книги из ГПНТБ / Сахарников Н.А. Высшая математика учебник

где АС, CD и DB — векторы, к о л л и н е а р н ы е ортам і, j, к соответственно. Поэтому на основании леммы 2 имеют место

равенства АС — m i, CD = щ, DB = рк. Следовательно,

Для выяснения геометрического смысла чисел т, п и р проек­ тируем равенство (4) на координатные оси. Получим

ах —прд. а — т пр* і -fra пр* j -f р пр* к — т.

Аналогично устанавливаем ау = п, аг = р. Следовательно, числа т, п и р в формуле (4) являются п р о е к ц и я м и в е к т о р а а на координатные оси Ох, Оу и Oz соответственно. Поэтому имеет место соотношение

Равенство (5) принято называть разложением вектора а по базису i, j, к, а его проекции ах, ау, аг — координатами вектора а относительно этого базиса. Величины ах,i, ау\, azк называются слагаемыми вектора а, или его компонентами.

Единственность представления вектора а в виде суммы (5) следует из единственности его проекций на координатные оси.

Итак, любой вектор может быть единственным образом раз­

91. Длина вектора, его направляющие косинусы и соотно­ шения между ними.

З а д а ч а 1. Найти длину вектора а, заданного своими проекциями ах, ау, а2.

Р е ш е н и е . Известно, что квадрат диагонали прямоуголь­ ного параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений. Поэтому в соответствии с рис. 70 и равенствами АС — ах, CD — = ау, DB = аг, установленными в и. 90, имеем

а2 = (АС)* + (СD f + (D B f = а%-г а2 + а?.

Следовательно, длина вектора равна арифметическому значе­ нию корня квадратного из суммы квадратов его проекций на оси декартовой прямоугольной системы координат (это обобщенная теорема Пифагора)

Обозначим через а, ß и у углы, образованные данным вектором а с координатными осями Ох, Oy, Oz соответственно. Условимся при этом углы отсчитывать от положительных координатных полуосей. Тогда каждый из этих углов будет принадлежать

ветствующие проекции, а при умножении вектора на число умножа­ ются на это число все проекции вектора. Таким образов, мы при­ ходим к выводу: линейные операции над векторами можно выпол­ нять по правилам алгебры скалярных величин. Например, если

Условие (13) является необходимым и достаточным у с л о в и е м к о л л и н е а р н о с т и векторов а и Ь. Равенство (13) надо понимать в том смысле, что если один из членов какого-нибудь из отношений равен нулю, то и второй член того же отношения должен быть нулем. Геометрически это значит, что в этом случае

Замечательная идея Лагранжа, предложенная в его «Аналити­ ческой механике» в 1788 г., состоит в том, чтобы представлять векторы (у самого Лагранжа только перемещения, силы, скорости и ускорения) тройками чисел, т. е. арифметизировать векторы. Это позволяет действия над векторами сводить к арифметическим действиям над их проекциями, что показывают формулы (11)

и(12).

§15. НЕКОТОРЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ

93. Скалярное произведение и его основные свойства. Рас­ смотрим два нулевых вектора а и Ь.

О п р е д е л е н и е . Скалярным произведением двух векторов

называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла <р между ними. Скалярное произведение обознача­ ется символами ab и (а, Ь)

П р и м е р . В физике скалярное произведение встречается, например, при нахождении работы А постоянной силы F на пря­ молинейном участке пути s. Если силу F разложить на два

T. e. работа равна скалярному произведению силы на путь (рис. 71). С в о й с т в а с к а л я р н о г о у м н о ж е н и я .

1°. Скалярное произведение обладает переместительным свой­

Действительно, если угол отсчитывать против часовой стрелки от первого сомножителя ко второму и обозначить через ф угол

Отсюда следует равенство (2).

2°. Скалярное произведение равно произведению длины одного■

дует равенство (3).

3°. Имеет место распределительный закон скалярного умно­

4°. Скалярный множитель можно вынести за знак скалярногопроизведения: (Яа, Ь) = Я (а, Ь).

Действительно, согласно свойству 2° имеем

(Яа, Ь) =: Ьпрь(Яа) = bk прй а —Я (а, Ь).

