книги из ГПНТБ / Сахарников Н.А. Высшая математика учебник

прямой, необходимо и достаточно, чтобы векторы s и М0М были коллинеарны, т. е. чтобы их соответствующие проекции были пропорциональны

Уравнения (4) называются каноническими уравнениями пря­ мой. Докажем, что они определяют прямую. Действительно, урав­ нения (4) представляют систему двух уравнений

(х — х0)/т = (у — у0)/п, (х — хь)/т = (z — z0)/p,

каждое из которых определяет плоскость. Эти плоскости пере­ секаются, так как нарушено условие их параллельности. Вместе с тем каждая из этих плоскостей проходит через точку М0. Сле­ довательно, уравнения (4) определяют прямую, проходящую через точку М0 параллельно направляющему вектору s.

Числа т, п и р называются коэффициентами направления прямой. Их геометрический смысл состоит в том, что эти числа пропорциональны направляющим косинусам прямой, заданной уравнениями (4), так как

П р и м е ч а н и е . В пропорции (4) может оказаться равным нулю один пз последующих членов какого-либо из отношений. Но при этом соответству­ ющий предыдущий член этого отношения тоже равен нулю. Действительно, если, например, п = 0, то cos ß = 0, ß = я/2 и прямая перпендикулярна оси Оу и проходит через точку М 0. Поэтому прямая лежит в плоскости у = у д

иутверждение доказано.

108.Параметрические уравнения прямой. Пусть прямая за­ дана каноническими уравнениями (4). Обозначим буквой t общее значение отношений (4), приравняем порознь каждое из этих отношений t и получим

где —оо < t < оо. Уравнения (5) называются параметрическими

уравнениями прямой. Отсюда следует, что М 0М = ts. Смысл пара­ метра t состоит в том, что его модуль 1 \ равен отношению длин

векторов М0М и s, а знак t показывает, совпадают направления этих векторов (t > 0) или нет (t < 0).

Основными формами уравнений прямой являются общие урав­ нения прямой (1), канонические уравнения (4) и параметрические уравнения (6). Причем каждую форму можно преобразовать к другим формам. Мы видели, как из канонических уравнений получаются общие и параметрические уравнения. Для приведения общих уравнений (1) к канонической форме достаточно разрешить систему (1) относительно двух переменных из трех х, у, z. Напри­ мер, если возможно разрешить эту систему относительно х и у,

то получим уравнения вида х = az + b, у = atz + Ъѵ Отсюда

точка прямой. Рассмотрим два вектора М 0М(х — х 0, у — у 0, z — z0)

векторов есть условие, необходимое и достаточное для того, чтобы точка М принадлежала прямой, проходящей через две данные

представляет вместе с тем канонические уравнения искомой прямой.

110. Угол между двумя прямыми. Пусть прямые заданы кано­ ническими уравнениями

Под углом ф между двумя скрещивающимися прямыми, опре­ деляемыми этими уравнениями, следует понимать угол между направляющими векторами s 1(m1, пх рг) и s 2 (m 2, п2, р 2) этих прямых, приведенными к общему началу. Поэтому имеем (см. п. 94)

Условие параллельных прямых совпадает с условием колли­ неарности векторов Sj и s 2 (см. п. 92)

Условие перпендикулярности прямых есть вместе с тем усло­ вие перпендикулярности их направляющих векторов (см. п. 94)

111. Угол между прямой и плоскостью. Найдем угол между прямой, заданной уравнениями (1), и плоскостью, заданной уравнением (2) п. 102. Под углом ср между прямой и плоскостью понимается наименьший угол между прямой и ее проекцией на пло­ скость (рис. 84).

Рассмотрим угол ф между направляющим вектором данной прямой s (т, п, р) и вектором N (А, В, С), нормальным к плоско­

Условие параллельности прямой и плоскости совпадает с усло­ вием перпендикулярности векторов s и N

Условие перпендикулярности прямой и плоскости совпадает с условием параллельности век­ торов s и N

Л_

ПІ П р

112. Задача о взаимном рас­ положении прямой и плоскости.

Рис'84. Пусть прямая задана параметри­ чески уравнениями (6), а пло­ скость — общим уравнением (2) п. 102. Поставим вопрос — имеют

ли прямые и плоскость общую точку, т. е. имеет ли решение система уравнений (2) п. 102 и (6)? Для ответа на этот вопрос исключим X, у и z из уравнения (2) п. 102 с помощью равенств (6), получим уравнение относительно t

Ах0 у Ву0-f Cz0-f D y t (Am y B n yC p ) = 0

или

с коэффициентами а — А х 0 + В у0 + Cz0 У D, ß = Ат + Вп +

Ср.

Заметим сразу же, что эти коэффициенты порознь или оба вместе могут быть равны нулю. Если а = 0, то геометрически это значит, что точка М 0 (х 0, у 0, z 0) прямой вместе с тем принадлежит и плоскости. Если ß = 0, то угол между данной прямой и данной плоскостью равен нулю (см. п. 111).

Возможны только три случая.

1. ß Ф 0. В этом случае уравнение (14) имеет единственное решение f* = —a/ß, а прямая и плоскость имеют единственную

точку пересечения, координаты которой х^, г/*, z* определяются равенствами (5) при t = t^. Если при этом а =0, то t% — 0 и точка пересечения есть М 0.

2. ß 0, а ф 0 . В этом случае уравнение (14) не имеет ре­ шения, а прямая и плоскость не имеют общих точек, они парал­ лельны.

