книги из ГПНТБ / Сахарников Н.А. Высшая математика учебник

Переменной величиной, или просто переменной, называется всякая математическая величина, которая может принимать раз­ личные числовые значения в рассматриваемом явлении (вопросе, процессе, исследовании). Например, угол наклона к вертикали колеблющегося маятника есть величина переменная.

В математике постоянную величину часто рассматривают как частный случай переменной величины, все значения которой равны

приходится иметь дело не с одной переменной, а сразу с несколь­ кими переменными, которые взаимно связаны. Например, при из­ менении радиуса изменяется площадь соответствующего круга, причем эти переменные связаны зависимостью s = яг2.

В общем случае пусть имеются две переменные х и у, принима­ ющие вещественные значения. Пусть областью изменения перемен­

ц и е й п е р е м е н н о й х, о п р е д е л е н н о й н а м н о ­ ж е с т в е X ( или в о б л а с т и X), если каждому значению х ( из множества ее возможных значений X ) соответствует опреде­

ленное значение у. Переменная х называется независимой перемен­ ной, или аргументом.

Обозначение функции у = / (х), у = ср (х), у = у (х) и т. п. введено Эйлером в 1748 г.; термин «функция» введен Лейбницем в 1692 г. Для обозначения частного значения функции, например f (х) в точке XQ, употребляется символ / (х0).

В этом определении существенны два момента: во-первых, указание области X изменения аргумента х — ее называют областью

определения функции, и, во-вторых, установление правила или закона соответствия между значениями ж и у. Задать функцию — это значит задать закон соответствия и область определения функции.

Закон соответствия может быть задан правилом какой угодно природы. Наиболее важным для математического анализа является задание этого правила в виде аналитического выражения или фор­ мулы, содержащей указание на те операции или действия над постоянными числами и над значением жчкоторые надо выполнить, чтобы получить соответствующее значение у.

над поверхностью земли. Путь, пройденный при этом телом, есть функция

функции. Областью изменения функции является промежуток [0, h]. Заметим, что формула s = 0,5gt2 позволяет вычислить s при любых значениях t. Однако в условиях примера нелепо рассматривать значения t <; 0 или пользоваться этой формулой при t>> Т.

Различают: 1) область определения функции — она опреде­ ляется из чисто теоретических или прикладных соображений, но всегда исходя из существа рассматриваемого вопроса, и 2) есте­ ственную область определения функции / (ж), заданной аналити­ чески (называемую также областью допустимых значений, сокра­ щенно — о. д. з.), т. е. множество значений независимой пере­ менной ж, при которых величина / (ж) принимает вещественные значения.

В примере 2 о.д.з. для аналитического выражения 0,bgt2 — это вся

область определения функции есть множество натуральных чисел, не мень­ ших числа три.

В качестве области определения функции чаще всего встречаются либо промежуток (конечный или бесконечный), либо множество натуральных чисел.

функции изображен на рис. 3 (точки, помеченные звездочкой, графику не принадлежат).

Примеры степенных функций: 1) у = У х при х йэ 0, 2) у = = 1/ж при хф=0,Ъ)у = угх при любых вещественных х.

4.Показательная функция у = ах, где а — положительное число, не равное единице. Эта функция определена на всей веще­ ственной оси. Ее график изображен на рис. 5.

5.Логарифмическая функция у = loga х, где положительное число а не равно единице. Эта функция определена при х^> 0. Ее график изображен на рис. 6.

6.Тригонометрические функции у = sin х и у = cos х опреде­

ческих действий и операции функции от функции, примененных конечное число раз, тоже называются элементарными функциями. Например, у = sin3 х, у = loga (1 + х 2) — функции элемен­ тарные.

9. Алгебраические функции. Алгебраической функцией назы­ вается функция, которая может быть задана с помощью суперпози­ ций конечного числа рациональных функций и степенных функ­

ческие функции.

