Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Сахарников Н.А. Высшая математика учебник

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.10.2023

Размер:

24.22 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 4817 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Глава VI

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

§ 16. КООРДИНАТЫ В ПРОСТРАНСТВЕ

Начальные сведения по аналитической геометрии в пространсве изложены выше: понятие системы координат — вначале гл. IV,

декартова	система координат — в п. 89.
97.	Цилиндрическая и сферическая системы координат. В ци
линдрической системе координат положение точки в пространстве
определяется тремя числами р, ф и z. На рис. 76 изображены.

Рис. 76. Рис. 77.

декартова и цилиндрическая системы координат. Координата z у них общая. Координата р — это расстояние от точки М до оси Oz, а координата ф — это величина угла между плоскостью xOz и плоскостью, проходящей через точку М и ось Oz. Отсюда следует, что цилиндрические координаты принимают значения в промежут ках 0 ^ р <; оо, 0 sg; ф < 2л , —оо <; z < -f-oo .

Формулы связи между декартовыми и цилиндрическими ко ординатами прямо следуют из их определения (см. рис. 76):

Æ= pcosq), у = р sin ф, z = z.

(1)

В сферической системе координат положение точки М опре деляется тремя числами г, <р и Ѳ (рис. 77). Координата г — это расстояние от начала координат О до точки М. Координата ср та же, что и в цилиндрической системе. Координата Ѳ — это

величина угла между осью Oz и радиус-вектором ОМ. Отсюда следует, что сферические координаты принимают значения в про межутках 0 «с г < о о , 0 sç ф < 2 я , 0 Ѳ s£ я.

Для получения зависимостей между сферическими и декарто

выми координатами заметим, что проекция радиус-вектора ОМ

■-----

на плоскость хОу равна пр ОМ = ОА —

-■= г sin

Ѳ.

Теперь

легко

установить, что

X — г sin Ѳcos ф, у =

г sin Ѳsin ф, z

= r

COS0.

(2)

98.

Задачи.

З а д а ч а

Найти

расстояние

между

двумя

данными точ

ками A ( X U

у и

Z j )

и В (х2, у 2,

z2).

Р е ш е н и е .

Согласно теореме 2 п. 63

вектор

- 1

—V-

имеет

проекции

х 2 — х и

у 2 ~

Уі,

z 2 — 2о

Длина

этого

вектора

равна искомому

расстоянию между

дан

ными точками. В соответствии с форму

лой

(7)

п.

91 она равна

d = V (*Ü— ^і)2Ч- (У2 — Уi f + (zo— Zj)2.

(3)

З а д а ч а

Вывести

формулы

преобразования

декартовых

координат

пространстве.

д е к а р т о в ы х к о о р д и

А. П р е о б р а з о в а н и е

н а т

п р и

п а р а л л е л ь н о м

п е р е н о с е

о с е й .

Пусть

X, у,

z — координаты точки М

старой системе координат, х' ,

у ', z’ — координаты той же точки

в новой системе

координат,

оси

которой

соответственно параллельны осям

старой

системы

и одинаково

с ними направлены,

а, Ъ, с — координаты

нового

начала в старой системе. Линейная единица в этих системах пред полагается одной и той же (рис. 78).

Если спроектировать векторное		равенство		ОМ = 0 0 ' -г О'М
на координатные оси, то получим ф о р м у л ы				с в я з и	между
старыми и новыми координатами
х = а -г х',	у = Ь+ у",		z = с + z*		(4)
и	у' ^ у	— Ь,	z' — z — c.		(4а)
х' = х — а,

Б. П р е о б р а з о в а н и е д е к а р т о в ы х к о о р д и н а т п р и п о в о р о т е о с е й . Пусть х, у, ъ — координаты точки М в старой системе координат, х ' , у', z' — координаты той же точки в новой системе координат, оси которой образуют с осями старой системы следующие углы: і образует с і', j' и к' соответ ственно углы а ь а 2 и а 3; j образует с теми же осями новой си стемы углы ß lt ß 2 и ß3, а к — углы Yi, у 2, у3Здесь независимы не все девять углов, а лишь три из них. Обе системы имеют общее

начало. Вектор ОМ допускает разложение в базисах одной и другой систем координат, поэтому имеет место равенство

ri yj -f-zk—x ’V ~\-y*Y -[-z'k\

(5)

Проектируя векторное равенство (5) на координатные оси старой, а затем новой системы координат, получим ф о р м у л ы с в я з и между старыми и новыми координатами

х = х* cos ах — у' cos а,2-f z* cos а3>
у — х" cos ßi -f-y'cos ß, -fz* cos ß3,	(6)
z —- x' cos Yi -г У' cos Ѵг "г z' cos y3;
x" — X COS ö] + У COS ßi -}-Z COS Yi,
y' = x cos а, 4- у cos ß2-f z cos	(6a)
z" — x cos а3+ у cos ß3+ z cos Y3.

В. О б щ е е п р е о б р а з о в а н и е д е к а р т о в ы х к о о р д и н а т . Пусть x, у, z — старые координаты точки М , х, у, z — новые координаты точки М. Новая система задана таблицей

углов (той же, что в случае		Б) и координатами а, Ъ,	с — нового
начала в старой	системе.	между старыми и новыми	координа
Ф о р м у л ы	с в я з и

тами получаются непосредственно из формул (4) и (6), а также (4а) и (6а):

х = аЛ-х cos аг -f Уcos а2-f z cos а3,
у = b-j- x cos ßt -j- у cos ß2 + z cos ß3i	(7)
z — c-hx cos Yi + Уcos Y* + 2cos Y3;
x = (x — a) cos а г + (y — b) cos ßx 4- (z — b) cos Yi,
y = (x — a) cos а2+ (y — b) cos ß2 4- (z —■b) cos y.iy	(7a)
z = (x — a) cos a 3 + (y — b) cos ß3 -f (z — b) cos Y3.

99. Геометрическое значение уравнения с тремя переменными.

Рассмотрим уравнение
<р(я, У, z) = 0,	(8)

где ф (х, у, z) — функция трех независимых переменных, опре деленная во всем трехмерном пространстве. Если рассматривать переменные х, у, z как координаты точки в какой-либо системе координат в пространстве, то точки этого пространства можно разбить на два множества: координаты одного множества точек удовлетворяют уравнению (8), координаты другого множества ему не удовлетворяют. Первое множество образует, вообще говоря, некоторую поверхность, относительно которой будем говорить, что она соответствует данному уравнению или что она определя ется данным уравнением.


П р и м е р ы .			Уравнению х2 +				у2 + z2 = R 2соответствует сфера с цен
тром в начале координат с радиусом								Я;	уравнению х2 + у2 = R 2 соответ
ствует цилиндрическая					поверхность,			образующие		которой	параллельны
оси Oz;	уравнению			х2 =		R 2 соответствует
пара плоскостей, перпендикулярных оси Ох.
Геометрическое				значение уравнения
с тремя переменными					состоит в следу
ющем: каждое		уравнение с тремя пере
менными определяет, вообще говоря, в
пространстве в выбранной системе ко
ординат	некоторую					поверхность,			а
именно	геометрическое					место		точек,
координаты		которых				удовлетворяют
рассматриваемому				уравнению.						если	она может
Поверхность			называется				цилиндрической,

быть образована перемещением прямой параллельно самой себе вдоль некоторой линии L. Эта линия называется направляющей цилиндрической поверхности, а всевозможные положения дви жущейся прямой — ее образующими.

Теорема. Если уравнение с двумя переменными определяет в пространстве какую-либо поверхность, то эта поверхность цилиндрическая.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть дано уравнение <р (х, у ) — О, которое определяет в плоскости (х, у) некоторую линию L. Рас смотрим цилиндрическую поверхность S, образующие которой параллельны оси Oz, а направляющей служит L (рис. 79). Пусть

М (х0,	Уо, z0) — любая точка и N (х0, у0, 0) — ее		проекция на
плоскость (х, у). Если точка М принадлежит S, то N принадлежит
L, и	поэтому	координаты М удовлетворяют данному уравнению
Ф (х0,	у0) = 0.	Если М находится вне S, то N не принадлежит L
и координаты		точки М не удовлетворяют данному	уравнению.

Следовательно, данное уравнение определяет в пространстве ци линдрическую поверхность S. Теорема доказана.

Пусть имеем два уравнения с тремя переменными
ф! (х, у, z) = 0 И фа (х, у, z) = 0.	(9)

163

Каждое нз них определяет в указанном выше смысле некоторую поверхность. Геометрическое место точек, общих обеим поверх ностям, есть, вообще говоря, некоторая линия. Геометрическое значение двух уравнений с тремя переменными в пространстве состоит в том, что они определяют, вообще говоря, линию в про странстве.

П р и м е р .		Уравнения х2 + у2 = R 2, г = а определяют	окружность,
лежащую в плоскости z = а радиусом R с центром на осп Oz в точке (0, 0, о).
Заметим, что эту же линию можно задать параметрически тремя уравнениями
X = R cos ф ,	у =	R sin ф , z = 0.
В общем случае параметрические уравнения линии имеют вид
		x = x(t), у -у {1 ), z — z(t), а sc t s; ß.	(10)
100.	Понятие уравнения поверхности. Алгебраическая поверх

ность. В аналитической геометрии каждая поверхность рассма тривается как геометрическое место точек, обладающих некоторым свойством. Задать поверхность —- это значит задать соответству ющее свойство С.

Пусть свойство С известно и система координат в пространстве выбрана. Тогда, если выразить свойство С аналитически, получим соотношение между координатами точек поверхности S, обла дающих свойством С (подобно тому, как это сделано в п. 69 для кривой на плоскости). Это соотношение между координатами есть уравнение поверхности S.

О п р е д е л е н и е . Уравнением данной поверхности в вы бранной системе координат называется такое уравнение, вообще

говоря, с тремя переменными, которому удовлетворяют				коорди
наты	каждой точки этой поверхности и только		они:
		ф(я, У, z) = 0.		(И)
П р и м е р .		Сфера есть геометрическое место точек простран
ства,	равноудаленных (на величину R) от		данной	точки
С0 (х0,	у0, z0).	Поэтому уравнение сферы имеет вид
		(х - х0)2+ (у — i/o)2-г (z - z 0)2= R \		(12)

Алгебраической поверхностью порядка п называется поверх ность, уравнение которой в декартовой системе координат можно

привести к виду Рп (х,	у, z) =	0, где Рп — многочлен степени п
относительно х, у, z, и нельзя		привести к виду P*, (х, у, z) = 0,
где к <іп. Например,	сфера	есть алгебраическая поверхность

второго порядка. Для корректности этого определения надо до казать, что порядок алгебраической поверхности не зависит от

выбора декартовой	системы координат.			от	старой
Д о к а з а т е л ь с т в о .		Формулы перехода
системы (х, у, z) к	новой	(х', у',	z') носят линейный характер
относительно координат, так же как и формулы обратного					преоб
разования. Поэтому	при переходе		к системе (х',	у', z')	степень


многочлена не может повыситься. Получим							многочлен Qn>(х',
у',	z') степени п'		^	п. Однако она не может и понизиться, так
как	при	переходе	к	старой	системе	многочлен		Qn> перейдет
в Рп>и		его степень		тоже не	может	повыситься,		т. е. п ^ п'.
Из	сравнения этих неравенств				следует, что		п' = п.