3. а = ß = 0. В этом случае уравнение (14) имеет бесчислен­ ное множество решений (ему удовлетворяет любое вещественное число), а прямая и плоскость имеют бесчисленное множество общих точек. Каждая точка прямой принадлежит плоскости.

§19. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

113.Эллипсоид. Эллипсоидом называется поверхность, опре­

деляемая в декартовой системе координат (х, у, z) уравнением

Для того чтобы представить в пространстве форму поверхно­ сти, заданной уравнением (1), и ее расположение относительно координатных осей, применим так называемый метод сечений. Сущность метода такова: данная поверхность пересекается плоско­ стями, параллельными координатным плоскостям, и самими ко­ ординатными плоскостями; в сечениях получаются, вообще го­ воря, линии, которые помогают создать представление о форме

ирасположении исследуемой поверхности в пространстве. Уравнение (1) содержит декартовы координаты только в чет­

ных степенях, поэтому эллипсоид симметричен относительно всех трех координатных плоскостей. Действительно, например, по­

Мg (—х 2, г/2, z2) тоже ей принадлежит. Сечение эллипсида плоскостью

изображается системой уравнений (1), (2). Исключив z, запишем

с полуосями а* и Ъ*, имеющими наибольшие значения при h = 0.

Сечение эллипсоида (1) координатной плоскостью х = О есть

эллипс с полуосями bis. с, изображаемый системой уравнений 62 +

Следовательно, эллипсоид есть поверхность ограниченная, имеющая три взаимно перпендикулярные плоскости симметрии (рис. 85).

Величины а, b и с называются полуосями эллипсоида. Если а = Ъ, то уравнение (1) определяет эллипсоид вращения вокруг

Рис. 86.

оси Oz. Если а — b — с, то уравнение (1) определяет сферу ра­ диусом а с центром в начале координат.

114. Гиперболоид однополостной. Однополостным гиперболо­ идом называется поверхность, определяемая в декартовой системе координат уравнением

Сечение однополостного гиперболоида плоскостью х — 0 есть Гипербола у 2/Ь2 — z2/c2 — 1 с полуосями b и с.

Следовательно, однополостный гиперболоид есть поверхность неограниченная, имеющая три плоскости симметрии (рис. 86).

115. Гиперболоид двуполостной. Двуполостным гиперболо­ идом называется поверхность, определяемая в декартовой системе координат уравнением

неограниченная, состоящая из двух частей, имеющая три плоско­

Сечение эллиптического параболоида плоскостью х = 0 есть парабола у2 — 2pz. Сечение эллиптического параболоида пло­ скостью у = 0 есть парабола х 2 = 2pz.

Следовательно, эллиптический параболоид, определяемый урав­ нением (6), есть неограниченная поверхность, расположенная

Следовательно, пространственным образом функции двух пере­ менных (9) служит гиперболический параболоид.

Термодинамическая поверхность (9) представляет уравнение состояния идеального газа рѴ = RT или

Линейчатой поверхностью называется поверхность, через каждую точку которой можно провести прямую, целиком принадлежащую этой поверхности. Гиперболический параболоид и однополостный гиперболоид есть поверх­ ности линейчатые.

Для доказательства линейчатости гиперболического параболоида (9) рассмотрим на поверхности (9) произвольную точку М 0 (х0, у 0, z0) и напишем

уравнения прямой в пространстве, проходящей через эту точку (см. п. 108):

»

Докажем, что можно выбрать направляющие параметры прямой т, п и р так, что прямая (11) будет принадлежать поверхности, т. е. координаты х, у, z любой точки прямой (11) будут удовлетворять уравнению поверхности (9). Для этого заменим в (9) х, у и z по формулам (11), получим уравнение

z0 + Pt — c(x0 + mt) (уо+ nt),

где z0 = сх0у 0, и после сокращения на і придем к условию

р = с (х0п + у0т + mnt ).

Это условие выполнено в двух случаях: 1) т — 0, р = cxQn, где п — произвольное число, и 2) п = 0, р = су0т, т — произвольное число.

Этим случаям соответствуют две прямолинейные образующие, проходя­ щие через точку М 0; их уравнения суть

118. Конус второго порядка. Конусом второго порядка на­ зывается поверхность, определяемая в декартовой системе коорди­ нат уравнением

Поверхность симметрична относительно координатных плоско­ стей. В плоскости X = 0 имеем пару прямых z = ±cyjb. В пло­

119.Цилиндры второго порядка. Цилиндры второго порядка

определяются в декартовой системе координат уравнениями:

а) — — — = 1 — уравнение эллиптического цилиндра,

рядка являются только поверхности рассмотренного в § 19 вида. Но они могут быть иначе расположены относительно координат­

Глава VII

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

§20. ФУНКЦИЯ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

120.Арифметическое «-мерное пространство. Систему из двух чисел х и у геометрически можно интерпретировать как точку

плоскости, а функцию одной переменной у = / (х) можно геоме­ трически представить ее графиком. Желая распространить геометрические методы на теорию функций любого числа пере­ менных, в анализе введено понятие «-мерного пространства при любом натуральном п.

так называемое п-мерное пространство, которое иногда называют арифметическим.

Точку «-мерного пространства в случаях в = 1 , « = 2 и « = = 3 можно представить геометрически как точку прямой, пло­

вается г-окрестностъю точки М 0 этого пространства. В частно­ сти, при « = 1 е-окрестность точки М 0 образует открытый про­ межуток с центром в точке М 0, длина которого равна 2е, при