заключение следует из свойств 1°, 3° и 4° скалярного умножения и свойств линейных операций над векторами.

Если а = b и а Ф 0, то cos ф = 1 и аа = а2. Принято обо­ значение аа = а2. Поэтому имеем а2 = а2.

Составим таблицу скалярного умножения координатных ортов. Из определения скалярного произведения следует, что

Пусть векторы а и b заданы своими проекциями. Напишем их разложения в координатном базисе а = ахі + ау\ + ягк, Ь = = Ьхі + byj + bzk и составим их скалярное произведение по правилу умножения многочленов. С помощью формул (6) получим

т. е. скалярное произведение векторов равно сумме парных произ­ ведений одноименных проекций сомножителей.

П р и м е р . Если а (2, 3, — 1), b (1, О, А), то по формуле (7) имеем ab = - - —2. Знак минус в результате показывает, что угол между данными век­ торами тупой.

94. Угол между векторами. Условие ортогональности векторов.

Пусть два вектора заданы своими проекциями а (ах, ау, az) и b (Ъх, by, Ъг). Угол между этими векторами обозначим буквой <р. Из формулы (1) следует

т. е. косинус угла между векторами равен скалярному произве­ дению векторов, деленному на произведение длин сомножителей. В формуле (8) числитель определяется равенством (7), а знаме­ натель — равенством (7) п. 91.

T. e. косинус угла между векторами равен сумме парных произве­ дений соответствующих направляющих косинусов этих векторов.

Установим условие ортогональности векторов. В п. 93 было выведено необходимое и достаточное условие ортогональности векторов в виде равенства (5). Согласно формуле (7) это условие можно представить в форме

П р и м е ч а н и е . С помощью векторной алгебры многие теоремы гео­ метрии и тригонометрии могут быть доказаны проще, чем это делается в эле­ ментарной математике. Например, теорема косинусов легко доказывается

95.Векторное произведение и его основные свойства. Рас­

Векторное произведение вектора а на вектор b обозначается символом [а, Ы или а X Ь.

Если векторы а и b коллинеарны, то под а X b понимается

2°. При перемене мест сомножителей векторное произведение меняет знак:

Это свойство прямо следует из определения векторного произ­ ведения.

3°. Постоянный множитель может бытъ вынесен за знак векторного произведения [ma, b) = т [а, Ь]. Доказательство ос­ новано на том, что 1) равны площади параллелограммов, соот­ ветствующих левой и прямой частям доказываемого равенства, 2) совпадают направления векторов ]та, Ь] и т ]а, Ь].

4°. Имеет место распределительный закон

(а , b ) x c = a x c + b x c .

Для доказательства рассмотрим единичный вектор с0. Проведем через его начало О плоскость р, перпендикулярную с0. Пусть вектор а (не коллинеарный с0) имеет начало тоже в точке О. Спроектируем а на р; получим ОA j (рис. 74). Повернем вектор

О А ! на 90° по часовой стрелке (если смотреть с конца вектора с0); получим вектор ОАг. Длина этого век­

тора ОА 2 = ОА ! = а cos ^ — <р) =

(а + Ь ) х с = а х с + Ь х с .

З а к л ю ч е н и е . Из свойств 2°, 3° и 4° векторного произ­ ведения и свойств линейных операций над векторами следует, что векторы можно перемножать векторно по правилам алгебры

Если воспользоваться понятием определителя третьего порядка, то этот результат можно записать в следующей удобной для запо­ минания форме:

Смешанное произведение векторов обладает следующими свой­ ствами.

1°. Для того чтобы выяснить геометрический смысл смешанного произведения, построим параллелепипед на векторах a, b и с, приведя их к общему началу (рис. 75). Обозначим а X b = d; длина вектора d численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах а и Ь. Смешанное произведение равно

численно равно объему параллелепипеда, построенного на векторах

а, Ь, с, приведенных к общему началу, взятому со знаком «плюс», если a, b и с образуют тройку векторов, одноименную с основной (т. е. правую), и со знаком минус в противном случае.

2°. Смешанное произведение не меняется при круговой пере­ становке сомножителей a - b - c = b - c - a = c - a - b , так как при этом получаются равновеликие параллелепипеды, ребра ко­ торых сохраняют взаимную ориентацию.