книги из ГПНТБ / Сахарников Н.А. Высшая математика учебник

т~~— lim \У х2— а2— ж] — 0.

ах - > - + о о

Следовательно, бесконечная ветвь гиперболы, находящаяся в первой четверти, имеет асимптоту, уравнение которой у = Ъх/а.

4. Из симметрии гиперболы относительно координатных осей следует, что гипербола имеет четыре бесконечных ветви с асимпто­ тами

Для построения асимптот гиперболы целесообразно предвари­ тельно построить прямоугольник с полуосями 2а и 2Ь, стороны которого параллельны координатным осям и центр которого сов­ падает с началом координат. Диагонали этого прямоугольника, продолженные неограниченно, представляют асимптоты гипер­ болы (см. рис. 63). Ось Ох пересекает гиперболу в точках A t и А, называемых вершинами гиперболы. Оси симметрии гиперболы

и тех же значениях параметров а и Ъ, называются взаимно со­ пряженными гиперболами. Гипербола с равными полуосями а = Ъ называется равносторонней гиперболой. Ее каноническое уравнение имеет вид

Выведем каноническое уравнение равносторонней гиперболы (22) относительно ее асимптот. Для этого примем асимптоты (их

уравнения у — ±х) за оси новой системы координат (х , у). По фор­ мулам (16) п. 66 при а = —я/4 получим х — (х + у )/У 2, у —

= (у — х)/У~2. Заменив по этим формулам величины х и у в ра­ венстве (22), получим (после очевидных упрощений) уравнение

равносторонней гиперболы относительно асимптот ху = а2/2. Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстоя­ ния между фокусами гиперболы к длине ее вещественной оси

Отсюда согласно (16) следует, что эксцентриситет гиперболы всегда больше единицы: е > 1 . Обозначим через ф угол между осью абсцисс и асимптотой ветви гиперболы, лежащей в первой

четверти; тогда tg <р = b/а. Эксцентриситет е связан с ср соотно­ шением

вытекающим нз равенств (18) и (23). Следовательно, эксцентри­ ситет гиперболы характеризует угол 2<р между ее асимптотами, причем чем больше е, тем больше и этот угол. У равносторонней

гиперболы а = Ъ и поэтому е = ]/2.

Для вывода канонического уравнения параболы выберем декартову систему координат. Пусть ось абсцисс направлена перпендикулярно директрисе от П в сторону фокуса F и про­ ходит через фокус. Начало координат О выберем в точке оси абсцисс, равноудаленной от директрисы и фокуса. Обозначим буквой р расстояние между фокусом и директрисой. Тогда урав­ нение директрисы будет х = —p j2, а фокус будет иметь коорди­ наты F (р/2, 0). Пусть точка М параболы имеет координаты х

Y + X = V (х~ т У +у2'

Для приведения его к каноническому виду возводим обе его части в квадрат и после упрощений получаем

Уравнение (26) называется каноническим уравнением параболы. Величина р называется параметром параболы, она характеризует величну так называемого фокального радиуса FB, т. е. ординаты точки В параболы. Из уравнения (26) при х — р/2 получим ув — р .

Следовательно, та из парабол имеет больший фокальный радиус, которая имеет большую величину параметра р.

Исследуем форму параболы по ее каноническому уравнению. Парабола симметрична относительно оси абсцисс, потому что уравнение (26) содержит величину у в четной степени. При уве­ личении X величина у увеличивается в соответствии с условием (26) (при у > 0 ) . Асимптот парабола не имеет. Осью параболы называется ее ось симметрии. Парабола, определяемая уравнением (26), имеет ось, совпадающую с осью абсцисс. Вершиной параболы называется точка пересечения параболы с ее осью симметрии

(см. рис. 64).

Одна и та же парабола изображается различными уравнениями в разных системах координат. Так, уравнения у 2 = 2рх, у 2 = = —2рх, X2 = 2ру и X2 = 2ру, где всюду р > 0, определяют одну и ту же параболу, но различно расположенную на плоскости отно­ сительно координатных осей. Пара­ бола, ось которой параллельна оси ординат, рассмотрена в п. 66; она

85.Директрисы кривых второго порядка. Рассмотрим эллипс

игиперболу, определяемые соответственно каноническими урав­ нениями (И) и (19).

Директрисами эллипса (гиперболы) называются две прямые, перпендикулярные большой оси эллипса (оси гиперболы), про­ ходящие от его (ее) центра на рсстоянии а/е. Их уравнения суть

Теорема. Отношение расстояния г от произвольной точки М эллипса (гиперболы) до фокуса к расстоянию d от точки М до соответствующей этому фокусу директрисе есть величина по­ стоянная, равная эксцентриситету кривой

Докажем теорему для эллипса. Воспользуемся обозначениями п. 80 и рис. 65. Пусть М (х , у) — произвольная точка эллипса, определяемого уравнением (11). Расстояние от точки М до правой директрисы равно разности абсцисс точек D и М d = MD — = а/е — X. По определению эллипса г 1 + г2 = 2а. С помощью

(8) последовательно получаем г\ — г\ = 4сх, г1 — гг = 2гх\ по­ этому

(знак «+» относится к правой ветви гиперболы, а знак « — — к ее левой ветви). Следовательно, отношение г2 к d постоянно:

Эта теорема выявляет важное свойство эллипса и гиперболы и позволяет сформулировать о б щ е е о п р е д е л е н и е эллипса, гиперболы и параболы. Геометрическое место точек плоскости, для которых расстояние г до некоторой фиксированной точки (фокуса) и расстояние d до некоторой фиксированной прямой (директрисы) находятся в постоянном отношении r/d — е, есть

рим круговую коническую поверхность, образованную вращением прямой вокруг оси. Пусть эта прямая образует с осью вращения угол а. Рассмотрим сечение конической поверхности плоскостью, наклоненной к оси вращения под углом <р (рис. 66). Можно доказать, что в сечении получится окружность при <р = я/2,

парабола при ф = а, эллипс при а < Ф < я /2 , гипербола при

О< ф < а.

