книги из ГПНТБ / Сахарников Н.А. Высшая математика учебник

а ф2—угол наклона прямой (II). ЕслиѲ^-^-, то тангенс угла Ѳнай­

дем по формуле для тангенса разности углов. Положив tg срх = к х, tg ф2 — к 2, получим

Формула (10) определяет тангенс того угла, который образован вращением против часовой стрелки прямой с угловым коэффи­ циентом к 1 (вокруг точки пересечения прямых) до совмещения со второй прямой. Тангенс смежного угла равен tg (я — Ѳ) =

=— tg Ѳ.

Рассмотрим условие параллельности прямых. Если прямые

(или совпадения) прямых, не перпендикулярных оси абсцисс.

Рассмотрим условие перпендикулярности прямых. Если пря-

к2 = tg ф2 = tg (Фі + я/2) = — ctg фі = — 1/к^

Следовательно, угловые коэффициенты перпендикулярных пря­ мых обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку:

Если выполнено условие (12), то tg фг tg ф2 = —1. Следо­ вательно, cos (ф2 — ф1) = 0 и Ѳ = ф2 — Фх = я/2.

Итак, условие (12) есть необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых.

П р и м е ч а н и е . Из условий задачи непосредственно не видно пере­ секаются прямые (I) и (II) пли нет. Поэтому можно попытаться найти tg Ѳ по формуле (10). Если при этом окажется, что числитель правой части равен нулю,'то прямые параллельны (или совпадают), так как выполнено условие (11). Если же окажется, что знаменатель правой части формулы (10) равен нулю, то прямые перпендикулярны, так как выполнено условие (12). В осталь­ ных случаях прямые пересекаются не под прямым углом; формула (10) дает величину тангенса одного из углов между прямыми.

Найдем угол между прямыми, заданными общими уравнениями

потому что из данных уравнений можно найти угловые коэффи­ циенты прямых

и воспользоваться формулами (10) —(12). Угол между пересе­ кающимися прямыми найдем по формуле (10), заменив и к 2 по формулам (13). Таким образом, получим

76. Задача о взаимном расположении двух прямых. Пусть прямые заданы общими уравнениями (I) и (II). Выясним, имеют ли прямые общие точки, сколько их и где они находятся.

Логически возможны только три случая — либо данные пря­ мые не имеют общих точек (т. е. прямые параллельны), либо имеют только одну общую точку (т. е. прямые пересекаются), либо они имеют более одной общей точки (т. е. прямые совпадают всеми своими точками). Требуется установить соотношения между коэффициентами данных уравнений в этих случаях.

Исследуем для этого систему уравнений

Первый из этих определителей Д называется определителем системы (17). Возможны только три случая:

1) Д =£ О, 2 ) Д = 0 , Да =£0, 3) Д - Д х = 0.

Д Ф 0 можно записать в виде А ХВ 2 Ф А 2В2. Отсюда следует, что данные прямые имеют различные угловые коэффициенты, и поэтому эти прямые пересекаются. Формулы (19) определяют координаты

в первом, система (18) является следствием системы (17). Первое уравнение системы (18) не имеет ревзения, потому что его левая часть равна нулю при любом значении х, а правая часть от нуля отлична. Поэтому система (18) не имеет решения, она называется несовместной. Система (17) тоже, несовместна, потому что если бы она имела решение, то оно было бы вместе с тем решением системы (18) . Но система (18) решений не имеет.

Условие Д = 0 геометрически означает, что данные прямые параллельны или совпадают. Но поскольку система (17) не имеет решения, то прямые не имеют общих точек; следовательно, в слу­

Действительно, исходные равенства можно записать в виде А Х)А 2~- = ВХ]В2 и ВХ]В2 = С]/С2, поэтому А Х/А 2 = СХ]С2. Следовательно, в случае 3 выполнено соотношение

причем, если один из членов какого-либо из трех отношений равен нулю то и второй член этого отношения тоже равен нулю.

При условии (20) система (17) сводится к одному уравнению. Действи­

Поэтому система (17) сводится к одному уравнению с двумя неизвестными. Такая система имеет бесчисленное множество решений. Вместе с тем доказано, что первое уравнение системы (17) сводится ко второму и что оба уравнения определяют одну и ту же прямую. Прямые в этом случае совпадают.

С л е д с т в и е . Соотношения (20) есть необходимое и до­ статочное условие того, что два уравнения системы (17) опреде­ ляют одну и ту же прямую. Достаточность этого условия дока­ зана при рассмотрении случая 3. Для доказательства необходи­ мости предположим, что прямые, заданные уравнениями (17), совпадают; требуется доказать, что выполнено условие (20), т. е. Д = At = 0. Докажем это утверждение способом от противного. Если Д Ф 0 (случай 1), то прямые имеют только одну общую точку, что противоречит предположению о совпадении прямых. Если же Д = 0, но Дх Ф 0 (случай 2), то прямые не имеют общих точек, что опять противоречит условию совпадения прямых.