Алгебраическая функция, в состав аналитического выражения которой входит степенная функция с нецелым показателем и кото­ рая не является рациональной функцией, называется иррацио­

нальной функцией. Пример иррациональной функции: у = У х. К числу алгебраических функций относятся рациональные функции (как целые, так и дробные) и иррациональные функции. Всякая неалгебраическая функция называется трансцендент­ ной функцией. Например, трансцендентными являются логариф­

мическая, показательная и тригонометрическая функции.

§2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

10.Бесконечно малая функция. Рассмотрим прежде всего следующие примеры функций:

у= х — а, у = (х — a)2, y = sin(cc —а)

при значениях х, близких к а (рис. 9). Графики этих функций либо пересекают ось абсцисс, либо касаются ее в точке а. В случае у = (х — а)2 график расположен в области положительных орди­ нат и только в точке а касается оси абсцисс. В других случаях графики пересекают ось абсцисс и ординаты принимают значения разных знаков по обе стороны точки а.

Что можно сказать о значениях функции (не о графике) в этих случаях? Ответ: значения функции сколь угодно малы по абсолют­ ной величие, если соответствующие значения аргумента доста­ точно близки к а.

Отвлекаясь от примеров, мы приходим к следующей предвари­ тельной формулировке понятия бесконечно малой функции. Функ­ ция а (X) называется бесконечно малой при стремлении х к а,

если ее значения сколь угодно малы по абсолютной величине при всех значениях х, достаточно близких к а.

В дальнейшем мы часто будем пользоваться такими оборотами речи: «значения функции сколь угодно малы по абсолютной вели­

(т. е. для достаточно малого б). Число б является достаточно ма­ лым, если для всех значений х из промежутка (2) выполняется

тельного е (как бы мало оно ни было) существует соответствующее положительное число б такое, что выполняется неравенство

I а И I <е

В этом случае переменную а (ж) называют также бесконечно малой величиной, или просто бесконечно малой. Тот факт, что а (х)

Гос. п,.-,'. <гя MJ4'4hv,--i 4:;н

библиотека" СССР*

^‘КЗЕМП пер

4. В определении бесконечно малой функции говорится о суще­ ствовании числа ô и не требуется, чтобы был указан способ вы­ числения Ô по данному е.

5. Ни одна из постоянных величин (кроме а = 0), как бы мала она ни была по абсолютной величине, не является бесконечно малой, так как она не удовлетворяет условию (1). Постоянная а = 0 является бесконечно малой в силу определения бесконечно малой.

6. Термин «бесконечно малая» относится к характеру измене­ ния переменной, а не к ее «размерам». Так, вес льда айсберга, пере­ мещающегося к экватору, может иметь весьма большие промежу­ точные значения. Однако при стремлении £ к £0, где £0 — момент полного растаивания льда, этот вес неограниченно приближается к нулю и поэтому является величиной бесконечно малой.

С л е д с т в и е . Из определения 1 следует, что величины а (х) и \а(х)\ вместе являются (или не являются) бесконечно малыми. Действительно, неравенства | а (х) J < е и ||а (з :)||< е вместе выполняются (или не выполняются).

В связи с рассмотрением понятия бесконечно малой функции сформулируем понятие предельной точки множества. Пусть Z есть данное числовое множество. Точкой сгущения, или предельной точкой числового множества Z , называется точка z0, в любой окрест­ ности которой имеются точки множества Z, отличные от z0. Заме­ тим, что точка z0 может не принадлежать множеству Z.

П р и м е р 1. Пусть Z — множество чисел, удовлетворяющих условию а <; X <; Ъ. Каждая точка промежутка a sg х ^ Ъ является предельной точ­ кой данного множества. Действительно, в любой е-окрестности, например, точки а, т. е. в промежутке (а — е, a -j- 'е), имеются точки данного множества.

П р и м е р 2. Пусть Z — множество правильных положительных дро­ бей. Можно доказать, что каждая точка промежутка (в том числе

ииррациональная) является точкой сгущения данного множества.

Пр и м е р 3. Пусть а (х) — бесконечно малая функция при стремлении X к а, причем X — область определения функции и Y — область ее изменения.

Тогда согласно определению 1 число а является точкой сгущения множества