книги из ГПНТБ / Сахарников Н.А. Высшая математика учебник

и у" связаны с х и у' формулами (16) и (17), если в последних заменить х на х и у на у' (потому что в условиях случая Б мы имели X и у, а теперь х' и у'). Поэтому имеем

Из формул (13) и (18) следуют формулы перехода от новых ко­ ординат к старым в общем случае преобразования декартовых координат

Из формул (14) и (19) следуют формулы перехода от старых ко­ ординат к новым в общем случае преобразования декартовых координат

67. Площадь треугольника. Требуется найти площадь тре­ угольника, зная координаты его вершин А (хг, уг), В {х г, у2),

С (х8, Уз).

Для решения задачи введем вспомогательную декартову си­ стему координат (х ' , у') (рис. 56), направление осей которой совпадает с направлением осей основной системы {х, у), а начало координат совпадает с точкой А. Тогда новые координаты точек

и полярной осью, совпадающей с положительной полуосью Ох'. Полярные и декартовые координаты точек В и С связаны соот­ ношениями

х'в = Гв cos фв, у’в = гв sin фв, х'с = гс cos фс, У с = гс sin фС. (23)

и обратном соответствии между двумя множествами. Поэтому ниже рассмотрены две стороны этого вопроса.

ленная на всей плоскости. Любое уравнение с двумя переменными можно привести к виду (1) путем переноса всех его членов в ле­ вую часть.

Замечательная идея Декарта состоит в том, чтобы считать переменные х и у в уравнении (1) координатами точек на плоско­ сти. Выберем на плоскости какую-либо декартову систему ко­

равенство в результате подстановки вместо х и у координат со­ ответствующих точек.

В некоторых случаях ответ на этот вопрос очевиден. Например, уравнению х — у = 0 удовлетворяют координаты всех точек биссектрисы первого и третьего координатных углов. Уравнению X + у = 0 удовлетворяют координаты всех точек биссектрисы второго и четвертого координатных углов. Уравнению х 2 — у2 =

ординат. Координаты ни одной точки плоскости не удовлетворяют уравнению х 2 4- у г -j- 4 = 0.

В общем случае для уравнения (1) ответ на поставленный во­ прос таков: каждое уравнение с двумя переменными определяет, вообще говоря, на плоскости в выбранной системе координат не­ которую линию, а именно геометрическое место точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению. Именно в этом и состоит геометрическое значение уравнения с двумя

дающих данным свойством С, называется все множество точек, каждая из которых обладает этим свойством. Например, геомет­ рическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки, есть окружность, но не полуокружность. В приведенной выше общей формулировке свойство С состоит в том, что координаты

точек удовлетворяют данному уравнению. Следовательно, линия L, определяемая уравнением (1), есть все множество точек плоскости,

что относящееся к этому выражению слово «определяет» допускает исключения. Наипример, уравнению х2 + у 2 + 4 -- 0 не со­ ответствует на плоскости никакой геометрический образ, потому что не существует вещественных чисел х и у, удовлетворяющих этому уравнению.

Упомянутая идея Декарта позволяет геометрически интер­

координаты точек пересечения прямой, определяемой уравнением- X — у = 0, и окружности, соответствующей уравнению ха + у2 = = 4. Геометрически ясно, что задача имеет два решения.

69. Понятие уравнения линии. Понятие уравнения линии является основным в аналитической геометрии.

О п р е д е л е н и е . У р а в н е н и е м д а н н о й л и н и и на плоскости в выбранной системе координат называется такоеуравнение с двумя переменными, которому удовлетворяют ко­ ординаты каждой точки данной линии и только они:

Здесь речь идет о соответствии — линии соответствует урав­ нение вида (2). Именно в этом смысле следует понимать выражение

координатами переменной точки, поэтому их называют текущими координатами.

Пусть дана линия L, т. е. задано некоторое свойство С, ко­ торым обладают все точки линии L и только они. Выберем лю­ бую систему координат (х, у). Рассмотрим какую-нибудь фикси­ рованную точку М х линии L и обозначим ее координаты в вы­ бранной системе хг и уѵ Если выразить аналитически тот факт,, что точка М х обладает свойством С, то придем к некоторой зави­ симости между координатами этой точки ф(х15 ух) = 0. Всякая другая точка М(х, у) линии L обладает тем же свойством С и по­ этому ее координаты связаны той же зависимостью, и равенство

выполнено для координат каждой точки линии L. Вместе с тем любая точка, не принадлежащая линии L, свойством С не обла­ дает, и поэтому ее координаты уравнению (3) не удовлетворяют. Уравнение (3) есть уравнение данной линии L в выбранной си­ стеме координдт.

Понятие уравнения линии позволяет свести геометрические задачи к алгебраическим. Например, задача нахождения точек пересечения двух линий, представленных уравнениями х — у = О

геометрические место точек плоскости, равноудаленных от дан­ ной точки, называемой центром окружности. Свойство С, опре­ деляющее окружность, состоит в постоянстве расстояний между центром М 0 и произвольной точкой М окружности: d (М0, М) =

У (х — х0)2 +(г/ — у0)2 = R и после возведения в квадрат имеем окончательно

Это и есть уравнение данной окружности в декартовых ко­ ординатах. Действительно, уравнению (4) удовлетворяют коорди­ наты любой точки окружности и только они, потому что равенство

(4) является аналитическим выражением условия С.

В частности, если центр окружности совпадает с началом ко­ ординат, то уравнение окружности имеет вид х 2 + у 2 = R 2.

г= 2R cos ф.

