Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Сахарников Н.А. Высшая математика учебник

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.10.2023

Размер:

24.22 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 4822 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 > Следующая >>>

промежуток	изменения		аргумента	[0, 1], потому		что любой
промежуток	[а, b] путем линейного			преобразования х			= а +
+ t (b — а) можно свести к промежутку					[0, 1]. Если / (х) непре
рывна в [0, 1], то можно подобрать по любому е > 0						соответст
вующее число п такое, что полином Бернштейна * Вп (х)							будет
удовлетворять условию		равномерного		приближения		(12).	Поли
ном Вп (х) определяется			равенством
			П
							(13)
П р и м е р .	Найти многочлен В г (х)			для	функции y = sin лх в про
межутке [0, 1]. По формуле			(13) получаем
	2
	В2(X)= 2			i2-fe = 2х (1 — х).
	В2(X)= 2	Sin "у- C2xk (1“ ХУ

* Сергей Натанович Бернштейн (1880—1968) — советский математик.

Глава VIII

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

§ 23. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ОБЩИЕ СПОСОБЫ ЕГО ВЫЧИСЛЕНИЯ

141. Понятия первообразной функции и неопределенного интеграла* Пусть в промежутке (а, Ь) дана функция f (х). Спраши вается, не является ли данная функция производной некоторой функции ф (X) в этом промежутке. Иначе говоря, требуется выяс нить, существует лй такая функция ф (х), чтобы для всех зна чений X из промежутка (а, Ъ) имело место тождество,

Ф'(*) = /(*),

(1)

и если такая функция существует, то ее надо найти.

П р и м с р і .		Функция / (X) =	2х является, очевидно, производной для
функций	срх = X 2 и ф2 = X 2 + 1.
П р и м е р 2.		Можно доказать, что функция Дирихле (см. и. 7) не яв
ляется производной ни для какой функции.
О п р е д е л е н и е 1. П е р в о о б р а з н о й ф у н к ц и е й
д л я д а н н о й		ф у н к ц и и	f (х)	(или, короче,		первообраз
ной данной функции) в п р о м е ж у т к е					(а, Ъ)	называется
функция	ф (х),	производная которой		равна	данной	функции,

т.е. имеет место тождество (1) относительно х в промежутке (а, Ь).

Вп. 155 будет доказано, что непрерывная функция / (х) имеет первообразную в соответствующем промежутке.

Действие нахождения первообразной данной функции назы вается ее интегрированием. Эта операция обратна дифференци рованию функции.

Пр и м е р З . В результате интегрирования функции / (х)= Зх2 полу чится ее первообразная ф (х) = х3. В результате дифференцирования функ

ции ф (х) =	X3 имеем ф '	(х) — Зх2 =	/ (х).	ѵ =
И р и м е р 4. Если		точка движется прямолинейно со скоростью
= ѵ0 -f gt,	то величина пути, пройденного точкой за время /, есть первооб-
разная для	ѵ (t) и равна s (t) = s0 +		Л	v (t).
			v0t + — gt2, потому что (t) =

П р и м е р 5. Если в'некотором явлении величина у (х) изменяется со ско

ростью V (х) так,

что у' (х) =

ѵ(х),

то у

(х)

есть первообразная

для ѵ (х).

Теорема

Если <р (х) есть

первообразная

для / (х)

проме

жутке (а,

Ъ),

то сумма ф (х) и произвольной постоянной с

Ф (х) = ф (х) + с

(2)

тоже является первообразной / (х)

(а,

Ъ).

Действительно, по условию выполнено тождество

(1). Диф

ференцируя

(2),

получим

Ф' (X) =

[ф (X) +

с]' = ф'(ж) = / (х).

Следовательно,

функция,

имеющая

одну

первообразную,

имеет их

бесчисленное

множество.

ф (х),

Теорема

У функции / (х), имеющей первообразную

нет иных первообразных, кроме тех,

которые содержатся

в фор

муле (2).

пусть

ф (х)

ф (х) — первообразные

/ (х),

Действительно,

поэтому

ф' (х)

ф' (х) =

/ (х). В

силу

следствия

из

теоремы

Лагранжа (см. п. 34) имеем ф (х) =

ф (х) + сх в (а,

Ъ).

Следова

тельно, первообразная

ф (х) может

быть

получена

по

формуле

(2) при

с = сх.

