книги из ГПНТБ / Сахарников Н.А. Высшая математика учебник

с плоскими основаниями, параллельными плоскости Оху. Нижнее основание цилиндра пусть совпадает с основанием соответству­ ющего элемента, а высота цилиндра равна одной из аппликат

брать наименьшую из аппликат тк, а затем наибольшую из ап­

Первое из этих тел содержится в области В, а второе содержит В,

причем ѵп ^ ап ^ Ѵп.

Желая сблизить величины ѵп и Ѵп, будем увеличивать число п, уменьшая при этом диаметры в с е х элементарных площадок

А на элементы. Следовательно, переменная оп имеет тот же предел:

соответственно. Множество этих элементарных частей области А назовем разбиением 8п. Обозначим через \ п наибольший из диа­

5°. Теорема (об оценке интеграла). Абсолютная величина интеграла не превосходит интеграла от абсолютной величины под­ ынтегральной функции

(см. п. 123), в замкнутой области А функция / (М ) достигает своего наименьшего значения р и наибольшего значения q. Поэтому вы­ полняется неравенство р sg / (М ) sç q. Умножим его на g (М ) (пусть для определенности g(M) >>0) и, интегрируя по области А, получим

(10>

ÀА

Здесь, в силу теоремы Коши (см. п. 123), число р есть одно из

значений функции / (М) в А, т. е. р == / (М*), где М* Ç А. По­ этому из (10) следует формула (8). Теорема доказана.

В соответствии с равенством (9) под средним значением функции у — / (М) в области А понимают отношение двойного интеграла к площади области А:

АА

170.Вычисление двойного интеграла в декартовых коорди­ натах. Пусть функция f(x, у) непрерывна в прямоугольнике А,

Преобразовав каждый из этих интегралов по теореме о среднем, получим

Таким образом, вычисление двойного интеграла сведено к вы­ числению соответствующего повторного интеграла. Можно дока­

ция / (х, у) непрерывна или кусочно-непрерывна в области А , заданной неравенствами

a ^ x s c b , уг (х) у у2 (х), (15)

где у 1 (х) и у2(х) непрерывны в [а, Ь\. Заключим область интегри­ рования А в прямоугольник В: а ^ Ь, с ^ у д, где с — наименьшее значение Ух(х) в [а, Ь], а д — наибольшее значение

Уъ{х) в [а, b] (рис. 114). Определим в этом прямоугольнике функ­ цию /* (х, у) следующими равенствами:

(/ (я, у), если точка' (х, у) принадлежит А,

f* (х’ у) = {[ 0 во всех других точках прямоугольника В. Функция /* (х, у) кусочно-непрерывна в прямоугольнике В. Со­ гласно формуле (14) имеем

I 1 1* (ж, у) dF = Jи dx Jи/* (х, у) dy.

Отсюда следует формула

Уг (ж )

Действительно, в соответствии с определением /* (ж, у) имеем

В частности, если область интегрирования есть прямоугольник 5 г ^ 6, с sg у SÇ д, то согласно (14) и (17) имеем

Выражение dF = dx dy называется элементом площади в де­ картовых прямоугольных координатах.

Сформулируем основную формулу (16) в виде правила приве­ дения двойного интеграла к повторному. Пусть область А пере­

секается прямыми, параллельными оси Оу, не более чем в двух точках.

тегрирования А пересекается прямыми, параллельными оси Оу (соответственно Ох), не более чем в двух точках. Если это условие

включая ось абсцисс. Поэтому область А есть полукруг (рис. 116). Границу

о

171. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах.

При вычислении двойного интеграла (6) в полярных координатах область А разбивается на элементы координатными линиями полярной системы координат, т. е. дугами окружностей с центром в полюсе и лучами, исходящими из полюса (рис. 117). Такое

разбиение допустимо потому, что / (х, у) интегрируема в А, и по­ этому величина интеграла не зависит от способа разбиения области А на элементы.

Две пары близких координатных линий г и г + Дг, <р и ср + -г Дф ограничивают элементарную часть области А, предста­ вляющую криволинейный четырехугольник. Его можно принять приближенно за прямоугольник со сторонами Дг и гДф, площадь которого равна AF — гДгДф. Поэтому двойной интеграл ((>) можно представить в полярных координатах в виде такого пре­ дела:

Здесь правая часть есть двойной ин­ теграл от функции / (г cos ф, г sin ф) г. Отсюда следует формула вычисления двойного интеграла в полярных ко­ ординатах

Выражение dF = г dr <іф называется элементом площади в по­ лярных координатах.

Для вычисления интеграла (18) путем сведения его к повтор­ ному интегралу можно применить правило п. 170, учитывая, что роль переменных интегрирования играют г и ф. Таким образом, приходим к равенству

ß гг (ф)

Именно поэтому вычисление двойного интеграла в таких случаях целесообразно, вообще говоря, в полярных координатах.

П р и м е р 1. Вычислим интеграл примера п. 170 в полярных координатах. Полюс выберем в точке (1, 0), т. е. в центре полукруга А, а полярную ось направим вдоль положительного направления оси Ох. В этой системе коор­ динат область А характеризуется неравенствами О ^ ф ^ я , 0 ^ r = ç : l .