Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Сахарников Н.А. Высшая математика учебник

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.10.2023

Размер:

24.22 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 4826 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 > Следующая >>>

159. Вычисление длины дуги. Пусть дуга AB задана уравне нием у = у (х), где у (х) — функция, непрерывно дифференциру емая в [а, 6]. График у (х) в этом случае есть так называемая глад кая кривая. Геометрически это условие значит, что кривая в каж дой точке имеет касательную, направляющие косинусы которой непрерывно зависят от х (см. п. 132).

Докажем, что гладкая кривая имеет длину дуги, и найдем эту величину. Для этого разделим кривую AB на п частей (рис. 109)

точками ІИ-!, М 2,	. . .,	М п_і с	абсциссами х 1; х 2,				. . .,	хп_1и ор
динатами у х, у 2,	. . .,	уп_х.	Обозначим	а =		х 0,	Ъ =	хп, Axk =
			=					Vk~~ Vk~1
			и Хп — наибольшую из						ве
			личин 'Azl5 . . ., Ахп .
			Рассмотрим					ломаную
			А М ХМ 2. . . В , вписанную						в
			AB.	Длину			каждого звена
			ломаной			найдем по теореме
			Пифагора			и суммируя,			по
			лучим		периметр			ломаной
			= S		/(А*) +			(Лг/Д2.
			Положив				здесь	согласно
формуле конечных приращений Ayk = у'				(ck) Axk,			получим
		V l ~ y ’2(ck)		Axk.					(7)
		/г=1
Длиной дуги кривой называется предел периметра								вписанной

в эту дугу ломаной при безграничном уменьшении всех ее звеньев, если этот предел существует и не зависит от выбора ломаной. В наших условиях величина о„ есть интегральная сумма в про

межутке [а, Ъ] функции У I + у'2 (х), которая непрерывна; по этому существует упомянутый в определении предел. Этим преде лом является интеграл, который и есть длина дуги AB

s = jь j / l 4- у’2 (х) dx.	(8)
а
Если кривая AB задана п а р а м е т р и ч е с к и	уравне
ниями
x=x(t), y = y{t) (asS£«Sß)	(9)

и кривая гладкая, т. е. существуют непрерывные х' (t) и у' (t), то путем замены переменной х = х (t) в (8) получим длину дуги AB

Р
s = \ Ѵ х ' г + у ' 2 dt.	(10)

Формула (10) обобщается на случай гладкой кривой в про странстве, заданной уравнениями х = х (t), у = у (t), z = z (t) при а sç t sg ß. Длина такой дуги равна

				ß	_________ __
		s — I Y х' 2-+у' 2 + з ' 2dt.				(11)
				а
Если плоская кривая AB задана в п о л я р н ы х						к о о р д и
н а т а х	уравнением г =				г (ср) при а ^ ср =5 ß, то параметриче
ские уравнения		этой		кривой будут х = г (ср) cos ср, у = г (ср) X
Xsin ф.	Поэтому	х'	=	г' COS ф — г sin ф, у' — г' sin ф -г Г COS ф,
и по формуле (10)			получим

ß_______

	s =	j ] /r 2-f-г '2dq>.							(12)
		а.
	П р и м е р . Вычислить	длину	окружности радиусом				R.	Для	этого
напишем уравнение окружности в полярных координатах: г =							R	при 0
==:(рг£; 2я и по формуле (12) получим s =					?х	2яЯ.
==:(рг£; 2я и по формуле (12) получим s =					\| R dtр =	2яЯ.
	'			о
	160. Площадь поверхности вращения. Пусть гладкая дуга								AB
задана уравнением у — у (х) в			[а,	6].	Требуется найти площадь
FBр	поверхности, образованной			вращением		дуги	AB	вокруг
оси	Ох.
	Площадью поверхности, образованной вращением плоской дуги

