Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Сахарников Н.А. Высшая математика учебник

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.10.2023

Размер:

24.22 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 4825 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 > Следующая >>>

Д о к а з а т е л ь с т в о .		Фиксируем х и х + Ах в [а, Ъ\
и найдем приращение функции F (х). С помощью свойств 6° и 10°
определенного интеграла получим
х + А х	X	X	х + А х	X
АF = j	f{t) d t - J f(t)dt=	j f(t)dt +	j	f (t) dt — J / (t) dt =

	x+Ax
	= J f (t)dt = f (c) Ax.
	X
Таким образом, имеем AF = f (с) Ах, где с содержится					между x
и X + Ах. Следовательно,		существует		предел
dF	: lim	AF	- lim / (с)	:f(x).	(22)
dx	Дх-*0	Ах	А х-*с
С л е д с т в и е .	Непрерывная в промежутке Іа, Ъ)				функция

/ (х) имеет в этом промежутке первообразную.

Действительно, такой первообразной является интеграл с пере менным верхним пределом F (х), потому что, в силу теоремы Бар роу, F' (х) = / (х).

Теорема Барроу есть одна из основных теорем математического анализа. Из нее следует основная формула интегрального исчисле ния (см. п. 153), которую мы теперь и выведем при условии непре

рывности подынтегральной функции.		место фор
Теорема. Если / (х) непрерывна в	[а, Ъ], то имеет	место фор
мула
ь
j"/ (х) dx = ер (Ь) — ср(а),		(23)
а
где ф (х) — одна из первообразных /	(х) в промежутке	[а, Ъ\.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Существование первообразной для непрерывной / (х) доказано в теореме Барроу. Одной из таких пер вообразных служит функция F (х), определяемая равенством (20). Всякая другая первообразная ф (х) отличается от F (х) постоян-

ным слагаемым, поэтому имеем F (х)			= ф (х)	+	с или jX	/ (t)	dt =
ф (х) +	с. При x = а имеем 0 =		ф (а) +	с,	а
ф (х) +	с. При x = а имеем 0 =		ф (а) +	с,	т. е. с = —ф (а).
Отсюда следует		равенство
		J / (t) dt = ф(а;) —ф(а),
		а
которое при x =		Ъ дает формулу Ньютона — Лейбница (23).					Первые
156.	Способы вычисления определенного интеграла.						Первые

три способа предполагают знание первообразной для подынтеграль ной функции.

I. Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона — Лейбница рассмотрено в п. 153. Здесь мы ограничимся одним примером.

Приме}) }.

= (ІП Z)

- ln 3 — ln 1 = ln 3.

II.Способ интегрирования по частям основывается на формуле

J и dv — (uv) I—Iу du,

(24)

где и = и (x) и V =

V (x) — непрерывно дифференцируемые в [a, b\

функции x.

Формула (24) получается путем интегрирования по х

в промежутке

[а, Ъ] тождества udv=d(uv)

— v du (см. п. 49),

при этом согласно

формуле

(23) имеем |

d (иѵ)

— J (uv)'dx

—

- (uv) I .

я / 2

Я / 2

J t / 2

Пример

x cos x dx ~

{x sin x}

sm xdx — — — 1.

Jt/2

П р и м е р

Вычислить Jn=

| sin” a:dÆ. Интегрируя

по частям,

no-

лучим

Я / 2

/„ = —

j sinn_1 xd COS x —(sinn_1 X COS x) I

-J-

Jt/2

Я / 2

(ra —1)

f sin71“2 x (1 — sin2 x) d x = (n —

1) {Jn-i —Jn)-

Поэтому n jn~ ( n —1) / n- 2- В случае n = 2k имеем

2k — I

(2fr—l ) ( 2fc —3)

j 0 = ^

Jtk~

гк~2-

2k (2k- 2 )

2fc"4’

Окончательно в 'этом случае получим

(2к—1) (2/с—3)-

•

- 3-1

(25)

2к (2к — 2) • •

- 4- 2

' 2 *

При п =

2к + 1

аналогично предыдущему получим

2 к ( 2 к - 2 ) - • - 4- 2

(26)

2к+1 ”

