Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Сахарников Н.А. Высшая математика учебник

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.10.2023

Размер:

24.22 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 4819 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

п = 2 — круг радиуса е с центром в точке М 0 без ограничивающей его окружности.

Рассмотрим некоторое бесконечное множество >4 точек простран ства Еп. Точка М 0 пространства Еп называется внутренней точкой множества А, если она принадлежит А вместе с некоторой окрестностью точки М 0. Множество А называется открытым, если каждая его точка внутренняя. Примером открытого множе ства пространства Е 2является множество точек, удовлетворяющих условию х 2 + у 2 < 1 . Однако условие х 2 + у2 sg 1 определяет множество, не являющееся открытым, потому что, например, точ ка (1,0) нашему множеству принадлежит, но она не является внутренней точкой рассматриваемого множества.

Множество А называется связным, если любые две его точки можно соединить «ломаной», состоящей из точек множества А. При этом под «отрезком ломаной» в пространстве Еп понимается множество точек этого пространства, удовлетворяющих условию

xk = а* + ß**	при а C t < ß ,	где к = 1, 2,	. . ., в, и	а, ß ,ab
ß* — постоянные.		называется	открытое	связное
Областью	пространства Еп

множество точек этого пространства. Например, множество точек,

удовлетворяющих	условию	\| х — х 0 \| < а ,	\| у — у 0\ <	Ь, есть
область пространства Е 2.		Еп называется	граничной	точкой
Точка М 1 пространства
области А, если	в любой окрестности этой точки имеются точки

Еп как принадлежащие А, так и не принадлежащие А. Совокуп ность всех граничных точек множества А называется его границей. Область А пространства Еп вместе с ее границей называется

замкнутой областью пространства Еп\ она обозначается символом

А.				окружности х2 +		у2 = 1 яв
П р и м е р	ы.	Каждая	точка
ляется граничной		точкой	области,		определяемой неравенством
х 2 + У2 < 1 -	Неравенство		х 2 +	у2 sç 1 определяет		замкнутую
область пространства Е.г.
Точкой сгущения, или предельной точкой множества А, назы
вается точка	Р пространства Еп,			в	любой окрестности которой

имеются точки множества А, отличные от Р. Каждая предельная точка области является либо ее внутренней точкой, либо ее граничной точкой.

Многомерная геометрия есть средство математического описания реаль ных явлений. Например, зависимость давления от объема для данной массы газа при данных условиях изображается некоторой кривой. Так, при по стоянной температуре для идеального газа эта кривая — гипербола в соот ветствии с известным законом Бойля — Мариотта. Но если мы имеем более сложную физическую систему, состояние которой задается уже не двумя (как объем и давление в случае однородного газа) исходными данными, а большим числом, то геометрическое представление ее изменения нуждается в про странстве большего числа измерений. Например, пусть речь идет о сплаве трех металлов или о смеси трех газов. Состояние смеси определяется четырьмя данными: температурой Т, давлением р н процентным содержанием с , и сг

двух газов. Состояние такой смеси может быть представлено четырьмя чис лами: Т, р, щ и с2, т. е. точкой четырехмерного пространства. Каждому воз можному состоянию смеси соответствует своя точка пространства Е±.

Такими представлениями фактически пользуются в химии. Применение методов многомерной геометрии к задачам химии разработано школой совет ских физико-хнмиков академика Курнакова и американским ученым Гиббсом.

«Пусть состояние какой-либо физико-химической системы определяется п величинами (так, состояние газовой смеси определяется давлением, темпера турой и концентрациями составляющих ее компонентов). Тогда говорят, что система имеет га степеней свободы, выражая этим, что ее состояние может меняться, так сказать, в п независимых направлениях с изменением каждой из определяющих это состояние величин. Эти величины, определяющие со стояние системы, играют роль как бы его координат. Поэтому совокупность всех ее состояний рассматривают как га-мерное пространство — так называ емое фазовое пространство системы.