вокруг оси, лежащей в плоскости дуги, называется предел пло щади поверхности, образованной вращением вокруг той же оси вписанной в эту дугу ломаной, при неограниченном уменьшении

всех ее звеньев.	М п_г на элементы
Разделим дугу AB точками М г, М 2, . . .,	М п_г на элементы
и впишем в нее соответствующую ломаную.	Поверхность, обра

зованная вращением к-то звена ломаной, есть боковая поверх

ность усеченного конуса с площадью		Fk = л (ук-і		+ Ук) АД,	где
Аlk =	V (Az*)2 -і- (АУк)2 =	/ 1 + У’2 (ck) Axk,
Хк-і <	ck < xk, ук_г = у (хк^),		Ук = У (xk).
Площадь поверхности вращения ломаной равна
	П
	k=i я (ук- 1 + Ук) /	1+ у'2(ck) Axk.
Согласно определению FBp = lim		при Хп ->0.		Докажем,	что
если у (х) и у' (х)	непрерывны в [а,	Ъ],	то
	ь
	^ Вр — 2л j г/ У 1 А у ' 2 dx.				(13)

Для этого рассмотрим интегральную сумму а^ функции

2пу У I - f у '2, соответствующую нашему		разбиению		дуги	Hi? и
такому выбору	промежуточных точек:	=	cÄ. Оценим разность
	71
0 » - < =	я 2 lîk-i -f-Ук— 2у (ск)] ]/1 +		У" 2 (С) Да.		(14)
	fc=i
Согласно теореме Вейерштрасса об ограниченности функции,
непрерывной в замкнутом промежутке, имеем О <С / 1				+ у '2 < М.

Согласно теореме Кантора, функция у (х) равномерно непрерывна

в промежутке		[а,	Ь].	Поэтому	для каждого е > 0				существует
0(e) > 0	такое,		что	\| ук_г — у (ck) \| <			е,	\yk — у (cj \| < е		и
I Ук-х^г Ук — 2у (ck) \ <				2е при	< 6 . Следовательно,				при Ял <	ô
выполняется неравенство \|ст„ —					\|	<<2леМ (Ь — а),			которое по
казывает,	что	разность		оп — а'п есть бесконечно малая при стре
млении Хп к нулю и что переменные ап и о'п имеют									одинаковые
пределы,	равные		величине (13).
П р и м е р .		Найти площадь шарового					пояса,	образованного враще
нием вокруг оси Ох дуги окружности X2 +						у2 =	R 2, соответствующей измене
нию ж от а до 6. Здесь у =				V R 2 — ж2,	у'	= — —, 1 + у' 2 =			и по фор-
							У		У

муле (13) получим

Fвр = 2лЯ J dx = 2nR (Ь — а).

В частности, при а = —Д, Ь = R имеем площадь всей сферы:

^вр = 2лЛ • 2R = 4яД2.

161.Статические моменты и координаты центра тяжести.

Статическим моментом материальной точки, находящейся в пло скости Оху, относительно координатной оси Ох (или Оу) назы вается произведение массы этой точки на ее ординату (соответ ственно — абсциссу). Статическим моментом системы таких точек Му, . . ., М п относительно координатной оси называется сумма статических моментов всех точек системы относительно этой оси.

Центром тяжести системы материальных точек с массами

ту, . . ., тп называется точка С, обладающая тем свойством, что

если в ней сосредоточить всю массу системы т — т х -(-... + тп, то ее статический момент по отношению к любой оси равен стати ческому моменту системы точек относительно той же оси. Поэтому, если обозначить через Sx и Sy статические моменты системы точек относительно координатных осей Ох и Оу, то координаты хс и ус центра тяжести С удовлетворяют соотношениям

тхс = Sy = тхху -Ь тпхп, тус = SX = тхух+ .. . + т„уп, (15)

где xk, yk — декартовы координаты точки с массой mk.