§17. ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ

101.Нормальное уравнение плоскости. Всякую плоскость можно задать следующими параметрами: длиной р перпендику ляра, опущенного из начала координат на плоскость, и направля ющими косинусами cos a, cos [3, cos у этого перпендикуляра. Заметим, что если плоскость проходит через начало координат, то имеются два направления нор мали к плоскости, отличающиеся знаками направляющих косину сов: в этом случае надо выбрать одно из возможных направлений (рис. 80).

Пусть плоскость задана эти

ми	параметрами			и М (х , г/, z) —
ее	произвольная			точка. Рассмот
рим три		вектора: ОМ =			r,	(x ,y ,z ),
М 0М =		г — г0, ОМ0 =				рп0 =
= г0 (р cos а,			р	cos ß,	р	cos	у).		данной плоскости,
	Для	того	чтобы точка			М принадлежала
								... V
необходимо и достаточно, чтобы векторы ОМ0 и M QM были пер
пендикулярны.				При	этом		условии	имеем	(г0, г — г0) =	0 и
го г — го — 0.								-f pz cos у — p 2 — 0		и
	Следовательно, р cos а х f ру cos ß
				Xcos а -j- у cos ß + zcos y — p = 0.						(1)

Этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки данной плоскости и только они, потому что оно эквивалентно условию перпендикулярности векторов г0 и г — г0. Уравнение (1) назы вается нормальным уравнением плоскости. Признаки нормального уравнения плоскости — сумма квадратов коэффициентов при текущих координатах равна единице и свободный член не поло жителен. Заметим, что для плоскости, проходящей через начало координат, нормальное уравнение определяется с точностью до знака.

Итак, доказано утверждение: всякую плоскость можно изо бразитъ уравнением первой степени относительно декартовых

координат	переменной точки плоскости.
102. Общее уравнение плоскости. Пусть дано произвольное
уравнение	первой степени относительно переменных х, у	и z
	Ах -f By + Cz -f-D = 0	(2)

с постоянными коэффициентами, удовлетворяющими соотношению А г + В 2 + С2 > 0 . Выберем декартову прямоугольную систему координат и будем понимать под х, у и z координаты точки в этой системе.

Уравнение (2) всегда можно привести к уравнению жида (1). . Для этого, очевидно, достаточно умножить уравнение (2) на такое число т, чтобы выполнялись соотношения

тА = cos а,	m.ß = cosß, тС = cosy,		mD — —р,	(3)
где cos а, cos ß, cos у и р — параметры соответствующего				уравне
ния (1).
Эти соотношения будут выполнены, если положить
	______ 1______
	т — ± К42+Б2+ С2			(4)
Действительно, тогда	будем иметь cos2а	+	cos2 ß -f cos2у —
— m2 (А2 + В 2 + С2) = 1. В соответствии		с	последним	из ра

венств (3) выберем знак перед корнем в формуле (4) противополож ным знаку числа D. Таким образом, формулы (3) определят все параметры уравнения (1), соответствующего данному уравне нию (2). Указанное число т называется нормирующим множите лем уравнения (4).

Из определения понятия уравнения поверхности (см. п. 100) следует, что в результате умножения уравнения (2) на любое неравное нулю число получим уравнение, которое определяет ту же поверхность, что и уравнение (2). В п. 101 доказано, что уравнение (1) определяет плоскость. Следовательно, уравнение (2), которое отличается от (1) лишь постоянным множителем, тоже определяет плоскость. Таким образом, доказано, что всякое урав нение первой степени относительно декартовых координат опре деляет плоскость. Уравнение (2) называется общим уравнением плоскости.

Направляющие косинусы нормали к плоскости, заданной урав нением (2), дают первые три из формул (3). Они показывают, что коэффициенты А, В и С уравнения (2) пропорциональны направля ющим косинусам нормали к плоскости. Следовательно, вектор N (А, В, С), проекциями которого служат коэффициенты урав нения (2), перпендикулярен к плоскости, определяемой уравне нием (2).