Непрерывные изменения состояния, т. е. процессы, происходящие в си стеме, изображаются линиями в этом пространстве. Отдельные области со стояний, выделяемые по тем или иным признакам, будут областями про странства. Состояния, пограничные для двух областей, образуют поверхности в этом пространстве.

...Понятие фазового пространства применяется не только к физико-хими ческим, но и к механическим системам. В кинетической теории газов рассма тривают, например, фазовые пространства системы материальных частиц — молекул газа. Состояние движения одной частицы в каждый момент опре деляется ее положением и скоростью, что дает всего шесть величин: три коор динаты и три составляющие скорости (по трем осям координат). Состояние п частиц задается 6га величинами, и так как молекул очень много, то 6га —огром ное число. Точка в этом пространстве изображает состояние всей массы моле кул с их координатами и скоростями. Движение точки изображает измене ние состояния» *. Такое абстрактное представление оказывается очень полез ным во многих глубоких теоретических выводах термодинамики и статисти ческой физики.

121. Понятие функции нескольких переменных. В нашем курсе наиболее подробно рассматривается случай функции двух неза висимых переменных. Однако все введенные понятия и полу ченные результаты могут быть соответственно обобщены на случай функции любого числа независимых переменных.

Пусть А есть		область изменения независимых переменных х
и у. Переменная		и	называется	ф у н к ц и е й	н е з а в и с и м ы х
п е р е м е н н ы х	х	и	у на м н о ж е с т в е А,		если каждой паре
чисел X, у из А	соответствует			определенное	значение и. Пере

менные X и у называются также аргументами функции и.

Множество А пар чисел х , у, на котором определена функция, называется областью определения, или областью существования функции. Областью А определения функции двух переменных может быть область плоскости (открытое связное множество точек эвклидова двумерного пространства £ 2), но может быть и зам кнутая область плоскости. Ею может быть линия или какое-либо иное множество точек плоскости Е 2.

Приведем несколько примеров функций, заданных аналитиче ски с указанием областей их определения.

* А. Д. А л е к с а н д р о в . Математика, ее содержание, методы и значение, т. III, Абстрактные пространства. М., АН СССР, 1956, с. 117—149.

1.	Функция	задана	формулой	и — ln (1 — х2 — у2) внутри
круга, определяемого неравенством				х 2 + у2 < 1.
2.	Функция задана формулой и= ] /г 2 — х 2 — у 2 внутри и на
границе круга, определяемого неравенством х 2 -f у2 s£ г2.
3.	Функция	задана	формулой	и — х — у на эллипсе х 2 +
+ V	= 4.
В	общем случае тот факт, что и есть функция аргументов х
и у,	изображается символом и — /			(х, у), или и = и (х, у) и т. п.

Понятие функции двух независимых переменных легко обоб щить на случай функции любого числа независимых переменных.

Переменная и называется	функцией п н е з а в и с и м ы х п е р е
м е н н ы х жІ5 х г, • • -, хп	на м н о ж е с т в е В (п-мерного прост

ранства), если каждой точке этого множества соответствует

определенное значение переменной и.

через

М,

то

функцию

Если

точку (хг,

. . ., хп)

обозначить

и = / (xlt . . ., хп) от этих переменных иногда называют функ

цией точки М и обозначают так: и = / (М ) или и =

и (М ).

Функция и =

и (М ) с областью определения В есть отображе

ние множества В на множество U, представляющее область изме

нения переменной и.

хп)

Геометрическим образом функции п переменных u = f (хг,

является

множество всех

точек

(xlt

. . .,

хп,

и),

для

которых выполнено соотношение и = / (хг, . . ., хп).

В частно

сти,

функции

двух

переменных

и =

f (х, у) в

трехмерном

про

странстве соответствует, вообще говоря, поверхность. Напри

мер,

функции

и = X 2 + у2 соответствует

параболоид

вращения

(см.

п. 116).

предела функции.

Теория пределов.

Пусть

122.