Следовательно, центр тяжести данной системы материальных точек имеет координаты

„	__ T O l æ l +	• ■ • -\-т пх п			, , __ т \Ух~\- . . .			+	піпУп	и а \
Х С		п		’	У		П		•
Статические моменты и координаты центра тяжести дуги
плоской линии. Пусть			гладкая дуга AB				задана		в промежутке
[а, Ь] уравнением у		—	у (х) и на ней непрерывно					распределено ве
щество с	плотностью		р (х). Разделим			дугу AB на п элементов
M k_1Mk (к = 1, . .			п).	Сосредоточим		массу		каждого		из эле
ментов Mk_1Mk в одной его точке N k (xk, yk). При этом										условии
получим	приближенные			выражения		элемента			массы	Аmk ^
(хк) Ask и элементарных статических моментов относительно ко
ординатных осей АSxk ^				укАтк,	АSyk t=&хкАтк.
Суммируя и переходя к пределу при Хп							0, получим выраже
ние массы материальной дуги
				ъ
			т-= [ р ]/1 + У’2 dx							(17)
и ее статических моментов относительно координатных осей
	ъ					ъ
	Sx = § p y \ f l + y ' 2dx,				Sy=	J рх Y i		+ у’ 3 dx.		(18)
	а					а

Для нахождения центра тяжести С (хс, ус) материальной ду ги AB в соответствии с определением этого понятия составим равенства тхс = Sy и тус = Sx, из которых следует, что

Xс	PJL	(19)
	т

где т, Sx и Sy определяются формулами (17) и (18).

Первая теорема Гульдина *. Пустъ дуга AB и прямая а лежат в одной плоскости и не пересекаются. Площадь поверхности, обра зованной вращением дуги AB вокруг оси а, равна произведению длины дуги sAB на длину окружности, которую описывает ее центр тяжести. Если а есть осъ Ох, то

F bp^r-2nyc -sAB.		(20)
Действительно, если умножить	равенство	тус — Sx на 2я,
то получим
2яуст = 2яjъру Y	1 + у' 2 dx.

* Пауль Гульдин (1577—1643) — швейцарский Математик.

Здесь в левой части т =	при р = 1, а правая часть		равна FBpt
согласно (13). Отсюда следует (20).
П р и м е р 1. Найти	координаты	центра тяжести полуокружности
радиусом R с центром в начале координат, симметричной относительно оси Оу
при условии р = 1. Из соображений		симметрии заключаем,	что хс = 0.

Для нахождения ус полагаем в формуле (20) FBp = 4яR 2 и sAB = лЯ. По-

2ft

лучим равенство 4лR2 = 2яус -яЯ, из которого следует ус = —-я«0,637R.

Статические моменты и координаты центра тяжести пло ской фигуры. Пусть дана криволинейная трапеция, ограниченная линиями X = а, X = Ь, у = 0 и у = у (х), и на ней распределено вещество с плотностью р = 1. Разделим промежуток [а, Ь] на п элементарных частей, а криволинейную трапецию на п соответ ствующих частей. Заменим каждую элементарную трапецию прямо угольником с основанием, равным Axk, и высотой, равной yk_t =

= у ixk_i). Получим	элемент массы Ат ^ у Ах я элементарные
	Л
статистические моменты ASX«=* —у Am, ASy ^ x A m .
Отсюда следуют выражения массы и статических моментов
всей фигуры:
ь	ь	ь
m=--\ydx,	Sx — ~ Y \ y 2dx,	Sy= \ x y d x .	(21)
а	а	а

Координаты центра тяжести хс и ус определяются, так же как и для материальной дуги, формулами (19), в которых под т, Sx и Sy следует понимать величины (21).

Если	умножить	равенство тус = Sx на 2л, то согласно (21)
	2яуст =	ь
получим	2яуст =	л j y2dx, где т = F, а правая часть согласно

(6) есть объем тела вращения. Таким образом, доказано следующее утверждение.