(2/c+ l) (24 --D - •

- 5- 3 ‘

III. Способ замены переменной в определенном интеграле осно вывается на теореме.

Теорема. Если 1) / (ж)	определена и непрерывна		в а =ç х		b,
2) X = cp (t) непрерывно дифференцируема в а ^ t sg ß, при					эпголг
a sg ф (f) sg 6 и cp (a) = a, cp (ß) =		b, то имеет место		формула
ь	р
J / (ж) dx = I / (ф(<)) ф' (г) d£.					(27)
û	G6	X
		X
Д о к а з а т е л ь с т в о .	Функции	F (х) = § f (z) dz	при	x = ф (t}

и Ф(£)= J /(ф(г))ф' (z)dz имеют одинаковые производные. Дей-
С	согласно теореме Барроу, имеем
ствительно,

F t

=F'xx't

( Фф

( 0 =

)

ф/

'( ф ( 0

Поэтому

(х)

— Ф (/) -f с. Здесь

с =

потому

что при

t — at,

имеем x = а и F (а) =

Ф (а) = 0.

Следовательно,

F (х) — Ф (t),

где x = ф

(t).

Отсюда при t

= ß следует формула (27).

Формула (27) называется формулой замены переменной в опре

деленном интеграле.

х2

П р и м е р

Найти

площадь

фигуры,

ограниченной эллипсом — -j*

4* -р -= 1 ,

т. е. вычислить интеграл F = ~ -

Y a 2 —x2 dx.

Положим

а sin t,

тогда

Переменная х

изменяется

dx = а cos t dt.

в промежутке

0 ^

х г=; а.

Значению хі

= 0

соответствует

согласно

подста-

новке значение tx =

(27) имеем

0; х2 = а соответствует t2 = — . По формуле

Я / 2

F = Aab f

cos2 «d< =

2afc J (l +

cos2t)dt = nab.

Следующие три способа вычисления определенного интеграла не предполагают знания первообразной для подынтегральной функции.

IV. Вычисление определенного интеграла путем перехода к пределу в интегральной сумме основано на определении понятия определенного интеграла (см. п. 152). Для иллюстрации способа

рассмотрен пример.

П р и м е р 5.	Вычислить интеграл / = ) еХ dx.
		а
Делим промежуток [а, I] на п равных частей, ограниченных точками я0—
= а, ж1 = а-(- Ах......... xk= a-\-kAx........... хп= Ь,			b—а,
= а, ж1 = а-(- Ах......... xk= a-\-kAx........... хп= Ь,			где Ах = —- — . Выберем
в /c-м промежутке	\k = xk - i ~ aJc Y —1) Д®. Составим интегральную сумму
ап = 2 « ЕДа==Д*е«[і +		еА* + . .	. + e""1 ЛД =
	і ~ е п&х		Ах
	= еаАх 1 —еДж	{еа— еь)	1 —еДж ‘

При п	оо второй множитель правой части стремится к минус	единице
(в чем	можно убедиться, например, по правилу Лопиталя).	Поэтому
/ = lim ап= еь — еа.
п-+■СО

V. Численные методы приближенного вычисления определенного интеграла основаны на приближенном представлении определен ного интеграла интегральной суммой ап или величиной, близкой

к <5„\

	V
	J / (X) dx :			(28)
Если / (ж) > 0 ,			то	этот оп	1
ределенный		интеграл		можно	1
трактовать		как площадь кри
волинейной		трапеции		АВЪа,	Уо Уі	У2	Уз	Уи
ограниченной сверху графиком
/ (х).	Интегральная сумма ап				а
представляет площадь				ступен	Рис.	102.
чатой	фигуры,		ограниченной		Рис.	102.
сверху	ломаной		L,	звенья

которой параллельны координатным осям. Эти площади приблизительно равны между собой при разбиении [а, Ъ] на до статочно малые части. Идея рассматриваемого способа геометри чески состоит в том, что график / (х) заменяется близкой к этому графику линией. В одном случае (при выводе формулы прямоуголь ников) график / (х) заменяется ступенчатой ломаной L (рис. 102).

В другом случае (при выводе формулы трапеции) график / (ж) заменяется ломаной, вписанной в этот график (рис. 103). Наконец, при выводе формулы Симпсона звенья упомянутой ломаной за меняются дугами парабол второй степени. Ниже используется обозначение yk = / (xk).

