книги из ГПНТБ / Сахарников Н.А. Высшая математика учебник

которое позволяет последовательно вычислить J mдля любого т.

В. И н т е г р и р о в а н и е п р а в и л ь н ы х д р о б е й . Для вычисления интеграла от правильной рациональной дроби надо эту дробь разложить на простейшие согласно теореме 3 п. 57 и найти интеграл от полученной суммы простых дробей.

Следовательно, интеграл от любой правильной рациональной дроби есть функция элементарная, потому что представляет сумму элементарных функций, которые получаются в результате инте­

Условимся в следующем — будем называть функцию интегри­ руемой в элементарных функциях, если ее первообразная есть функция элементарная. Выше установлено, что всякая рациональ­ ная функция имеет первообразную в классе элементарных функ­ ций. Этот важный результат сформулируем в виде теоремы.

Теорема. Всякая рациональная функция интегрируема в эле­ ментарных функциях.

П р и м е ч а н и е . Всякая элементарная функция, как из­ вестно, непрерывна там, где она определена. Поэтому она имеет первообразную. Но не всегда эта первообразная принадлежит классу элементарных функций. Например, интегралы от элемен­ тарных функций

мер, с помощью рядов.Итак,интегрирование элементарной функ­ ции может привести к неэлементарной функции. Заметим, что опе­ рация дифференцирования элементарной функции не выводит из класса элементарных функций.

147. Интегрирование некоторых иррациональных функций. Введем обозначение рациональной функции нескольких пере­ менных, т. е. функции, над аргументами которой выполняются

целые числа (они могут быть и отрицательными), с помощью под­ становки x = tm, где т — наименьшее кратное чисел | (7і Ь ' - * *» I qn |, приводится к интегралу от рациональной функции относи­ тельно t.

и поэтому интегрируема в элементарных функциях. Переход от t

гочлен степени n, можно вычислить способом неопределенных коэффициентов. Представим ответ в форме

/ ІП = Qn-i (х) V ах2+ Ъх + с + К dx

Y аж2+ Ъх+ с ’

где Qn_ ! (X) — многочлен степени п — 1. Неопределенными яв­ ляются п коэффициентов Qn_ 1 и X. Интеграл / ш может быть пред­ ставлен в указанной форме, потому что в результате дифференци­ рования и сравнения коэффициентов получается система, имеющая единственное решение относительно указанных коэффициентов. Покажем это на примере.

Дифференцируя это равенство, получим

ров имеем окончательный результат

JVх%+ 1 dx = ~ К-т2+ 1 + -|- In (■£+ V x iJr і ) + с .

148.Интегрирование некоторых тригонометрических выраже>

ний.

Из подстановки t = tg у следует, что х — 2arctg і и dx =

где R 2 (t) — рациональная функция t. Теорема доказана. Следовательно, интеграл вида / ІѴесть функция элементарная.

\COS X

J sin (1 - * )

Применение универсальной подстановки t — tg у часто свя­

зано с громоздкими вычислениями. В некоторых случаях интеграл может быть вычислен проще — как указано в теоремах 2, 3 и 4.

Теорема 2. Если подынтегральная функция в / ІѴ нечетна отно­ сительно cos X, т. е. R (и, —ѵ) = —R (и, ѵ), то подстановка t = sin X приводит / ІѴ к интегралу от рациональной функции относительно t.

Д о к а з а т е л ь с т в о . По условию функция — R (и, ѵ) четна

относительно ѵ и поэтому содержит ѵ = cos х лишь в четных сте­ пенях. Имеем V2 = 1 — sin2х = 1 — і2. Поэтому

/ , ѵ ----- J ^ " Г з x ° S ^ cos х ~ ^ ж) ^ s^n х ~ § (^) dt,

m. e. если подынтегральная функция в J IV нечетна относительно sin x, то подстановка t = cos х приводит J iy к интегралу от ра­

VIII. Интеграл вида / ѵш = J P (In x) dx, где P — знак много­

члена относительно своего аргумента, вычисляется путем замены переменной In х — t. При этом получим интеграл, рассмотренный

вп. 144.

150.Задачи, приводящие кпонятию неопределенного интеграла.

1. З а д а ч а о р а д и о а к т и в н о м р а с п а д е . Дадим математическое описание процесса распада радиоактивного ве­ щества. Обозначим через x (і) количество этого вещества, еще не распавшегося к моменту времени і, через х 0 — начальное его количество, отнесенное к моменту времени і0 = 0. За промежуток

или Аж = —f>x (t) At, где ß — некоторая положительная постоян­ ная. После деления на Ai и перехода к пределу при стремлении Ai к нулю получим соотношение

которому удовлетворяет искомая величина х (і). Уравнение (8) представляет пример дифференциального уравнения первого по-

dx (t)

рядка. Из (8) следует тождество — = —ß dt, интегрируя обе

X \ 1 )

части которого по і, получим ln х (і) = ln с — ßi. Отсюда следует, что

Функция (9) удовлетворяет уравнению (8) при любом значении постоянной с; она представляет общее решение уравнения (8).