П	р и м е р .	Плоскость задана уравнением общего вида Зж -f- 4у —
— 12z	— 39 = 0.	Требуется привести его к нормальному виду. Для этого

1
найдем по формуле (4) т = ——, умножим данное уравнение на т и получим
ІО		_12
нормальное уравнение той же плоскости— х	13 У	_12	3 = 0.
нормальное уравнение той же плоскости— х		13	3 = 0.
13		13

Рассмотрим некоторые частные случаи уравнения (2).

1. Если D — 0, то плоскость проходит через начало координат.

2. Если А = О, то плоскость параллельна оси Ох, так как

cos а — 0, а = — , и нормаль к плоскости перпендикулярна оси Ох.

3.	Если Л =		0 и D — 0, то плоскость проходит через ось Ох.
4.	Если	В =	О,	то	плоскость	параллельна	оси Оу.
5.	Если	С =	0,	то	плоскость	параллельна	оси Oz.

6. Если			В = С = 0,		т. е.		Ах +	D =	0, то	имеем	уравнение
плоскости,			перпендикулярной				оси	Ох.
103. Расстояние от точки до плоскости. Найдем расстояние
отданной точки М і (хі,					y t, z t) до плоскости,					заданной уравне
нием	(1).			Опускаем		из	точки М і (рис.			81) на	плоскость
Р е ш е н и е .
перпендикуляр				М іМ 2, длину которого					d надо	найти.	Рассмот-
рим векторное равенство						■>		г
					ОМ і —
ОМ0 А М 0М 2 -\|~ М 2М J					и	спро
ектируем его на нормаль и к пло
скости.		Найдем		проекции слагае
мых	и	суммы
пр ОМх = (ОМъ п0) =
=		cos а + j/хcos ß -j-z1cosy,						О
пр ОМв = р ,				пр М0М2= 0,			(5) ^
пр М 2М Х= d cos (М2МХ,п0)= ± d .
Следовательно, х х cos а -4- у х cos ß +									z x cos у — p ± d. Окон
чательно			имеем
				d = \xxcos и-\-ухcos ß + % cos y — p\.							(6)

104. Уравнение связки плоскостей. Составим уравнение пло скости, проходящей через данную точку М й (хй, у0, z0).

Геометрически очевидно, что задача имеет бесчисленное мно жество решений. Ищем решение в виде общего уравнения плоско сти (2). Плоскость должна проходить через точку М 0, поэтому ее координаты удовлетворяют уравнению (2) А х0-\- ВУо + Cz0 -р Z> = 0. Вычитая это равенство из (2), получим уравнение

		A(x —x0)+ B (y —y0) + C(z —z0) = 0.			(7)
Это и есть уравнение связки (множества) плоскостей, проходя
щих через		точку М 0,	потому что это уравнение первой степени
относительно х, у, z при любых А, В				и С, причем координаты
точки	М 0	ему удовлетворяют.
Составим уравнение плоскости, проходящей через три данные
точки	М і	(хх, уі, Zi),	М 2 (x2, y 2, z 2),	M 3{x3, y3, zs), не	лежа
щие на одной прямой.			Пусть М (х, у,	z) — произвольная	точка

плоскости. Рассмотрим три вектора:	М ХМ (х — х х,у —у и z—z x),
М , м г { х 2 X 1, у г— у и z2 — Zj) и М ХМ 3(х 3 — Х і ,		У з — У і , z 3— z i ).
Компланарность этих векторов	есть условие	необходимое и

достаточное для того, чтобы точка М принадлежала плоскости,

проходящей через три данные точки. Условие			компланарности
x ~ X i	у — ух	z —Zi
x.2 — x1	y2 — yx	Z2—Zj = 0	(8)

хг— х\ У5— У1 % — %

есть вместе с тем уравнение искомой плоскости, потому что оно первой степени относительно x , у, z, и координаты данных точек ему удовлетворяют. Условие A 2 -f В 2 + С2 0 здесь выполнено, если данные точки не лежат на одной прямой.