А. Составим интегральную сумму, соответствующую делению [а, Ы на п равных частей и выбору точек \ k = xk:

о п = А х ( у 1 + Уг + ... +У п) -

В соответствии с соотношением (28) приходим к приближенному

равенству

J / (х) dx « - t z l (Уі _1 Уг + . . . -- уп),

(29)

называемому формулой прямоугольников. При стремлении п к бес конечности в пределе приближенное равенство (29) переходит

вточное согласно определению интеграла (см. п. 152).

Б.Пусть криволинейная трапеция АВЪа (см. рис. 103) раз делена на элементарные трапеции, соответствующие делению [а, Ъ] на п равных частей. Заменяем к-ю элементарную трапецию пря

молинейной трапецией с		площадью	(г/*_х +	yk) Ах,	где Ах =
= Ь- а . Поэтому площадь всей фигуры под кривой AB будет
приближенно равна
		( B ± ä ! .+			(30)
	а
Это равенство называется формулой трапеций.
В. Делим промежуток		[а, Ь] на	2п равных частей точками
{жД, а	кривую AB на 2п соответствующих частей, ограниченных
точками	{Mk (xk, yk)}.	Рассмотрим	п троек	точек	А М гМг,

М 2М 3 Âf4, . . ., М 2п2М 2n_-ß. Ниже доказано, что через каждую

такую	тройку точек		проходит		единственная		парабола	второй
степени	вида у =	ах2 +	Ьх +	с	(см. лемму	1)	и что	площадь
к-й криволинейной трапеции равна (см. лемму 2)
		■ ^ — (Ук-і + іУк + Уш).						(31)
Поэтому в силу		(28) имеем приближенное				равенство
	b
	^ f ( x ) d x æ —		[у0	у2п-f 2 (y2.+ •		• • + J / 2 «-a) +
	a
		■f 4(г/х+		. • . -г */2л-і)Ь				(32)

называемое формулой парабол, или формулой Симпсона. Вывод формулы (31) состоит в доказательстве двух лемм.

Лемма 1* Через любые три точки А г, А 2, А 3 с различными абсциссами можно провести единственную параболу второй сте


пени у ~ ах2	+	Ьх + с (или прямую		у =	Ъх + с,	если	данные
точки лежат	на	одной прямой).			однозначно определя
Действительно,			коэффициенты a, b я с		однозначно определя
ются путем решения системы
ах\ + Ъх\ -)- с = ух,			ах% +Ьх2-\-с = у.г,	ах\ + Ъх3+		с = у3,	(33)

потому что определитель этой системы всегда отличен от нуля г

х\	Х1	1
х\	х2	1	(х.2— X]) (х3 — х2) (хх— х3) ф 0.
х%	Х3	1

Фактически искомые коэффициенты можно найти по формулам теоремы Крамера. При этом, если данные точки лежат на одной прямой, то получим а = 0.

Лемма 2. Площадь трапеции, ограниченной параболой второй степени (или прямой), проходящей через точки А г (—h, у х),А.2(0, у2),

A 3(-)-h,		у3) (рис. 104),		равна
		F = \ (Уі ААу.г + уд).			(34)
Действительно, в нашем случае си
стема	(33) имеет вид
	ah2— Ыіф с — ух,			с — у2,
		ah2 фЪЬф с ----- у3,
а из	нее	следует,	что 2ah2-J- 2с — ухф
+ Узу с~ Уг- Имеем
		h
F =		j (aa;2 +	+ c)dx = ~		(2ah2-f 6c) = y (yx -b 4y2+ y3).
		-h

Таким образом, выведена формула (31), а вместе с ней и (32), потому что площадь криволинейной трапеции не зависит от того, где эта трапеция расположена на плоскости.

П р и м е р		6, иллюстрирующий численные методы. Рассмотрим инте-
	К
	f
трал J	= I	sin X dx,		точное значение которого равно единице,
	о
По формуле			(29)	при п = 3 получим
	if 0/з Т Уі +Уг) = ^г ( sin\|- + sin y -f-sm -y ) я« 1,237.
По	формуле		(30)	при п = 3 получим

J ~ т ( - * 4 ^ + уі+ у *)= f (2+ V * ) ~ °'976-

По формуле (32) при п — 2 имеем

3 ** І2 [Уо+ Уі + 2уі + 4 + Уя)1 0,99951.