Из условия x = х 0при і = 0 найдем с помощью (9), что с = х 0.' Следовательно, окончательное решение задачи дается формулой

x (і) — ж0е_Рі.

Периодом полураспада радиоактивного вещества называется время Т, за которое его количество уменьшится вдвое. Поэтому

ющих масс, заключающийся в том, что скорость, с которой веще­ ство вступает в реакцию, пропорциональна концентрации этого вещества (т. е. числу грамм-молекул этого вещества в единице

объема).

Согласно закону для мономолекулярных реакций или так назы­ ваемых химических реакций первого порядка имеет место

ции можно принять приближенно, что количество вещества Ах, вступившее в реакцию в промежуток времени (t, t -г At), при ма­

к пределу при стремлении At к нулю, получим дифференциальное уравнение (10).

Интегрируем уравнение (10) при начальном условии х = 0 при t= 0. Для этого разделим обе части (10) на а. — х и умножим

x(t) — а (1 — e~kt).

3. Х и м и ч е с к и е р е а к ц и и в т о р о г о п о р я д к а . Для бимолекулярной реакции или так называемой химической реакции второго порядка согласно закону действующих масс имеет место соотношение

женные в грамм-молекулах, соответственно равны а и Ь. Предпола­ гается, что к моменту времени t в реакцию вступают равные коли­ чества обоих веществ, которые обозначим х (t); количества остав­ шихся веществ будут а — х и b — х соответственно. Согласно закону действующих масс скорость течения реакции пропорцио­ нальна произведению этих оставшихся количеств, т. е. х (t) удо­

Если а =h b, то разлагаем подынтегральную функцию на про­ стейшие и, выполнив операцию интегрирования, получим

В сосуде емкостью а литров находится Ъкг соли, которая полностью растворена, и раствор тщательно перемешан. Каждую минуту в раствор поступает с литров растворителя и удаляется с литров раствора (при этом раствор все время перемешивается так, что кон­ центрация соли во всем сосуде одинакова). Требуется найти закон изменения количества соли х (t) в растворе.

Р е ш е н и е . В промежуток времени (t, t + dt) из сосуда будет удалено cdt литров раствора; это количество раствора заменяется растворителем. Найдем количество соли, которое при этом будет удалено из сосуда. Концентрация соли в растворе в момент вре­

на убывание соли в растворе. Таким образом, мы пришли к урав­ нению

Здесь cx = ln b в силу начального условия. Поэтому имеем окон­ чательно

Глава IX

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Здесь речь идет о важнейшем понятии математики; о мощном методе решения многих задач естествознания, а также о способе представления многих величин, встречающихся в физике, химии, математике и других науках.

§25. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

151.Задачи, приводящие к определенному интегралу. К поня­ тию определенного интеграла приводят многие задачи. Вот неко­ торые из них.

1.Задача о массе прямолинейного стержня. Рассмотрим очень тонкий стержень длиной I, масса которого распределена неравно­ мерно с плотностью р (х). Требуется найти массу всего стержня.

Уточним постановку вопроса. Под очень тонким стержнем мы будем понимать отрезок прямой, ограниченный точками а и Ъ данной числовой оси. Слово «масса» здесь понимается в смысле количества вещества. Под плотностью вещества стержня в данной

на метод решения задачи.) 1) Разобьем весь стержень по длине на п

Наибольшую из этих разностей будем впредь обозначать кп.

2) Желая найти хотя бы приближенно массу стержня, предполо­ жим, что в границах каждого элемента плотность стержня посто­

3)Масса всего стержня приближенно равна сумме

тп^р (I,) Ахх + . . . + р (£п) Ахп.

Это приближенное равенство тем точнее, чем больше число элемен­ тов п и чем меньше длина каждого элемента Ахк; оба эти условия, налагаемые на п и на Ахк, можно заменить одним условием — чем меньше Кп.

получится равной опять интегралу (1). В этом можно убедиться, если решить новую задачу тем же методом.

2.Задача о площади криволинейной трапеции. Пусть функция

у= / (ж) определена, непрерывна и положительна в промежутке

[а, Ь]. Рассмотрим плоскую фигуру А, ограниченную графиком функции у = / (х) и отрезками прямых у — 0, х = а и х = Ъ (рис. 97). Такие фигуры называются криволинейными трапециями. Требуется вычислить площадь криволинейной трапеции А и вместе с тем уточнить смысл самого понятия площади фигуры А.

рых обозначим соответственно через Дд^, Ах2, . . ., Ахп, а наиболь­ шую из них обозначим символом Хп. Через каждую точку деления проведем прямую, параллельную оси ординат. Эти прямые разде­ лят область А на п элементарных частей.

Заменим каждую элементарную полоску прямоугольником, основание которого то же, что и у полоски, а высота совпадает с одной из ординат полоски. Площадь к-то прямоугольника будет равна / (Ік) Axk, где Ік — число из промежутка [xk_ lt хк\,