Вторая теорема Гульдина. Пустъ плоская фигура А и прямая а лежат в одной плоскости и не пересекаются. Объем тела, обра зованного вращением плоской фигуры А вокруг оси а, равен произведению площади FА фигуры на длину окружности, которую описывает ее центр тяжести. Если а есть осъ Ох, то

VBp = 2nycFA.

(22)

П р и м е р 2- Найти координаты центра тяжести полукруга, симмет ричного относительно оси Оу с центром в начале координат при условии, что р = 1. Из симметрии фигуры следует, что хс = 0. Для нахождения ус пола

гаем в формуле (22) Увр = - \| лі?3 и FA = -^-лЛ2; получим ус = -f- • — ^0.42Л .
и	2à	о ^

При изучении определенного интеграла от функции / (х) в про межутке [а, b] мы предполагали этот промежуток конечным, а функцию в нем ограниченной. При нарушении любого из этих условий нельзя построить определенный интеграл; так, в случае бесконечного промежутка нельзя разбить промежуток на п частей

конечной длины;	во втором случае оп не имеет предела. Однако
в естествознании	встречаются интегралы по бесконечному про

межутку и интегралы от неограниченных функций. Но это уже интегралы не в смысле определенного интеграла. Ниже рассмот рены эти новые понятия.

162.Интеграл по бесконечному промежутку. Пусть / (а;) непре

рывна при X ^ а. Интеграл				от	функции		/ (х) в	промежутке
й 5g л < о о обозначается		символом
			СО					(1)
			J	f(x)dx.				(1)
			а
Для каждого 6, большего а, существует интеграл с перемен
ным верхним пределомірис. 110)
					ь
		J(b) = $f(x)dx.						(2)
				а
О п р е д е л е н и е		1.	Несобственным				интегралом от функ
ции / (я) по бесконечному			промежутку a				х<С. оо	называется
предел интеграла (2)	при		стремлении			b к + о о -.
со					Ъ
J	f(x)dx=				lim \	f{x)dx.		(3)
а				^ -»■-foo а

Если этот предел конечен, то говорят, что несобственный инте

грал (1) сходится. Если же интеграл (2) при стремлении b к + о о не имеет предела, то интеграл (1) называют расходящимся.

Заметим, что согласно (3) сходящийся несобственный интеграл есть повторный предел, т. е. предел от предела, так как интеграл

(2) при каждом фиксированном		b сам является пределом соответ
ствующей интегральной	суммы.
со	lim	Ь
П р и)м е р 1. Г e~xd x ~	lim	[ e~xd x ~ lim [1— е~ь] — 1.
Q	Ьсо Q	h -*•-{- оо

В этом случае несобственный интеграл сходится. Его можно принять за вели чину площади фигуры, ограниченной линиями х = 0, у — 0 н у = е~х.

ооb

П р и м е р 2. Г	— =	lim 1 — =	lim lnö = + oq.
1J	Æ	£>->■-)-oo J1	b-»--co

Следовательно, данный интеграл расходится.

Рис. ПО.

П р и м е р 3. Выяснить, при каких значениях параметра а сходится

		СО
интеграл / =	р	d x			рассмотрен в		примере	2. При а=^= 1
интеграл / =	\	—. Случаи а = 1			рассмотрен в		примере	2. При а=^= 1
имеем	1
имеем						+ 00	при	а < 1 ,
		х і-а,	ь	іі—“_ 1		+ 00	при	а < 1 ,
J ( b ) =		х і-а,	ь	іі—“_ 1
J ( b ) =	1 — а		г	1—а	с о	—î—— при		а > 1 .
						а —1
Следовательно, данный интеграл сходится при							и расходится при

asg 1.	Исследование интеграла (1) на сходимость .можно за
П р и м е ч а н и е .	Исследование интеграла (1) на сходимость .можно за
менить исследованием	на сходимость интеграла от			/ (х)	в	промежутке
	(aJ, оо),	где ах )>	а.	Действительно, из ра
	венства
	b	(lx			b	/ (X) dx (4)
	j1/ (x) d x — J		f (x) dx -\|- J			/ (X) dx (4)
	a	a			a,
	следует,	что интегралы			в промежутках
	(a, оо) и («!, оо) вместе сходятся или рас
	ходятся.