86.Полярное уравнение кривых второго порядка. Пусть дана линия L (эллипс, гипербола или парабола), директриса D этой линии и соответствующий фокус F (рис. 67). Введем поляр­ ную систему координат (г, ф) с полюсом в точке F и полярной

и ф, между которыми нужно установить зависимость. По теореме п. 85 для точек линии L выполнено условие (28). Здесь d — AM =

Отсюда и из равенства (28) следует полярное уравнение кривых

где р — фокальный параметр кривой; е — ее эксцентриситет;

ги ф — текущие координаты.

87.Исследование общего уравнения линий второго порядка.

Общее уравнение линии второго порядка в декартовой системе координат (X , Y ) имеет вид

Нужно выяснить, какую линию определяет уравнение (33) при каждом сочетании численных значений его коэффициентов, определить местоположение этой линии в системе (X, Y) и соста­ вить ее каноническое уравнение. Для этого приведем уравнение (33) к простейшему виду путем последовательного преобразования координат, которое выполняется в два этапа — сначала поворот осей, затем параллельный перенос новых осей.

1. Упрощение уравнения линии второго порядка п у т е м

Формулы (36) имеют место при любом угле поворота осей а. Выберем угол a таким, чтобы в уравнении (35) коэффициент В был равен нулю. Покажем, что такой выбор угла a всегда воз­

Возможны только два случая: 1) если A t ф Си то В обращается в нуль при условии

(38)

2) если А х = С х, то В обращается в нуль при условии a = я/4. При таком выборе угла поворота осей a приходим к уравнению исследуемой линии

в котором коэффициенты определяются формулами (36).

Итак, доказано, что уравнение (33) путем преобразования вращения (34) всегда может бытъ приведено к уравнению (39), в котором нет произведения переменных.

Классифицируем уравнение линий второго порядка. Уравнение (33) называется э л л и п т и ч е с к и м , если АС )>0, г и п е ­

преобразования координат при параллельном переносе осей

имеют вид X — X — х0, у = у — у0, где х0 и у0 — координаты нового начала в системе (х, у).

Если линия второго порядка центральная и, следовательно,

и у0 выбрать в соответствии с равенствами (41), то в системе ко­

можны только такие три случая. 1) Н = 0. Тогда из равенства (40) следует, что оно определяет точку х = хй, у — у0. Эту же

В этом случае уравнение (42), а вместе с ним и уравнения (40),

нению (42), а вместе с тем и уравнению (33). Действительно, знаки левой и правой частей равенства (42) различны.

можны только три случая. 1) Н — 0. Тогда уравнение (42) можно

записать в виде у2 — к2х2 — 0, где к2 = —А/С. В этом случае уравнение (33) определяет пару пересекающихся прямых, урав­

3) АН < 0, и, следовательно, СН > 0. Из (42) следует опять уравнение гиперболы

Оно определяет параболу, ось которой параллельна оси ординат (см. п. 66).

Итак, уравнение (33) npw условии АС = 0 определяет либо параболу, либо пару прямых (параллельных или совпадающих). Результаты исследования сформулируем в виде теоремы.

Теорема. Уравнение (33) определяет эллипс, гиперболу, пара­ болу, пару прямых, точку или оно не определяет ни одной точки плоскости.

и центром в точке (2,1). Оси эллипса параллельны координатным осям.

Глава V

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

§14. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ

88.Линейные операции и их свойства. Здесь и всюду ниже рассматриваются свободные векторы. Под линейными операциями

в п. 60.

Линейные операции над векторами обладают следующими

с помощью вектора единичной длины, имеющего это направление.

Такой вектор называется единичным вектором, или ортом данного направления.

Лемма 1. Каждый вектор а может бытъ представлен в виде произведения его длины а на орт а0, имеющий направление данного вектора:

Утверждение леммы прямо следует из определения операции умножения вектора на число.

Напомним, что два вектора называются коллинеарными, если после приведения их к общему началу они лежат на одной прямой.

Лемма 2* Для того чтобы векторы а u b были коллинеарными,

=—b/a.

89.Декартова система координат в пространстве. Декартова прямоугольная система координат в пространстве определяется заданием трех взаимно перпендикулярных числовых осей, име­ ющих общую точку пересечения О (начало координат) и общую линейную единицу. Оси упорядочены, т. е. указано, какая из осей считается первой (она называется осью абсцисс и обознача­ ется Ох), какая второй (ось ординат Оу) и какая третьей (ось ап­ пликат Oz).

Пусть М — произвольная точка пространства, ми мг, мъ- проекции точки М соответственно на оси абсцисс, ординат и ап­ пликат (рис. 69).

О п р е д е л е н и е . Декартовыми* координатами точки М

в заданной системе координат называются проекции вектора ОМ на соответствующие координатные оси; проекция на первую ко­ ординатную ось называется абсциссой точки М, на вторую ко­ ординатную ось — ординатой, а на третью — аппликатой: