книги из ГПНТБ / Сахарников Н.А. Высшая математика учебник

1. Если

обозначить

ф(я,

2/) = /(я + Ля, y ) —f(x, У),

(31)

то IV = ер {х, у +

Ау)

— ф (X, у). Эта разность по формуле конеч­

ных приращений может быть записана в виде произведения

и>--=ц'у(х,

у + ѲAy) Ay.

В силу

(31)

имеем w = [/ ÿ (х + Ах, у -f 0 Ау) — fÿ (х, у -f-

-г ѲДу)] Ау. Применяя еще раз формулу конечных приращений,

получим

w = fyx(x + Q1 Ах,

у + ѲАу)АхАу.

(32)

2. Если обозначить ф (х, у) =

/ (х, у + Ау) — / (х, у), то,

сле­

дуя той же схеме рассуждений, последовательно получим

w = ф (х -т- Аж,

у) — ф(ж,

у) = фі (ж + Ѳ2Аж, у) Ах =

= fxy(x -rQ2Ax,

у + % Ay) Ах Ay.

(33)

Перейдем в этом равенстве к пределу при

Ах -»-0,

Ду ->■ О,

согласно непрерывности f"xy и f"yx в

точке (х,

у) получим равен­

ство (30). Теорема доказана.

высших

порядков

С л е д с т в и е . Смешанные производные

равны, если они н е п р е р ы в н ы

и получены в результате диф­

на

примере.

ихху

\(Цх)х)у =—■ЕІЦх) у\х — Еіру )л4л:і т. с. 1ххху ==

=

u'xyif — Uyxx-

Здесь мы дважды пользовались теоремой: первый

ференцирования), второй раз

положили

и"ху — и"ух.

В

общем

случае

схема рассуждения

аналогична.

130.

Полное приращение и полный дифференциал функции.

Пусть функция и — f (х, у) независимых переменных х н у

опре­

делена и непрерывно дифференцируема в области А.

О п р е д е л е н и е .

Частным дифференциалом функции и ==

= / (х,

у) называется произведение соответствующих частной про­

изводной и приращения независимой переменной:

dxu = /* (х,

у) dx,

dyu = fy(x,

y)dy,

где dx — Ах и dy = Ду суть приращения

независимых перемен­

ных х н у .

функции нескольких

переменных

Полным дифференциалом

1Ш1—-- = І1ІН

1 -:

VP

(40)

1 .

LAU'

1 .

Р-о du

Р-0

du

Au ^ d u ,

(41)

симых переменных tu

ѵ,Ъ) функции х (t,

ѵ) и у ft, ѵ) принимают

значения в области А

при всех t, ѵ, принадлежащих В.

Перемен­

ную и будем рассматривать как сложную функцию t

и ѵ в В.

По определению дифференциала функции имеем

du = щ dt f u'vdv.

(42)

По правилу дифференцирования сложной функции получим

du ^=~- (uxxt —уuyyt) dt —t- (uxx-Ll

uyyf) dv

-= Ux (x't dt xv dv) -r u'y (y't dt -f y'v dv).

(43)

du=^ux d xJr u'ydy.

(44)

Итак, доказано утверждение: формула

f44j имеет место как

в том случае, когда х

и у — независимые

переменные

(тогда àx

и dy суть приращения этих переменных),

так и в случае, когда

X и у сами являются

функциями других

переменных

(тогда dx

З а д а ч а

1.

Вычислить значение функции

и — f (х , у)

в точке N (х +

Ах, у

+

Ау), если известно ее значение в близкой

точке М (х, у).

Приближенное решение задачи дает формула (41), которую

можно записать

в виде

f(x + Ах,

y + A y )œ f(x , y) fd f( x , у).

(45)

В частности, при х = у = 0, обозначив Ах =

х, Ау =

у, получим

f(x, y ) ^ f ( о, 0) + d/(0, 0).

(46)

Таким образом, значения функции в близких точках отли­

чаются приближенно на величину df (х , у).

П р и м е р

1. Требуется вычислить значение

функции

и — хеу при

ж = 2,03, у =

0,1. Для этого рассмотрим точку М (2,0). Вычислим / (М) =

= 2е° = 2 и

dj

(М) = е^Дх + хеУ&.у. Здесь

2, Удо=

0, Ах = 0,03,

\х —х0\ ^ А х.

(47)

Р е ш е н и е .

Если принять

приближенное равенство

(41)

за точное и положить Au =

и'хАх +

иу Ау, то легко найти верхнюю

границу величины | Au | с

помощью неравенства

I Au I

I и'х I

I Ах I + 1и’у ! I Ay I sc I их I Д*+ I и'у \ Ау.

Поэтому за

Аи можно

принять

Аи = \их \Ах+ \и у \Ау.