Понятие

функция и = / (х, у) определена в области А и

М 0 — точка сгу

щения множества А. Число Ъ называется п р е д е л о м

ф у н к ц и и

f (х, у) при с т р е м л е н и и т о ч к и М

(х, у) к точке М 0(х0, у0),

если для каждого числа е )> 0 существует

соответствующее число

8 > 0

такое,

что

неравенство

\ f ( x , y ) - b \ C E

(2)

выполняется при

условии

0 < d ( M 0tM)<8 .

(3)

Этот

факт

записывают

символически

lim / (х, у)= b

или

lim

f(M) — b.

(4)

-*• * 0

М о

^Уо

Условие (3) означает, что точка М принадлежит б-окрестности точки М0 и не совпадает с М 0.

Функция и = f (М ) называется бесконечно малой при стремле нии М к М 0, если lim / (М) = 0 при М -> М0.

Все основные теоремы о бесконечно малых и о пределах, сфор мулированные в главе I для функции одной переменной, обобща ются и на случай функций нескольких переменных. Например,

имеет место следующая теорема.

функций

а г(М)

Теорема. Сумма

двух

бесконечно малых

а 2(М) при М

-> М й есть функция бесконечно малая.

е >

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Фиксируем

произвольное

По условию теоремы для

существует число ô j >

такое, что

выполняется

неравенство

при

0 <

d (М0, М) <С

| а х (М ) |

< б 1, и

существует

б2 > 0

такое, что

\<х2(М)\

при 0 <

C d ( M 0,

М)

< ô2.

Тогда

|а г{М) -f

а 2(М) |

\^ЛМ)\

+ \а2(М)\

< е

при

условии

0 < i d ( M 0, М)

< 6, если

и ô < 0 2. Теорема доказана.

существования

предела

функции

П р и м е ч а н и е .

Для

/ (М ) при М -> М 0 требуется

(согласно определению этого поня

тия), чтобы при любом способе стремления М к М 0 существовал предел функции / (М ) и он был равен одному и тому же числу. Поэтому для существования упомянутого предела может оказаться

недостаточным		существование таких	пределов:	lim / (х, у) =
при X	х 0, у = у о и lim / (х, у) =		Ъ2 при х =	х 0, у	у0 и их
равенство Ьг =		Ъ2. Поясним это положение примером.
П р и м е р 1.		Функция задана равенством / (х, у) =		ху	при усло
				Xï + ÿl
вии х* +	у2 > 0.	Пусть х0 = у Q= 0. Следовательно, bj = Ь.г =			0. Однако

предел функции при стремлении М к М 0 не существует. Действительно, на прямой у = кх функция сохраняет постоянное значение / (х, кх) = ^ к ,

которое зависит от к. Следовательно, в любой окрестности точки М0 функция

принимает любые значения из промежутка ^			. Поэтому усло
вие (2) не может быть выполнено и функция не имеет предела.
123« Непрерывность функции нескольких переменных. Пусть
функция и = / (х, у) определена в		области А и	М 0(хй, у 0)	есть
внутренняя точка А.	Функция	и = / (х, у)	называется	не
О п р е д е л е н и е .
прерывной функцией в точке М 0, если выполнено условие
lim	/ (х, у) = / (х0>у0).			(5)
Х-+0С©
V-+Vо
О п р е д е л е н и е .	Функция	и = / (х, у)	называется	не

прерывной в области, если она непрерывна в каждой точке этой

области.	__
Непрерывность	функции в замкнутой области А означает,

что она непрерывна в области Л, а в точках границы этой области

имеет место непрерывность при дополнительном условии, что точка М стремится к М 0, оставаясь внутри области А.

Рассмотрим в области А две точки М 0(ж0, у 0) и М (х, у). Обо значим X — х 0 ~ Аж, у — у о = Лу. Полным приращением функ ции и = f (х, у) при переходе от точки М 0 к точке М называется разность значений функции в этих точках, а именно Аи = f (М ) —

— / (Л/о), т. е.

Au = f(x,

у) — / (х0,

у0).