Заметим, что все три формулы (29), (30), (32) тем точнее, чем больше п, и их абсолютная погрешность при п -+■ оо стремится к нулю в соответствии с определением понятия определенного интеграла.

VI. Метод	статистических испытаний, или		метод	Монте-
Карло. Будем			F =	ь
	трактовать	определенный интеграл		J / (х) dx
при условии / (х) is 0 и а			а
		< b как площадь соответствующей кри

волинейной трапеции АВЪа (рис. 105). Рассмотрим прямоуголь

ник PQba с тем же основанием [a,	b]	и	высотой h, которая не
меньше		наибольшего		значения
/ (х)	в	[а,	Ь\. График	/ (х) делит

этот прямоугольник на две ча сти, одна из которых имеет пло щадь F.

Будем производить «обстрел» прямоугольника (случайный вы бор точек в прямоугольнике) при условии равной вероятности * «попадания» в любую его часть. Пусть произведено п «выстрелов», причем ниже линии AB оказа лось т «попаданий». Тогда при

достаточно большом п будет выполнено приближенное равенство

FJ(b — a) h ^ т/п. Следовательно,
ь
F = ^ / (z) dx >=» h (b — à).	(35)
а
Например, если т — 75 при п = 100, то F	0,75 (b — a) h.

§ 26. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА}

Мы переходим к рассмотрению некоторых приложений понятия

определенного интеграла — к вычислению площадей,	объемов
и других величин. При этом будем руководствоваться во	многом
наглядными соображениями. Точное определение площади	и объ

ема приводится в более подробных курсах **.

157. Вычисление площади. В п. 151 определена площадь криво

линейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой у =				/ (х)
и отрезками прямых х = а,		х = Ъ, у = 0, как интеграл от функ
ции / (X) в промежутке	[a,	b] при условии, что / (х)	0.	b и
Площадь области,	ограниченной прямыми х = а,		х =

*См. главу XIV.

**См.: В. И. С м и р н о в. Курс высшей математики, т. II, § 9.

и двумя непрерывными кривыми у = / (х) и у = g (х) при условии

/ (х)	g (х), определим * как интеграл
	ъ
	F = \ [f(x) —g(x)]dx.	(1)

Это определение можно обосновать интуитивно следующим образом. Если обе функции / (х) и g (х) неотрицательны, то указанная площадь равна разности площадей криволинейных трапеций рассмотренного выше вида:

ьь

F = J / (х) dx — I g (x) dx.

аа

Если же / (х) и g (х) имеют произвольные знаки, то в силу их ограничен ности существует такая постоянная с, что ф у н к ц и и (х) — / (х)+с и gr (х) =

= g (х) +	с уже не отрицательны. Площадь области,					заключенной между
кривыми у	= /х (х)	и у — gi	(х)	и прямыми X — а и X -----		Ь, очевидно, совпа
дает с предыдущей площадью и равна
	b			b
	I	[il (х) ~	gl (*)] dx = j [/ (x) -		g (x)] dx.
	a			à
В частности,		криволинейная трапеция,			заданная равенствами
x = a, x = Ъ, у — 0 и у = / (х),				при условии / (х) ^		0 имеет площадь
			ь	ь
		F = -	\f( x) dx = f \f(x)\dx.			(2)
			a	a

Следовательно, площадь криволинейной трапеции в случае, когда / (х) может принимать в [а, Ъ] значения разных знаков, равна

ь
F = \ \ f ( x ) \ d x .	(3)

Заметим, что при а<^ b интеграл j / (x) dx дает алгебраическую

сумму площадей, в которой каждая площадь, расположенная под осью Ох, входит со знаком минус. Он может быть отрицательным, в то время как площадь области всегда положительна. Для вы числения площади области более сложного вида надо разбить всю область на части рассмотренного вида, найти площади этих частей и результаты сложить.

П р и м е р	1. Найти площадь области,	ограниченной графиком функ
ции у = sin x и осью абсцисс при условии 0		^ х ^	2я.
Имеем у	0, если О ^ і ^ л , и у ^ О , если я ^		х ^ 2л, и по формуле
(3) получим

Л2 Л

F = j sin.rrf;r-f ( (—sin x) dx — A.