Выясним условия сходимости несобственного интеграла по бес конечному промежутку. Согласно общему критерию Больца

но — Коши (см. п. 20), для существования предела функции J (Ь) при стремлении b к бесконечности необходимо и достаточно, чтобы для каждого е > 0 существовало число N (г) такое, чтобы вы полнялось неравенство | J (Ь") — / ( 6') |<( е при b" > V ^>N.

Принимая во внимание (2), имеем

Ь"	Ь'		Ь”
J (Ь") — / (b') = j* / (x)dx —		J/ (а:) dx =	j f (x) dx.
a	a		b*

Таким образом, мы приходим к следующему утверждению:

для сходимости интеграла (1) необходимо и достаточно, чтобы для каждого е )>0 существовало такое N (е), чтобы при всех Ь' и Ь", удовлетворяющих условию Ь" )> Ъ' Д> Л' (е), выполнялось неравенство

Ь”

I f f(x)dx\ < 8.	(5)
Ь'

О п р е д е л е н и е 2. Несобственный интеграл (1) называется

абсолютно сходящимся, если сходится интеграл

СО

$ \f(*)\dx.	(6)
а

Теорема 1. Из сходимости интеграла (6) следует сходимость интеграла (1).

Действительно, имеют место неравенства

Ь" Ь"

J / (х) dx I	J I / (х) I dx << е,
Ь'	Ь'

первое — при любых Ъ'и Ъ" Ъ' по теореме об оценке интеграла, второе — при Ъ" )> Ъ' > N в силу сходимости интеграла (6)

инеравенства (5). Следовательно, выполнено условие сходимости

(5)и для интеграла (1). Теорема доказана.

Заметим, что из сходимости интеграла (1) не следует сходи

мости интеграла		(6).	Это	показывает пример.
				СО
П р и м е р	4.	Интеграл		Г*	sin х	сходится, но не	абсолютно.*
П р и м е р	4.	Интеграл		\	-------- dx	сходится, но не	абсолютно.*
				0
Теорема 2	(теорема сравнения). Если функции / (х) и g (х) при
X ^ а непрерывны и			удовлетворяют			соотношению
				1f{x )\^ g{ x)			(7)

(по крайней мере при всех достаточно больших х), то из'сходи мости интеграла

СО
f g (х) dx	(8)

следует абсолютная сходимость интеграла (1), а из расходимости интеграла (6) следует расходимость (8).

Действительно, если (8) сходится, то имеют место неравенства

	Ь"	Ъ"
	\ f ( x ) \ d x ^	f g(x)dx < е,
Ъ'		Ъ'
первое — при Ь" >	6' в силу неравенства (7), второе — при Ъ" >
> Ь' >ІѴ в силу	сходимости	(8). Следовательно, выполнено ус

ловие (5) сходимости интеграла (6), и по теореме 1 интеграл (1)

сходится	абсолютно.				+ о о инте-
Если	(6) расходится, то при Ъ -► + о о стремится к				+ о о инте-
ь		а вместе с ним и интеграл	ь	dx,	что и до-
грал J I / (х) I dx,		а вместе с ним и интеграл	[g (х)	dx,	что и до-
a		à
называет расходимость интеграла (8).
	Р	COS X			іI cos X I
П р и м е р 5. J		j -Çxï ^х СХ0ДИТСЯ абсолютно,	так	как	- 1+*2

1+Z2 и интеграл

*	См.: В. И. С м и р н о в . Курс высшей математики, т. II, § 8.
17	Заказ 114

Теорема 3. Пустъ f(x) непрерывна при х ^	а. Если имеет
место неравенство
l / w i < 4	(9)