(6)

Условие (5) непрерывности функции в точке М 0 равносильно

условию

lim

Агг = 0,

(7)

которое означает, что бесконечно малому расстоянию

между

точками

и М 0

соответствует бесконечно

малое приращение

функции.

Действительно,

из

условия

(5)

следует

равенство

lim

[/ (М ) — / (М0)] = 0 и равенство (7). Из условия

(7)

в свою

м -*■м„

очередь следует предыдущее равенство и равенство (5).

П р и м е р

2. Функция и = ж2 + у2 непрерывна

в любой

точке пло

скости. Действительно, при любых значениях х н у

величина А и =

2жДж +

+ 2уАг/ +

(Да;)2 + (Ау)2

стремится

к нулю при

Дж-*- О, Ау

Таким

образом, выполнено условие (7), что и доказывает наше утверждение.

П р и м е ч а н и е .

Непрерывность функции

двух переменных

х и у

п о с о в о к у п н о с т и

п е р е м е н н ы х

ж и у

есть нечто большее, чем

непрерывность этой функции по ж и по у порознь. Функция / (х, у)

может быть

непрерывной отдельно по х (в точке ж0 при у =

у0) и отдельно по у (в точке у №

при X =

х0) и вместе с тем не быть непрерывной в точке М 0 (х0, у 0).

ху

П р и м е р

3. Рассмотрим функцию и =

f (х,

у)

+ У2 при

+ г/2 Г> 0, и =

0 при X =

у =

0. Эта функция определена на всей плоскости.

Пусть х0 =

у 0 = 0. Функция / (ж, у 0) = 0 непрерывна по ж в точке ж0. Функ

ция /(ж0, у) =

0 непрерывна по у вточкег/0. Однако А к=/ (ж, у)—/ (ж0, у 0) =

= / (ж, у)

не имеет предела

при ж->- ж0, у

у 0 (см. пример 1), и поэтому

данная

функция не непрерывна в точке (ж0, у 0) по совокупности переменных ж

и У-

Теорема. Сумма,

разность,

произведение

и частное

непрерыв

ных функций нескольких переменных есть функции непрерывные

(в	случае	частного	предполагается,		что знаменатель	не равен
нулю).				Пусть	lim / (М) =	f(M0) и
Д о к а з а т е л ь с т в о .
lim g (М ) =					м^ма
		g (М 0). Тогда в силу теоремы о пределе суммы имеем
M-JM,
lim	If(М) + g (М)] -		lim f(M)+ Hm		g (M) = / (М0) + g(M0). (8)
М - * М О		_ М ^ М о		М - і И о

Таким образом, для суммы данных функций выполнено усло вие непрерывности (5) и теорема доказана. Аналогично доказы вается теорема в остальных случаях.

Множество точек пространства Еп назовем ограниченным, если это множество содержится в некотором гипершаре: (зц — ,rl0) 2 +

+	----- (хп — ХпоѴ ^ Л 2.
	Примем без доказательства следующие три теоремы.
	Теорема Вейерштрасса. Если в ограниченной замкнутой области
А	функция	и = / (М ) непрерывна,	то она достигает в А		своего
наибольшего		и своего наименьшего	значений.
	Это значит, что в А существуют точки			и М 2 такие, что для
всех М из		А выполняются соответственно		неравенства / (М ) «S
-	/ (.М ,) и / (М) S&/ (Л/2).
	Теорема Коши* Непрерывная в области А функция и =				/ (М),

переходя от одного своего значения к другому, необходимо проходит

через каждое промежуточное значение.						называется рае-
О п р е д е л е н и е .		Функция		и — f (М)
номерно непрерывной в области А , если для каждого							е ]> 0 су
ществует не зависящее от М число ô >					0 такое, что выполняется
неравенство	\| / (М) — / (М0)\ <		е для		всех пар	точек М и М 0
области А,	удовлетворяющих условию				d (М0, М) <Z$.
Теорема Кантора. Если в ограниченной замкнутой области А
функция и — f (М ) непрерывна, то она равномерно							непрерывна
в А.
Например, функция и =		х2 — у2	равномерно непрерывна в замкнутой
области, определяемой неравенством			х2 +	у 2 ^ R 2.