ную точку N (х, у) плоскости. Для того чтобы точка N принадле­ жала прямой, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

которое называется нормальным уравнением прямой. Вместе с тем доказано, что всякую прямую можно изобразить нормальным уравнением. Уравнение (23) линейно относительно х и у; оно имеет-вид ах + Ъу + с = 0, где а2 + Ь2 = 1 и с < 0 . Например, уравнение —0,6 х + 0,8у — 2 = 0 есть уравнение прямой в нор­ мальной форме, а уравнение 0,6а; — 0,8у + 2 = 0 — нет.

Пусть прямая задана общим уравнением А х + Бу + С = 0. Составим нормальное уравнение этой прямой.

Выше было установлено, что каждую прямую можно изобра­ зить как уравнением общего вида, так и нормальным уравнением. Поэтому между коэффициентами этих уравнений должна существо­ вать зависимость. Поскольку оба уравнения — общее и нормаль­ ное — определяют одну и ту же прямую, то в соответствии с фор­ мулой (20) должно выполняться соотношение между коэффициен­

Если обозначить каждый член отношения (24) через р, то получим

Число р называется нормирующим множителем. Для определения знака нормирующего множителя используем третье из равенств (25), согласно которому Ср есть число отрицательное, так как р > 0. Поэтому знак нормирующего множителя противоположен

к нормальному виду, достаточно умножить все члены данного уравнения на нормирующий множитель. Действительно, при этом получим уравнение Ирж + Брг/ + Ср = 0, которое является, принимая во внимание соотношения (25), нормальным уравнением этой же прямой.

Геометрический смысл коэффициентов А и В общего уравнения прямой виден ив первых двух равенств (25). А и В — числа про­ порциональные (коэффициент пропорциональности р _1) соответ­ ственно косинусу и синусу угла наклона нормали к данной прямой.

П р и м е р . Найти cos a и sin a прямой, заданной уравнением Зх — 4у — >—5 = 0. Для этого вычисляем р = 1/5 и по формулам (25) находим cos a = 3/5, sin a = —4/5. Следовательно, угол a тупой. Нормальное уравнение данной прямой имеет вид 0,6г — 0,8у — 1 = 0 .

78. Расстояние от точки до прямой. Найдем расстояние d от данной точки М 1 (хи у і) до прямой, заданной уравнением (23). Для этого проведем перпендикуляры М j/V и OQ к данной прямой.

знак минус соответствует случаю, когда точки M j и О находятся по одну сторону прямой). По теореме о проекции геометрической суммы векторов получаем x t cos a -j-y± sin a = p ± d. Отсюда следует, что

5) (а~— с2) х2+ а2у2 = а2 (а2— с2),

В соответствии с общим понятием уравнения линии равенство (11),

итолько они.

81.Исследование формы эллипса. Если уравнение линии со­

держит переменную х только в четных степенях, т. е. имеет вид

и у только в четных степенях, поэтому эллипс симметричен отно­ сительно координатных осей.іСледовательно, достаточно исследо­ вать изучаемую линию лишь в первой четверти, а затем построить ее зеркальное изображение в координатных осях. Для этого ре­ шим уравнение (11) относительно у и получим уравнение эллипса

симметричная относительно координатных осей (см. рис. 62). Точки пересечения эллипса с его осями симетрии А, А у, В и By называ­ ются вершинами эллипса. Осями эллипса называются отрезки А уА

и ВуВ. Величины а и Ъ в каноническом уравнении (12) эллипса имеют следующий геометрический смысл: а есть длина большой

т. е. два фокуса эллипса сливаются в один, который является центром окружности. Таким образом, окружность является предельной формой эллипса, когда величина с стремится к нулю;

которые показывают, что чем больше е, тем меньше отношение

ординат. Если осп координат ( х , у ) повернуть вокруг начала на угол л/2,

82. Гипербола и ее уравнение. Гиперболой называется гео­ метрическое место точек плоскости, разность расстояний которых до двух данных точек F t и F 2 плоскости (называемых фокусами гиперболы) есть величина постоянная (равная 2а). Обозначим d (Fу, F 2) — 2с (рис. 63).

Пусть М — произвольная точка гиперболы, тогда по опре­ делению d (Fу, М) — d (F2, М) — 2а или d (F2, М) — d {Fï: М) = = 2а.

Эти условия, определяющие гиперболу, можно записать в виде равенства

Для вывода канонического уравнения гиперболы проведем ось абсцисс декартовой системы координат через фокусы в на­ правлении от I7! к f 2, а начало координат выберем в середине

Для приведения его к канонической форме надо освободиться от радикалов путем двукратного возведения в квадрат. Выполним преобразования равенства (17), аналогичные рассмотренным в п. 80 преобразованиям равенства (9). Обозначим

Равенство (19) является уравнением гиперболы, потому что ему, так же как и равносильному равенству (17), удовлетворяют координаты точек гиперболы и только они.

83. Исследование формы гиперболы по ее уравнению.

1. Уравнение (19) содержит текущие координаты только в чет­ ных степенях, поэтому (см. п. 81) гипербола симметрична отно­

В первой четверти у > 0, и поэтому перед корнем выбираем знак «плюс». Подкоренное выражение положительно при условии х > а, если X >> 0. При X — а имеем у = 0. С возрастанием х возрастает и у, при X -*■ + со имеем у -> -)- оо.