РІз теорем 1 и 2 следует, что функция Ф (х), определяемая

формулой (2), представляет с а м о е

о б щ е е

в ы р а ж е н и е

п е р в о о б р а з н о й

для

/ (х).

О п р е д е л е н и е 2. Н е о п р е д е л е н н ы м и н т е г

р а л о м

о т

д а н н о й

ф у н к ц и и

f (х)

называется

самое

общее выражение для первообразной этой

функции.

Он обозна

чается символом J / (х) dx, причем функция / (х) называется подынтегральной функцией, / (х) dx — подынтегральным выра жением, X — переменной интегрирования. Таким образом, имеем

(3)

где ф (х) — любая из первообразных / (х), а с — произвольная постоянная.

Из определений 1 и 2 следует тождество

			(4)
т. е. производная от	неопределенного интеграла	по	переменной
интегрирования равна	подынтегральной функции. Поэтому диф
ференциал от интеграла равен подынтегральному			выражению.
Вышеизложенное позволяет сформулировать следующие д в а
п р а в и л а . 1. Для	получения неопределенного	интеграла от

данной функции / (х) надо найти какую-либо первообразную этой функции и прибавить к ней произвольную постоянную.

2. Признаком правильности результата интегрирования явля ется выполнение условия — производная от результата интегри рования должна быть равна подынтегральной функции.

П р и м е р 6. J sin X d x = —cos x +	с , потому	что (—cos x + c)' =
= sin X .
С в о й с т в а н е о п р е д е л е н н о г о		и н т е г р а л а
1°. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:
\ с/ (x) dx = с j	/ (x) dx.	(5)

2°. Интеграл от алгебраической суммы двух (или нескольких) функций равен сумме соответствующих интегралов от слага емых, если эти интегралы существуют:

J I/ И + g (ж)] dx = j / (x) dx + J g (x) dx.

(6)

Формулы (5) и (6) проверяются путем дифференцирования их правых частей. Например, производная от правой части ра венства (5)

^cj/(x)dxj = с [j* / (x) dx] =cf(x)

равна подынтегральной функции из левой части формулы (5); следовательно, формула (5) верна.

Заметим, что равенства (5) и (6) следует понимать с точностью до постоянного слагаемого.

142. Таблица основных интегралов. Таблица содержит двенад цать формул, которые можно проверить путем дифференцирования

согласно правилу	п. 141:
1. J* dx —x -\- с;	2. f xm dx -	+ c
	J	m + \

3. ^	= ы \х \ -
4. JÇах dx = ln а			C\
5і. ^J sin ах dx			■—cos ax -+- c;
			а
ч	d x	tg x + c;
	cos2x	tg x + c;
	cos2x
		1	. x
ч d x		1	. x
	a 2 - \ - x 2	= 4 arctg4 + c;
11.	d x		x .
11.	■■	=■ arcsm ----h c;
	Va2— x2		a
12.	d x		ln I x + ]/"x2+
12.			ln I x + ]/"x2+

	(m=f= — 1);
4a)	j* ex dx = ex + c;
«■ [	cos ax dx = — sin ax 4- c;
«■ [	d x	а
8. \	d x	= —ctgx + c;
8. \	dx	= —ctgx + c;
J	sm2 x	°	I
10. f —		=
	J a 2 — x 2
	ln	x - \ - а	c;
	2 а

а I -f- c.

V X 2 а

Проверим, например, формулу 3. Если х > 0, то \х\ = х и

(]н I X I)' (In х)' = — . Если а; < 0, то \х\ = —х и (1п|х|)'- =

= [In (— х)]' = . Поэтому формула 3 верна как при х > 0, так и

цри х < 0.

Лемма. Пустъ в промежутке (а, Ь) имеет место тождество

j f(x)dx —ф (х) - с,

и и (х) — любая дифференцируемая в {а, ß) функция х, изменяю щаяся в (а, Ъ). Тогда имеет место тождество

I*/ (и (х)) du (х) = J / (и (X)) и' (х) dx = ф(и (х)) + с.					(7)
Действительно, дифференцируя правую часть (7) по х,					полу
чим [ср (и (х)) +	с]' = cp'и-и'х =	f (и) и'х — подынтегральную функ
цию из левой части (7), так как du (х) = и' (х) dx.					оста
Следовательно, каждая из двенадцати формул таблицы
нется верной, если в ней заменить			х любой	дифференцируемой
функцией и (х)	с соответствующей		областью	изменения.
В частности,	обобщением	формулы 2 является формула 2°:
Ç [и (х)]т du (х) = —		[и (х)]т+1 + с при т Ф
J	т Т 1

Если требуется вычислить данный неопределенный интеграл, то надо прежде всего установить, не является ли он табличным или не приводится ли он к табличному. Рассмотрим несколько простых примеров.