§ 21. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

124, Понятие частной производной* Пусть функция и = f(x, у) определена в области А . Одной из основных задач теории функций нескольких переменных является задача исследования данной функции. Метод сечений, с помощью которого в аналитической геометрии проводилось исследование формы поверхности по ее уравнению, нашел своеобразное отражение и в математическом анализе при решении указанной задачи.

Рассмотрим произвольную точку М 0(х0, у0) области А. Если переменная у сохраняет постоянное значение у — z/0, то перемен ная и становится функцией одной независимой переменной х, именно и = f (х, у0). Заметим, что график этой функции в трех мерном пространстве представляет сечение поверхности, опреде ляемой уравнением и — / (х, у), плоскостью у = уй. Найдем производную функции / (х, у0) в точке ха. Для этого дадим х приращение Ах, функция получит приращение

Axu = f(x0 + Ax, y0) —f(x0, уо),

(1)

называемое частным приращением функции и по переменной х.

О п р е д е л е н и е .		Частной	производной функции и =
= / (х, у)	по переменной х в точке М 0(х0, у0) называется предел
(если он	существует)	отношения	соответствующего частного

приращения функции Ахи к вызвавшему его приращению неза

висимой переменной Ах,

когда Да; стремится к нулю:

дхди =

lim

Да;

(2)

Ллг-ч-0

Обозначается частная производная

этом случае

любым из

символов

, и'х,

Іх {х0,

уо).

Из

определения

следует

геометри

ческий смысл

частной

производной

функции

двух

переменных

по х\

ча

стная

производная

/* {х0, у0)

равна

тангенсу

угла

наклона касательной к

линии

пересечения

поверхности

и =

—- / (х, у)

плоскости

у — у0 в соот

ветствующей точке (рис. 92).

частная

Аналогично

определяется

производная функции по переменной у:

lim

Ауи

iü. =

и'

(х

Уо),

Ау^о

~д7

ду

— иУ~- Ту

1Z 0’

где

О)

AyU = f(x0, y0 + Ay)—f(x0, Уо).

(4)

Подобным образом определяются частные производные функ

ций любого числа независимых переменных.

переменной

(см.

Пользуясь

понятием

скорости

изменения

п. 28), можно

сказать,

что частная

производная

f'x (ж0,

у0)

есть

скорость изменения функции / (х , у) относительно х при постоянном у; аналогично fÿ (х0, уа) характеризует скорость изменения функции при изменении у и фиксированном х.

Правило вычисления частной производной функции несколь ких переменных следует из ее определения и состоит в следующем: частные производные вычисляются по правилам дифференцирова ния функции одной переменной, при этом все независимые пере менные, кроме той, по которой выполняется дифференцирование, следует считать постоянными, соответствующими точке дифферен цирования.

П р и м е р 1.	Если и =		хг — у2, то и'х =	2х,	uÿ =	—2у.
П р и м е р 2-	Если	и =	xyz, то их — yz,	и'ц =	xz,	иг — ху.
П р и м е р з .	Если	р =	R T	R **		RT
П р и м е р з .	Если	р =	—- , то р'Т = — * р'ѵ =			— — .Величинар^

называется изотермическим коэффициентом упругости идеального газа.

125. Обобщенная формула конечных приращений. Пусть функция и = f (х, у) в области А определена, непрерывна и имеет производные их и и'у. Рассмотрим две точки этой области М (х, у)

и N {х~\-Ах, у -f-Aу), а также соответствующее полное прираще ние функции

Au = f{x + Ax, у-\-Ау) —f(x,	у).	(5)
Запишем его в виде суммы двух разностей
Au = [f(x-'r Ax, y + Ay) —f(x, y + Ay)] + lf (х,	y + Ay) — f(x,	у)}.