П р и м е р 1. Если Мх (0, 0, 0), М2 (1, 1,				1), М3 (—1, 0, 1). то по фор
муле (8) получим уравнение плоскости, проходящей через эти точки
X	У z
1	1	1	=0 или x —2 Î/ +	Z = 0 .
- 1	0	1

П р и м е р 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки

А (а, 0, 0), В (0, Ь, 0), С (0, 0, с), где abc Y= 0. С помощью (8) получаем
x — а	у	z
— a	b	0 = 0 или Ьс{х—а)-\- асу-\- abz = 0.
— а	0	с
Путем деления этого равенства на abc приходим к уравнению плоскости
в отрезках на осях
		а ' b ' с	(9)

Общее уравнение плоскости легко привести (если ABCD Ф 0) к уравнению вида (9) путем деления на D. Получим а — —D/A, b = —D/В , с = —D/C.

105. Угол между плоскостями. Найдем угол между плоско стями, заданными уравнениями

Axx Jr B 1x-]-C1Jr Dx = Q и А 2х + В2у -f C2z + D2 —0. (10)

Двугранный угол между плоскостями измеряется линейным углом Ф, который равен углу между нормалями к этим плоскостям

(рис. 82)	Вх,	Сх) и	N2(^42, В 2, С2). Поэтому имеем	(см.
п. 94)	гочгп = —1^ 2-		A i A î + Ді#2+ C\Cz	/J,,
	гочгп = —1^ 2-		A i A î + Ді#2+ C\Cz	/J,,
	ф	N XN 2	YA I + B I + CI V A I + B I + C* '	1 ’

Условие параллельности плоскостей совпадает с условием коллинеарности векторов Nx и N2; оно имеет вид (см. п. 92)

А\	£ L _ £ L
^2	в % ~~ с 2 ■

Условие перпендикулярности плоскостей есть вместе с тем условие перпендикулярности нормалей N1 и N2 (см. п. 94):

А1А2 ~\~B^B2“Ь

—0.

(13)

§18. ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

106.Общие уравнения прямой. Всякую прямую в простран стве можно изобразить двумя уравнениями первой степени отно сительно декартовых координат

Ахх -f В ху + Cxz + Dx = 0,


А2х -f-В2у + C2z -f- D2= 0				(1)
при условии, что плоскости, опреде
ляемые этими уравнениями,			различны
и что они проходят через прямую. Ура
внения (1), определяющие прямую в про
странстве,	называются общими			ура
внениями прямой.					заданной общими
Найдем	направляющие косинусы прямой,
уравнениями		(1). Известно,	что	векторы	Ni {Аг, Вг, Сг) и
N2{А 2, В 2, С2)		перпендикулярны		соответствующим плоскостям

и поэтому вектор d = Nx X N2 направлен параллельно линии пересечения этих плоскостей, т. е. параллельно данной прямой.

Остается

найти

направляющие косинусы вектора d, что легко

сделать, зная его проекции

dx = B lC2- B 2Cu dy = C1A2- A

1C2t dz= A ß ^ A ß , .

(2)

Следовательно, направляющие коси

нусы данной прямой равны

г%

d i t

d у

cos а = - f .

cos p — — , cos ѵ •=—7-.

(3)

X =

П р и м е р .

Прямая задана уравнениями

у, X = z.

Требуется

найти

ее направля

ющие косинусы.

Для

этого находим

вектор

й = і + ] +

к и п о

формулам (3)

получаем

cos

а — cos

ß = cos

l/V 3.

107.

Канон

мой. Прямая L в пространстве вполне

определяется заданием одной из ее точек М 0

(х0, у 0, z 0)

и век

тора s (т, п, р),

которому

прямая

параллельна.

Вектор s

называется

направляющим

вектором

прямой

(рис.

83).

Рас

смотрим

произвольную

точку

М (X,

у,

вектор

---^

М 0М (х—х 0,у—у 0, z—z0). Для того чтобы точка М принадлежала

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 4817 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