книги из ГПНТБ / Сахарников Н.А. Высшая математика учебник

Выбрав произвольную нормальную последовательность раз­ биений {ô„} и составив для каждого разбиения ô„ соответствующую интегральную сумму ап, получим последовательность сумм {<?„}. Для данной последовательности разбиений {б„} можно получить разные последовательности сумм {ст„} в зависимости от того, какие точки I выбраны.

О п р е д е л е н и е . Функция / (х) называется интегрируемой в промежутке [а, Ь], если для каждой нормальной последователь­ ности разбиений {бл} соответствующая последовательность ин­ тегральных сумм {а„} имеет конечный предел, не зависящий от способа деления промежутка [а, б] на элементы и от выбора точек

Этот общий предел последовательности {сг„}, соответствующий нормальным последовательностям разбиений, называют определен­

Числа а и Ъназывают пределами интегрирования, х — переменной интегрирования, / (х) — подынтегральной функцией, / (х) dx — подынтегральным выражением.

Ввиду сложности введенных понятий обратим внимание на следующее.

1.В определении речь идет о нормальной последовательности разбиений, когда не только п -ѵ оо, но и наибольшая из длин эле­ ментарных промежутков стремится к нулю. При этом не исклю­ чено, что разбиению бл+1 соответствуют точки деления х г, . . ., хп, не входящие в число точек деления в разбиении 8п.

2.Определенный предел есть число, именно предел любой из последовательностей интегральных сумм {сг„}, которая соответ­ ствует нормальной последовательности разбиений и какому-либо выбору точек g.

3.Не всякая функция интегрируема. Например, не интегри­ руема в смысле Римана функция Дирихле, равная нулю в ирра­ циональных точках промежутка [0, 1] и единице в его рациональ­ ных точках. Действительно, в этом случае при любом разбиении интегральную сумму можно сделать нулем или единицей путем выбора чисел g.

Теорема *. Функция / (х) интегрируема в промежутке \а, Ь], если выполнено любое из следующих условий'.

вэтом промежутке лишь конечное число разрывов первого рода, или

3)/ (х) определена и монотонна в замкнутом промежутке

[а, 6].

4. Интегрируемая в промежутке [а, Ь] функция необходимо ограничена в нем. Действительно, если функция неограничена в [а, Ь], то при любом разбиении есть элементарный промежуток, где эта функция неограничена. Тогда можно построить неограни­ ченную последовательность интегральных сумм, что противоречит условию интегрируемости. *

5. Определенных! интеграл допускает различное физическое

Формула (8) носит название формулы Ньютона — Лейбница

и формулируется так: определенный интеграл в пределах от а до b равен приращению первообразной для подынтегральной функции при переходе от а к Ь; при этом в качестве первообразной может бытъ взята любая из множества первообразных.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Разобьем промежуток [а, è] произ­ вольно на п элементарных частей а < іхг < . . . <Lxn_ x <Lb. Соста­ вим приращения функции ф (х) в каждом из элементарных проме­ жутков и преобразуем их сначала по формуле Лагранжа (см. п. 34), а затем с помощью формулы ф' (х) = / (х)\

ф( * і ) — ф (а) = Ф * (сД (хг — a) = f (щ) Ьхл,

ф(х2) — ф (жД = ф' (с2) (х2— жД = / (с2) Аж2,

ф (Ь) — Ф = Ф* (сД (Ь— ж„.Д = / (сД Ьхп.

* См.: С. Б а н а х . Дифференциальное н интегральное исчисление.

Суммируя эти равенства, получим

Левая часть равенства (9) есть постоянная, не зависящая от способа деления промежутка на части. Его правая часть есть ин­

этому предел интегральной суммы при Хп -> 0 существует и не зави­

Значение доказанной теоремы состоит не только в том, что она дает удобное правило вычисления определенного интеграла. Кроме того, она устанавливает связь между определенным интегралом и неопределенным интегралом (точнее, первообразной функцией). Остановимся на этом подробнее.

Правило вычисления определенного интеграла, согласно фор­ муле Ньютона — Лейбница, заключается в выполнении следу­ ющих действий: 1) найдем первообразную ф (х) для подынтеграль­ ной функции, 2) вычислим приращение ф (х) при переходе от а к Ъ,

Заметим, что в формуле (8) можно взять любую из первообраз­ ных для / (X), потому что двойная подстановка дает результат, ко­ торый не зависит от с:

ь

[ф (х) + с] I= Ф (Ь) + с — ф (а) — с = ф (Ь) — ф (а).