Каждая из этих разностей представляет частное приращение функции, т. е. приращение функций при изменении одного аргу мента и неизменном значении другого. Преобразуем каждую из этих разностей по формуле конечных приращений Лагранжа для функции одной переменной, получим формулу

Au = f ’x (х -f ѲАх, у {- Ay) Ах+ fÿ(x, у -\-Ѳ1Ау)Ау.

(6)

Она называется обобщенной формулой конечных приращений для функции и — f (х, у). Здесь Ѳ и Ѳ( — числа из промежутка (0,1).

126. Дифференцирование сложной функции. Условимся в сле дующем: будем называть функцию нескольких переменных не прерывно дифференцируемой в области А, если существуют и не прерывны в А ее частные производные по каждой из независимых

переменных.				д в у х	независимых пере
	А. Рассмотрим сложную функцию			д в у х	независимых пере
менных. Пусть		1) функция и = f	(х, у) определена, непрерывна
и	непрерывно	дифференцируема	в	области	А	плоскости	Оху,
2)	функции X — X (t, и) и у = у (t, ѵ) определены, непрерывны
и	непрерывно	дифференцируемы	в	области	В	плоскости	Otv

3) области А и В согласованы, т. е., если точка (t, ѵ) £ В , то соот ветствующая точка (X, у) Ç А . При этих условиях переменную и можно рассматривать как сложную функцию независимых пере

менных t		и V в области В: и = f (х (t, v), у (t,		v)).
Требуется найти ее частную производную, например, по пере
менной	t.	Для этого рассмотрим в области В		две точки (t, ѵ)
и (t	At,	ѵ). Соответствующие частные приращения функций
X (t, v),	у	(t, ѵ) ж f	(х, у) будут
Atx = x(t+ At,			v) —x(t, v), Aty = y{t + A*,	v) — y(t , v),

Atu = f(x + Atx, y + Aty) —f{x, y).

Преобразуем A< u по обобщенной формуле конечных прираще ний и, разделив на At, получим

- ^ - = f x ( x + QAtx, y + Atu ) ^ - \ - f y (x, г/ -f Ѳі Aty) — .

В этом равенстве можно перейти к пределу при At ->											0. В силу
непрерывности f x’		и	f'y	получим
	Щ = Гх(х,			у) x't (t, v)+fy(x, y)y’t (t,					v).		(7)
Аналогично	можно		вывести формулу
	u’v ^ ix ix ,			y)x’v(t, v)-irfy(x, y)y’v{t,					v).		(8)
Формулы (7) и (8) встречаются в таких обозначениях:
ди	_ ди	дх .		ди	ду	ди __	ди	дх .	ди	ду
dt	дх	dt	’	ду	dt ’	ди	дх	дѵ '	ду	дѵ	^
Отсюда	следует		п р а в и л о			дифференцирования					сложной

функции: для того чтобы получить частную производную сложной функции, надо найти производные первого порядка «внешней» функции по каждому промежуточному аргументу, домножить их на производные соответствующих аргументов по переменной дифференцирования и полученные парные произведения сложить.

Г1 р и м е р.	Если	и =	ху, где х =	t cos 2ѵ, у	= г2 -f- sin2	ѵ, то	и[ =
= у cos 2ѵ -р x2t,	и'ѵ =	у (—2t sin 2ѵ) +		х sin 2ѵ.
Б. Рассмотрим сложную функцию л ю б о г о ч и с л а							не
зависимых переменных.			Пусть 1)	функция	и — / (у 4,	. . .,	ут)

определена, непрерывна и непрерывно дифференцируема в обла

сти А	m-мерного пространства, 2) функции у і = Уі (хи . . ., хп)
. . .,	ут = ут (хи . . ., хп) непрерывны и непрерывно диф

ференцируемы в области В «-мерного пространства, 3) области А

и В согласованы, т. е. если (хи				. . .,		хп) 6 В , ю { у х,				. . .,	ут) £ А .
Так же, как в случае А,			получим при s =						1, 2,	. . .,	п
ди _	ди	дуу .	ди	ду2	,		і	ди	дут		( 10)
dxs	дух	dxs T" glj2		QXS	т	•	'	дут dxs

Правило дифференцирования сложной функции сохраняется.


