„ |
|
, |
|
п |
т. |
е. |
|
|
sinx |
|
. |
|
|
|
|
( 1----------->- 0 |
при |
X -> + О, |
|
lim --------- = |
1. |
|
|
|
||||||||||
\ |
х |
/ |
|
|
|
|
X |
|
ЛГ-+0 |
х |
|
|
|
|
|
|||
Если ж < 0 , |
|
|
S i n |
S ill ( |
- |
где |
|
—а: > 0 |
и по до |
|||||||||
то имеем —-— = — |
|
—- , |
|
|||||||||||||||
казанному lim |
81- ж■= 1. Отсюда следует формула |
(12). |
|
|
||||||||||||||
17. |
|
х— о |
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Число е. Натуральные логарифмы. В высшей математике |
||||||||||||||||||
встречается введенное еще в |
|
XVII |
в. число, которое обозначается |
|||||||||||||||
буквой |
е. |
Число |
это |
можно |
определить |
как |
предел |
функции |
||||||||||
/ (х) |
= |
(1 + х)1/х при стремлении х к нулю: |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
е = lim (1 -f- х)ІІХ. |
|
|
|
|
(15) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
Х-*0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Предполагается, что х =/=0 ш х Ф —1, так как функция / (х) не определена при этих значениях аргумента. Факт существования этого предела мы примем без доказательства.
Если в равенстве (15) положить х = — (при стремлении х
к нулю переменная у стремится к бесконечности), а затем вер нуться к прежнему обозначению независимой переменной (обозна чив через X величину у), то получим
е — lim |
( 1 + - j V . |
(16) |
|
В частности, если функция ^1 + |
рассматривается только на |
||
множестве натуральных чисел, то из (16) следует, что |
|
||
е ~ lim |
( l + i - Y 1. |
(17) |
|
f l - * СО |
’ |
п ' |
|
Постоянное число е иррационально и приблизительно равно 2,7182818284...
Н а т у р а л ь н ы е л о г а р и ф м ы . Число е принято за основание системы логарифмов, называемых натуральными. Нату ральный логарифм X обозначается символом In х. Установим связь между натуральными и десятичными логарифмами. Для этого,