а

Ьb

II р и м е р 1. J е* dz = е* | = е&—

аа

Связь между определенным и неопределенным интегралами иллюстрируем геометрически на примере 2. Левая часть формулы (10) равна площади трапеции, заштрихованной на рис. 98. Неопре­ деленный интеграл х 2 + с геометрически представляет семейство парабол у = ж2 + с, изображенных на рис. 99 при различных зна­ чениях с. Правая часть (10) есть приращение ординаты любой из этих парабол при переходе от а к Ъ. Равенство (10), таким образом, показывает численное равенство двух величин — площади трапе­ ции (см. рис. 98) и приращения ординаты параболы (см. рис. 99).

154. Свойства определенного интеграла. Все свойства дока­ зываются на основании определения понятия определенного инте­ грала в предположении, что речь идет о функциях, интегрируемых в соответствующих промежутках. *

1°. Определенный интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:

а

J / (х) dx = 0.

. а

2°. При перемене пределов интегрирования определенный инте­ грал меняет лишь знак:

J / (х) dx = — J / (х) dx.

bа

Всущности свойства 1° и 2° суть дополнения к определению

Так, в случае а = Ъ все kxk (из определения) получатся рав­

* При изучении сокращенного курса высшей математики свойства опре­ деленного интеграла можно вывести с помощью формулы (8).

ными нулю. В случае а Д> b (нумерация точек деления идет попрежнему от а к Ь) получим Ахк < 0 и интегральную сумму, кото­ рая будет лишь знаком отличаться от интегральной суммы, соот­ ветствующей случаю а < b (при этом под кпнадо понимать наиболь­ шее из чисел I ЛяД, . . ., | Àæ„|). Поэтому и пределы соответству­ ющих интегральных сумм будут отличаться лишь знаком.

3°. Величина определенного интеграла не зависит от названия (обозначения)переменной интегрирования, что прямо следует из определения (см. п. 152)

ьь

J / (х) dx = j / (t) dt.

a a

4°. Постоянный множитель можно вынести за знак определен­ ного интеграла:

ъb

j* cf (х) dx = с j" / (X) dx.

5°. Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен соответствующей сумме интегралов от слагаемых:

Действительно, предел суммы двух переменных (имеющих пределы) равен сумме их пределов. Поэтому, перейдя к пределу

грал по всему промежутку равен сумме интегралов по его частям:

Д о к а з а т е л ь с т в о . Согласно интегрируемости j(x) вели­ чина определенного интеграла не зависит от способа деления про­ межутка интегрирования на части. Примем точку с за неиз­ менную точку деления [я, Ъ] в каждой из интегральных сумм оп, получим

Ь [ с b \ с ь

* Смысл обозначений ясен сам собой.

Заметим, что формула (11) верна при любом расположении точек а, Ь, с на числовой оси. Например, в случае а < b <<с

сb с

мулы (11) надо переменить пределы у последнего слагаемого (одно­ временно переменив его знак) и перенести ото слагаемое в другую часть равенства.

7°а. Интеграл от нечетной функции в симметричных пределах интегрирования равен нулю:

J/ (х) dx = 0.

-а

Действительно, разобьем [—а, а] на симметричные относи­ тельно начала элементы и выберем в них числа \ k тоже симметрично; тогда сумма

будет равна нулю, так как / (—х) = —f(x). Вся интегральная сумма состоит из таких пар, поэтому оп = 0 и lim ап = 0.

7°б. Если / (х) четна в промежутке [—а, а], то

Действительно, рассуждая так же, как в случае 7°а, получим в силу четности подынтегральной функции, что сумма (12) равна

a

aa

T.e. неравенства можно интегрировать, причем большей функции

ьь

a a

9°. Теорема (об оценке интеграла). Если a <lb,mo абсолютная величина интеграла не превосходит интеграла от абсолютной величины подынтегральной функции:

10°а. Теорема (о среднем значении в интегральном исчислении).

Если / {х) непрерывна в [а, 6], то интеграл от / (х) в пределах от а до b равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой точке с из [а, 5] на длину промежутка интегрирова­

ния:

ь

a

о

эту величину показывает амперметр при измерении силы переменного тока, изменяющегося по закону у = a sin х.

10°б. Обобщенная теорема (о среднем значении). Если функции

/ (х) и g (х) непрерывны в [a, b], причем g (х) знакопостоянна, то существует в промежутке [a, b] такое число с, что имеет место равенство

соответствует определенное значение интеграла. Поэтому интеграл с переменным верхним пределом есть функция верхнего предела; обозначим ее

X

Геометрически функцию F (x) можно трактовать как площадь криволинейной трапеции АМха (рис. 101), если / (х) > 0 .

Теорема Барроу *. Если / (х) непрерывна в [а, b], то производ­ ная интеграла (20) по верхнему пределу существует и равна значе­ нию подынтегральной функции в точке дифференцирования:

X

* Исаак Барроу (1630—1677) — английский математик.