В. Рассмотрим	сложную		функцию		о д н о й	независимой
переменной. Пусть 1) и — / (t,			х, у, ъ)		определена и непрерывно
дифференцируема	в	области А,		2) х — x (t), у =		у (t),	z = z (t)
дифференцируемы	в	промежутке		В , 3)	области А	и В	согласо

ваны. При этих условиях и можно рассматривать как сложную

функцию одной независимой переменной и — / (t,		х (t), у	(t), z (t)),
причем величина и зависит от t	как непосредственно,		так	как
ее первым аргументом является	t, так и через	посредство		х, у

и z. По правилу дифференцирования сложной функции (случай Б)

имеем	*
	du _	ди	I ди	dx		ди	dy	.	ди	dz	,. ..
	dt	dt	дх	dt	'	ду	dt	'	dz	dt '	'
Здесь	называется		полной,		или	материальной,					производной,

— частной, или локальной, производной. Название «локальная

производная» связано с тем, что при ее вычислении величины х, у и z (координаты точки пространства) фиксируются.

127. Дифференцирование неявной функции. А. Случай неяв

ной функции о д н о й	независимой	переменной.
О п р е д е л е н и е .	Функция
	у = ц>(х)	(12)

называется неявной функцией независимой переменной х в проме жутке а <Сх << Ъ, если она задана уравнением

f(x, у) = 0,

(13)

неразрешенным относительно у. Это знаяит, что каждому х из (a, b)

соответствует такое	у, что пара чисел х,		у удовлетворяет урав
нению (12). Следовательно, имеет		место тождество
	f(x, ([ (.г)	0	(14)
относительно х в промежутке (а, Ъ).
З а м е ч а н и е	1. Не всякое уравнение вида (13) определяет

неявную функцию в вещественной области. Например, уравнение

+ у 2 +

1 =

не определяет никакой вещественной функции,

уравнение у2 — х2 =

определяет

несколько функций: у =

±х, у = И

и др.

З а м е ч а н и е

2. Термин «неявная» относится не к существу

функции, а к способу ее

задания. Например, функция у =

х2

становится неявной,

если

она задана

уравнением

х2 — у — О,

не разрешенным

относительно у.

Ниже сформулирована теорема существования неявной функ

ции одной независимой переменной.

(х, у) непре

Теорема 1. Дано уравнение (13). Пустъ 1) функция /

рывно дифференцируема

окрестности А

точки

М 0 (х0, уД,

/ (х0, у0) =

fy (х0, уg) =Н 0.

Тогда существует, и притом

единственная,

функция

у — ф (х)

со

следующими

свойствами'.

ср (х) определена и непрерывна в некоторой окрестности (а,

точки хя,

2) <р (х0) =

у0, 3) /

(х, <р (х))

0 в (а, ß).

И р и м е р і .

Если

/ (X,

у)

еху — х — у н

х0 = 0, у 0

= 1, то ] ’у

хеху — 1 -=Д 0 в точке М0 (О, 1). Выполнены и другие условия теоремы 1.

Поэтому существует одна и только одна

функция у — ср (х), непрерывная

в окрестности точки хя = 0,

удовлетворяющая уравнению еху — х — у =

условию

ф (0) =

Теорема 2. Если выполнены условия теоремы 1, то существует

производная неявной функции,

и она может бытъ выражена фор

мулой

fx (Х> У)

/4 с\

“

йх

Гу (х, у)

Д о к а з а т е л ь с т в о . Согласно теореме 1 существует в про межутке (а, ß) функция у = ц>(х) с указанными в заключении теоремы 1 свойствами. Рассмотрим две точки х и х 4- Ах

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 4819 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