оя

П р и м е р 2. Найти площадь области, ограниченной линиями у =

= sin Ж II у — ----x (рис. 106).

* См.: С. Б а н а х . Дифференциальное и интегральное исчисление, гл. XIX.

Данные линии пересекаются в точках с абсциссами .г, — о и х„

По формуле (1) получим

Я
"і"
г	/	.	2	\	dx =
\		sin X --------- X		)	dx =
J	\		л	)
0

тл

'	х2	'	\ = 1	л
— COS X -----------			\ = 1	л
\ч	я		/	4 •
			0

I •

В ы ч и с л е н и е п л о щ а д и в п о л я р н ы х к о о р


д и н а т а х .	Требуется	определить	площадь		сектора	ОАВ
(рис. 107), ограниченного		лучами ф =	а,	ср = ß и кривой		AB,
заданной в полярной системе координат				уравнением г ~		г (ср),
где г (ср) — функция, непрерывная в			промежутке		а sg ср ^	ß.
Р е ш е н и е . 1) Разобьем промежуток				[а, ß] на п частей точ
ками а = ср0 -< 4)! < ... <Ф„_і < ф„ — ß				и обозначим ДсрА==

= Ф* — Фй- ы а Я„ — наибольшее из чисел Дфг,	. . , Дф„.	Ра
зобьем данный сектор на п частей лучами ф =	(к — 1, 2,	. . .,

п— 1).

2)Заменим к - й элементарный сектор круговым сектором радиу

сом rk = г (gft), где \ k £ [cpfe_ фА]. Тогда площадь к-то элемен-

тарного сектора будет приближенно равна AFk — r% Дфь

а площадь всего исходного сектора

2 7'' Аср* = о„ k

3) За величину площади криволинейного сектора примем пре дел площади ступенчатой фигуры, составленной из указанных круговых секторов при стремлении Я„ к нулю, т. е. определенный интеграл


F : --lim ап = Т		ß
F : --lim ап = Т		г2 (ф) гіф.	(4 )
ял-о	^

П р и м е р 3.		Найти площадь области, ограниченной кардиоидой г =
= а (1 + cos ф). Учитывая симметрию кривой								относительно полярной оси,
по формуле (4) получим
				я
		F =		я2 j	(1 4 -cos ф)2 Лр =			- \| ля2.
				о
158. Вычисление объема. Рассмотрим тело Z?, содержащееся
между плоскостями х =				а и х		=	5 (рис. 108). Пусть для каждого ж
из промежутка		[а,	6]	дана площадь сечения этого тела F (х),
перпендикулярного оси Ох. Требуется найти объем V данного тела
при условии непрерывности F (х)
в [а, Ъ].		Делим			про
Р е ш е н и е .
межуток [а, Ъ\ на п элемен
тарных частей и через точки де
ления проводим плоскости, пер
пендикулярные		оси Ох.			Эти
плоскости разобьют В на эле
ментарные	слои.		Рассмотрим
к-й слой, ограниченный пло
скостями	X = xk_x		и	X = хк.				Рио. 108.
Объем этого слоя приближенно
равен объему цилиндра с ос							высотой	Axk,	так что AVk
нованием, равным F (xk_x),						и
я» F (xk_Д Axk.		Сумма		объемов			элементарных		цилиндров при-
		ап =		П	F (xk-ù Axk■
ближенно	равна			2
				h= l

Объем тела В определим как предел величины ап при стремле нии Кп к нулю. Этот предел существует в силу непрерывности F (х) и равен определенному интегралу

ь
V = j F (х) dx.	(5)

В частности, если тело ограничено поверхностью вращения линии у = у (х) вокруг оси Ох в пределах изменения х от а до Ь,.

то F (х) = я у2 и

	ь
	V = л j" у2 (х) dx.		(6)
	а
П р и м е р	4. Вычислить объем шара радиусом		R. По формуле (й>
при у = Ÿ R Ï	х‘ получаем
	R
V = Я J (Д2—Ж2) dx = 2я {^R2X —		I	л/?3.

-R

<<< < Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 4825 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