при каких-либо постоянных А )> О и ос О 1 для всех достаточно больших X, то интеграл (1) сходится абсолютно. Если неравенство

ж > 4

(ю)

выполняется при каких-либо постоянных А > 0 исс sç 1 при всех достаточно больших х, то интеграл (1) расходится.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть выполнено условие (9). Из

теоремы 2 при g (х) = ^	и примера 3 следует, что интеграл (1)
сходится абсолютно.		(10). Из второй части теоремы 2 при
Пусть выполнено условие
g (X) — и примера 3	при	а	1 следует расходимость инте

грала (1).

Условие (9) называется признаком Коши абсолютной сходи мости интеграла (1).

Пример

Иптеграл

- ,7 ,

абсолютно, так как

TJFT сходится

ж2 (! +

<?*)

при X ^ 1

имеет

место

неравенство

т.

выполнено

ж2(1+й*)

условие (9)

при

А = 1 и а = 2 .

„

СО

(l-bæ)dæ

Пример

так как при х _> 1

Интеграл

—----- —

расходится,

X У

1 +

т. е. выполнено

условие

(10)

при А = 1

имеем ----

——г ,

п а = — .

X У

Интегралы

по промежуткам

(—оо,

è]

и (—о о, + оо) опреде

ляются соответственно равенствами

f(x)dx=

lim

f(x)dx,

-j-jсо f(x).dx— сj* f(x)dx-tr + jс о

f(x)dx.

— CO

— c o

163. Интеграл от неограниченной функции. Пусть функция /(х) определена и непрерывна в промежутке a sg х < Ъи неограничена вблизи точки 6. В частности, / (х) -*■ оо при х Ъ.

Интеграл от неограниченной функции обозначается символом

j' f(x)dx. (11)

Для выяснения содержания этого понятия рассмотрим инте грал с переменным верхним пределом b — ß, где b — а > ß > 0:

b-ß
/(ß) = I f(x)dx.	(12)
a

О п р е д е л е н и е З . Если существует конечный предел пере менной J (ß) при ß -> +0, то этот предел называется сходящимся несобственным интегралом от неограниченной функции / (х) в про межутке от а до Ъ:

ь	ь-р
[f(x)dx--=	lim I f(x)dx.	(13)
a	0- + Oa

Если этот предел не существует (в частности, бесконечен), то говорят, что несобственный интеграл (11) расходится.

Если функция / (х) неограничена в окрестности точки а и в про межутке а <б X sg Ъ непрерывна, то по определению

^ f (х) d x ----=lim

f(x)dx.

(14)

a fcc

Пример

—

lim

2 lim

(l —V a) = 2,

интегрг

сходится.

nJ YГ x

ce->4-0 rJ-.

У х

a - to

П р и м е р

lim

l n (b — x)

= oo, интеграл расходится.

\ - г — — =

П р и м е р

аJ

Ъ-х

b-ß

Выяснить, при каких значениях параметра а сходится

интеграл

\ (Ь — х)а

Случай а —\ рассмотрен

в примере 2.

При а ^ 1

имеем

b-ß

__ (b —a)i-a —ß1-“

J « И

( оо

п р и а > 1 ,

х)а

1 —а

ß-+o

( const при а < 1 .

Следовательно,

данный

интеграл

сходится

при

a < 1

расходится при

Выясним условия сходимости несобственного интеграла (11).

Согласно общему

критерию

Больцано — Коши

для существова

ния предела функции /

( приß стремлении)

к нулю, необходимо

и достаточно,

чтобы

для

каждого

е > 0 существовало

соответ

ствующее

ô(e)

такое,

что

при

любых

'и

" удовлетво,

ряющих

условию

0 <; ß

Ô,4

имело

ßместо"

неравенство

( / ( ß ' ) - / ( ß " ) j < е .

<<< < Предыдущая 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 4826 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