П р и м е р 1 . J sin3 Xcos X dx — Цsin3 xd sin£ = — sin4 х-\-с.

4 Этот результат получен по формуле 2° при и (х) = sin х.

Пример 2■ И > lna;dx = J (ln xŸ'b d ln x = — ln x 5p ln x-\- с.

Пример 3.		J tg x dx = ^		d cos x
					— ln I COS X l + C.
				cos x
Результат получен по обобщенной формуле 3 при и == cos х.
Пример	4.	^ ctg x dx =	Г d sin x		+ c .
			\	—;------ = ln s im
			J	sm x
Пример	5.	J 2xe~x2dx =	— J e~x*d ( — x2)—		c.

При вычислении неопределенных интегралов иногда целесо образно пользоваться свойствами неопределенного интеграла (см. п. 141). Они позволяют вынести постоянный множитель подын тегральной функции за знак интеграла или представить интеграл

в виде суммы соответствующих интегралов, предварительно раз ложив подынтегральную функцию на слагаемые.

И р л м е р

Пример

6.	1^ sin2 X dx — f	^ (1 — cos 2x)dx = \		\	d x ~~ Y	\ cos ^x dx ~
	X	l - o	i
	—------ - s m 2x-\- c.
	2	4
7.	cos2 x dx = — J (1 + cos 2z) dx =			x .	sin 2z	,
			= 2 +		4	^
8.	j sin 5x cos 3x dx = f		- ^ (sin 8z + sin 2x) dx =
	cos 8z		cos 2z
	= -------тд------------ 7------h-c.
		16	4

П р и м е р 9. \| ( у Ліг—\		z)2 dx = j"( x — 2хъ!6 -f- х 2^3) dx =
1	9	12	в —г I		3	з
= —	X * ----- — I f		г	x J	—	х у X* - г с.
2		11	г		5

143. Способ подстановки. Способ подстановки, или способ за мены переменной, есть один из сильнейших приемов интегриро

вания функций. Он основан на следующей теореме.								непрерывно
Теорема.		Если функция	х =	ф (t)	монотонна		и
дифференцируема в промежутке a				< 7	<	ß, причем	а < ф (t) <ib,
и функция /		(ж) непрерывна в промежутке a <ix <Lb,						то	имеет
место формула
		§f(x)dx = § f((f>(t))(f>'(t)dt,							(8)
в правой части которой под			t следует понимать				функцию t —
— t (х),	определяемую равенством х				= ф (t).			переменной
Формула		(8) называется	формулой			замены
в неопределенном интеграле,			аж = ф (t) называется подстановкой.
Для доказательства теоремы убеждаемся в равенстве									произ
водных по переменной х от обеих частей равенства							(8). Согласно
равенству (4) имеем
		[j / (x) dx]x= f(x),
[ f f	(ф (t)) ф' (0 dt\x =		t'x = / (ф (*)) • ф' (t) ■t'x =					/ (ж),

так как % • t'x — 1 (см. п. 29). Производные получились равными. Поэтому, в силу следствия из теоремы Лагранжа (см. п. 34), обе части равенства (8) могут отличаться лишь постоянным слагаемым. Именно в этом смысле надо понимать равенство (8). Заметим, что в этом рассуждении условия теоремы использовались следующим образом: непрерывность / (х), ф (t) и ф' (і) обеспечивает существо вание интегралов, монотонность непрерывной х = ф (t) обеспе чивает существование обратной функции t (х) (см. п. 25). Тео рема доказана.


П р и м е р 1.	J — \ V aï —x2 dx.		Полагаем		г = а sin (. Тогда dx =
= a cos t dt, V a 2—x2 = acost. По формуле				(8) имеем
/	=	а2 ^ cos2 t dt =	(^t + -i- sin 2t ^ -fc.
Желая возвратиться		к переменной х,	находим		из подстановки, что t =
х			2х	____

= arcsin — . Имеем sin 2t = 2 sin t cos t = ——Y a.2 — x2 и окончательно полу-
чаем		a2
чаем
\	} ' a2—x2 d x ~ —	arcsin---- 1	Y a2 —x24-c.
J	2	a	2

Примечания к способу подстановки. 1. Иногда вместо подста новки X = ф (t) лучше выполнить замену переменной вида t = = ф (х). 2. Вопрос о выборе подстановки решается на. основе сле дующего положения: целесообразна та подстановка, которая при водит к интегралу более простому в вычислительном отношении, чем исходный интеграл.

П р и м е р 2. ^ sin3 X d x = — J (1 — cos2 x) d cos x = cos3 x —cos z-f-c.

Фактически мы здесь пользуемся подстановкой t = cos х, хотя резуль тат получен прямо по табличной формуле 2°.

П р и м е р	Г	xdx	1	ГР d(x2+		1)	1
	3. j	1 5 q T = 2		J	Х 2 + 1		ln (х2-\-1)4- с.
							2
Последний пример допускает					следующее полезное обобщение.
П р и м е р	Г / ' (x)					с.
	4. J	/ (ж) ^х = ІД I / ( х ) 1+
В правильности	формулы можно			убедиться путем замены переменной t =
— / (х). Остальное получается			по табличной формуле 3.

144, Способ интегрирования по частям. В основе этого способа лежит тождество относительно х

J udv = uv — J V du,

(9)

которое имеет место при любых непрерывно дифференцируемых

функциях и (х),		V (x).		тождества				d (иѵ) = и dv -f- v du (см. п. 49)
Действительно,			из
следует, что	udv =		d (иѵ)		— vdu.			Интегрируя			последнее соотно
шение, получим равенство					\|	udv =			\| d (иѵ) — j vdu и формулу
(9), если принять во внимание, что								j	d (иѵ)	=	\| (иѵ)' dx = иѵ + с.
Пример	1.	x c o s x d x =				\	x d sin x = х sin x -				sin x dx =
		и		dv		ѵ	и	v
				= x sin ж-t-cos x-t- с.
П р и м е р	2.	I ln x d x = x ln x-							dX	/1	,4 ,
								X ——= X		(ln X	— 1 ) -)- c.

Ч ' - u v

Применение способа интегрирования по частям целесообразно в том случае, когда в правой части (9) интеграл окажется более простым в вычислительном отношении, чем исходный интеграл. Этот способ интегрирования можно рекомендовать, например, для вычисления интегралов вида

JРп(х) Inxdx, ^ Рп(х)еах dx, j P„(x)sinxdx,

где Рп (X) — полином степени п от х. Здесь во всех случаях, кроме первого, надо принять и = Рп (х).

Иногда полезно повторное интегрирование по частям.

П р и м е р 3. 1	(z2-f-3^ + 2) ex d^=(.r2+ 3^+ 2) ех —
d	и	dv

— I (2xJr ÿ)ex dx = (pflAr xAr \)ex -\-c.

V	U y	V y
Нетрудно обобщить полученный в примере 22 результат и уви
деть, что интеграл	от произведения многочлена Рп (х) степени п

на еах равен произведению того же вида J Рп (х) eaxdx = Q (х) еах -f-

+ с, где Q (х) — многочлен степени п, возможно, не совпадающий с Рп {х). К этому результату можно прийти путем повторного при менения формулы интегрирования по чартям.

145. Способ неопределенных коэффициентов. Этот способ интегрирования может быть рекомендован, когда известна форма ответа и остается найти лишь значения параметров этой формы. Тогда искомые величины могут быть найдены путем дифференци рования и решения системы алгебраических уравнений первой степени.

Покажем, как применяется этот метод на примере 3 и. 144. Напишем ответ с неопределенными коэффициентами а, Ъ и с

J (х2-f 2>х-f- 2) е*dx = (ах2+ Ьх~\-с) ех + С.

Дифференцируя обе части по х, получим после умножения на е~х следующее тождество: х2 + Ъх + 2 = ах2 + (2а + Ъ) х + Ъ + с. Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х, придем к системе уравнений: а = 1, 2а + b — 3, b + с = 2, из которой следует, что а = b = с = 1. Остается подставить найденные зна чения коэффициентов в исходное равенство.

§ 24. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ

Выше рассмотрены общие способы интегрирования функций, причем не было указано, какой из методов предпочтительнее дру гого при вычислении данного интеграла. Теперь мы приступим

к систематическому рассмотрению способов интегрирования неко торых классов элементарных функций.

146.Интегрирование рациональных функций. Интегрирование

целой рациональной функции / (х) = а0 + яре + . . . + апхп выполняется путем разбиения интеграла на слагаемые; в резуль тате интегрирования / (х) получится многочлен степени п + 1.

Дробная		рациональная		функция есть отношение многочленов
				Д М = 7Т Л '				(1)
g (х)	— степени т		и / (х) — степени			п.	Рациональная	дробь
называется		правильной,		если	т <іп,	и	неправильной,	если
т ;+	п (см.	п. 57).			н е п р а в и л ь н ы х			д р о
А. И н т е г р и р о в а н и е
б е й .	В случае		в из	рациональной дроби можно (согласно

теореме 1 п. 57) выделить целую рациональную часть и предста вить исходную дробь в виде суммы целой рациональной функции P (X) и правильной рациональной дроби:

л м - Ш = р < І ) + і і г

(2)

Следовательно, интегрирование неправильной рациональной дроби сводится к интегрированию целой рациональной функции и правильной рациональной дроби:

^ R { x ) d x - ^ Р {х) cte + J

dx.

(3)

В свою очередь интегрирование правильной рациональной дроби сводится к интегрированию простейших дробей, потому что в силу теоремы 3 п. 57 всякую правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы простейших дробей.

П р и м е р	1 . Вычислить \			_■	■ dx.	Путем деления числителя хъ на
знаменатель г2 +		1 получим	J	*2 + 1
знаменатель г2 +		1 получим
		2:2 +1	= X 3 — * + *2+1 ‘
Интегрируя эту сумму, находим
) *2+1		J (* * - * + «*2+1г г )					4 г + у In (*2+ 1) + С.
) *2+1		J (* * - * + «*2+1г г )
П р и м е р	2.	*2— 1		dx.	Разложим подынтегральную функцию
П р и м е р	2.	/== ^	2:	dx.	Разложим подынтегральную функцию
		2:3 +	2:
		*2 —	1		2*	1	Путем интегрирования
на простейшие, получим х3_^_х					* 2 + 1	X	Путем интегрирования
					* 2 + 1	X

суммы получим окончательно

J = ji< ( - J ? p [ - j ) d x = l n( x 2+ l ) - l n x + c = ln (* + 4)

Б. И н т е г р и р о в а н и е п р о с т ы х д р о б е й . Рассмотрим способы интегрирования вещественных простых дробей (см. п. 57).

Возможны четыре

случая.

1- j

dx = А In \х — а\ + с.

(4)

2- l ( ï é ^ kd x =T=rk(x - - aï~k + c'

к > і -

(5)

3- J =

q dx

при

ß2= g —P2/4> ° -

Подстановка

z = — (x2 + px+ q)',

e. z = a:+ -|-> Дает

x2 + px + q=--

+ q — -^- = z2+ ß2,

A c-f-2? = Hz-f £ ,

где

D = B —y Hp.

Поэтому

J-.

; j

^ =

(z2 + ß2) + J

a rc t2

J +

c ’

(6)

где z — x-

2 ’

d (x — 5)

ж —5

П р и м е р

3 . J

z2 —lOz + 29 -

— arctg — ----- he.

(* -5 )2 + 4

Пример

4. ^

(z+ 1) da:

=і

29- r f ^ } ln(^ + H -

ж2+ 6г

•

1 in-

Æ-f- 6

4. С помощью той же подстановки z — x -h у

при

m >

1 и

q получим

Ах-\- В

Az-\- D

■dz

А Ь

z dz

(x*+ px + q)m

(z2 +

ß2)™

+ Р®)Г

(z2+ ß 2)т

Первое слагаемое правой части легко вычислить, положив z2+ + ß2 = t. Второе слагаемое правой части интегрируем по частям, предварительно его преобразовав:

J, - I	dz		1		(Z2+ ß 2 ) - Z2		J_
J, - I	(z2+	ß2)m	ß2 J		(z2+	ß2)m	ß2 '« - I
	(z2 +	dz2	1 . /		_	1
	(z2 +	ß2)m	ß2	^rnm--1i		2ß2 L(l — w) (2*2+ß2)m-i
					m-1
				1—m

<<< < Предыдущая 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 4822 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