(49)

Формула

(49)

обобщается на случай функции любого числа

независимых

переменных.

погрешности слагаемых с к л а д ы в а ю т с я :

Ах±у = А*+ Ау.

(50)

П р и м е р .

Составим

уравнение

касательной к

винтовой линии,

за­

данной

уравнениями х —

а cos m г,

у

=

a sin <вг,

z =

kt

в точке,

где

t =

= t 0— jt/2(o

(рис. 94).

х'

=

—аа

sin

at,

у' — асо

cos

иг,

г'

к.

При

г =

Р е ш е н и е .

Имеем

г0 получим хп = 0 , у 0

—

a,

z0

— кп/2ш, х'й = —аш,

у'0 =

0 ,

z'0 =

к.

Подставив эти величины в соотношения (55), получим уравнение касатель­

ной

Х_ Y - a

Z —ZQ

аи

0

к

133.

Касательная плоскость и нор­

маль к поверхности. Пусть поверхность

S

задана уравнением

ф(х,

у,

z) —0,

(57)

в котором функция

ф (X, у,

z)

предпо­

лагается

непрерывно

дифференцируе­

мой,

причём

ф(? + фу2 +

фг2 ]> 0 на S.

Рассмотрим

на

поверхности S

точку

М 0 (х оі Уо> zo) и произвольную гладкую

кривую I, проходящую через М 0. Пусть

х

= х (t),

у

= у (t),

z

= z (t) — пара­

метрические уравнения линии I, кото­

рые при

t =

t0 дают

X = х 0,

у

=

у 0,

z = z 0. Линия I принадлежит поверхности

S, поэтому имеет место тождество ф (х (t), у (t), z (t))

~ 0 . Дифферен­

цируя

это тождество по переменной t, получим

4>х (Щ Х' -I- фУ(М) у'

г фг (M)z’ ~ 0 .

При

=

t0 имеем

ФІ (М 0) xf (t0) +

Фy(M0) y' (t0) +

ф; (M O) Z' (t0) = 0.

(58)

Рассмотрим векторы N (ф*0, Фггю

фго) и s (•rô> Уоі zo)• Эти век­

торы

ортогональны,

потому

что

согласно (58)

их

скалярное

произведение равно нулю. Заметим, что вектор N не зависит от

выбора линии I на поверхности, а вектор s согласно (55) направлен

по

касательной

к I

в

точке

М 0. Отсюда

следует утверждение:

касательные в точке М 0 ко всем принадлежащим поверхности

&

гладким линиям вида I лежат в одной плоскости, которая перпен­

дикулярна

вектору

N.

через

точку

М 0 перпендикулярно

Плоскость,

проходящая

вектору

N,

называется

касательной плоскостью

к поверхности

прямая, перпендикулярная к касательной плоскости в точке

М 0.

Выведем уравнение касательной плоскости. В уравнении пло­

скости

А (х — х0) t- В (у — уо) + С (z — Zo) = 0,

(59)

Ц>'х {Мо) {х — х0) + еру(М0){у —у0) 4- фг (М0) (z —z0) -==0.

(60)

X— х0

у —i / o

z — z о

( 61)

т

п

р

х— хо

У— Уо

2

zo

(Р>2)

ФІ Шо) ~

ф у (ЛГо)

ф; (Л?о) ‘

Ѵ '

П р и м е р .

Составить уравнение

касательной

плоскости

и нормали

к поверхности, заданной уравнением z = х2 4“ у 2 в точке М 0 (1 , 1 , 2).

Р е ш е н и е .

Здесь

ф =

хг +

у2 — z,

(pÿ =

2х,

(pÿ = 2у,

фг= —1-

В точке М 0 имеем ф* =

Фу =

2, (р'г

= —1. Поэтому в соответствии с равен­

ствами (60) и (62) получим уравнение касательной плоскости 2ж +

2у — z —

■у — I

у_I

2_2

- 2 = 0 и уравнения нормали — -— =

Л—— =.■-----— .

cos а = _____ фі______

COS ß

%

Ѵф^т-фуН-фг*

’

/ф і 24-ф;2 + Фг 2 ’

непрерывно;

такие

поверхности

называются

кусочно-гладкими.

О

г е о м е т р и ч е с к о м с м ы с л е п о л н о г о д и ф ­

ф е р е н ц и а л а .

Если

поверхность задана

уравнением z =

= / (х >У,) то

уравнение

касательной плоскости

будет получено

как

частный

случай

уравнения (60) при ф =

/ (х, у)

— z. Тогда

Ч>Х =

Гх,

фу =

/у, Фг = — 1 и уравнение (60)

примет

вид

fx(xо, Уо)(х — хо)+Гу(хо,

Уо)(у —Уо) — (z— 2о) = 0.