Взаключение сформулируем две основные задачи аналитиче­ ской геометрии. Дана линия. Требуется 1) составить ее уравнение,

2)выяснить геометрические свойства линии путем исследования ее уравнения.

70.Алгебраическая линия и ее порядок. Линия называется алгебраиче­ ской, если ее можно изобразить в декартовой системе координат уравнением

вида

где Рп (ж, у) — многочлен степени п относительно ж и у, и нельзя изобразить

алгебраическая кривая второго порядка, потому что левая часть уравнения

(4) есть многочлен второй степени относительно ж и у. Прямая есть алгебраи­ ческая линия первого порядка, потому что всякую прямую можно изобразить уравнением первой степени относительно ж и у (см. п. 71). Линия, определя­ емая уравнением In ж + In у = Іи С, алгебраическая, потому что это уравне­ ние можно привести к виду (5). Действительно, из данного уравнения сле­ дует жу = С.

Всякая неалгебраическая линия называется трансцендентной линией. Например, линии, определяемые уравнениями у = Іи ж и у = sin ж, суть трансцендентные кривые.

Теорема. Порядок алгебраической кривой не зависит от выбора декарто­ вой системы координат.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть данная алгебраическая кривая изобра­ жается уравнением (5) в выбранной системе координат (ж, у). При переходе к другой декартовой системе координат (ж', у') в уравнении (5) следует заме­ нить величины х и у их выражениями через х' и у', которые, как известно (см. п. 66), носят линейный характер. Поэтому в результате перехода к новой системе координат получим уравнение Рп, (ж', у') = 0, в левой части кото­

порядка алгебраической кривой в выбранной системе координат. Теорема позволяет ввести единое понятие порядка алгебраической кривой незави­ симо от выбора системы координат.

§12. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ

71.Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Пусть на плоскости задана некоторая прямая. Углом наклона ф прямой называется наименьший положительный угол, на который надо

повернуть против часовой стрелки ось абсцисс вокруг начала коор­ динат, чтобы она стала параллель­

наклона прямой принадлежит про­ межутку 0 ^ ф < я .

ления следует, что 1) величина к может принимать любые ве­ щественные значения; 2) прямая, параллельная оси ординат, не имеет углового коэффициента, потому что такая прямая имеет

л

угол наклона ф = —, тангенс которого не выражается числом;

£і

3) всякая прямая, не перпендикулярная оси абсцисс, имеет единственный угловой коэффициент, потому что ее углу наклона

Здесь дана величина отрезка, отсекаемого прямой на оси аб­ сцисс от начала координат (рис. 59). Задача имеет единственное решение. Уравнение искомой прямой имеет вид

что непосредственно следует из условий задачи и понятия урав- , нения линии (см. и. 69).

Уравнения (2) и (3) являются уравнениями первой степени относительно декартовых координат х и у. Отсюда следует утвер­ ждение.

Теорема 1. Всякая прямая изображается уравнением первой степени относительно декартовых координат переменной точки

и у определяет на плоскости в данной системе координат прямую линию.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Вспомним, что линией, соответству­ ющей данному уравнению, называется геометрическое место то­ чек, координаты которых удовлетворяют этому уравнению. Надо доказать, что уравнению (4) соответствует именно прямая линия.

Возможны только два случая: В — 0 и 5 0. В случае В ф 0 из уравнения (4) следует что у = —AxJB — С]В\ это уравнение вида (2), оно определяет прямую, имеющую угловой коэффициент

вида (3), оно определяет прямую, перпендикулярную оси абсцисс. В обоих случаях уравнение (4) определяет прямую. Теорема доказана.

Вместе с тем установлено, что уравнением (4) можно изобра­ зить любую прямую. Уравнение (4) называется общим уравне­ нием прямой.

Рассмотрим три частных случая общего уравнения прямой.

1. С = 0. Уравнение (4) принимает вид Ах + By = 0 и определяет прямую, проходящую через начало координат. Это следует из того, что коор­ динаты начала удовлетворяют уравнению.

2. В = О, А Ф 0. Уравнение (4) принимает вид Ах + С — 0 и опреде­

ляет прямую, параллельную оси Оу. Действительно, уравнение можно при­

ляет прямую, параллельную оси Ох. Действительно, это уравнение можно

73. Уравнение пучка прямых. Выведем уравнение прямой,, проходящей через данную точку М х (хх, ух) и имеющую данный угловой коэффициент к.

Ответ ищем в форме уравнения с угловым коэффициентом (2). Здесь неизвестна только величина Ь, потому что к — данная величина, а текущие координаты х и у не являются неизвестными и войдут в окончательный ответ. Для нахождения величины Ъ напишем условие прохождения прямой через точку М, т. е. подставим координаты точки М хвместо текущих координат в урав­

=к.

Вуравнении (5) постоянная к может быть любым веществен­

ным числом. Если в уравнении (5) величину к считать параметром, произвольным вещественным числом, то получим уравнение множества прямых, проходящих через точку М ѵ Такое семей­ ство прямых называется пучком прямых, а уравнение (5) может

74. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

Составим уравнение прямой, проходящей через две данные точки

Составим уравнение пучка прямых с центром в одной из данных точек, например М х. В уравнении (5) неизвестна только величина к. Для ее определения напишем условие прохождения прямой через точку М 2, т. е, подставим в уравнение (5) координаты точки

Эта формула определяет угловой коэффициент прямой, про­ ходящей через точки М г и М 2 при условии х 1 ф х 2. Если под­ ставить найденное значение к в уравнение (5), то получим окон­ чательный ответ, и его можно записать в форме пропорции

Это и есть искомое уравнение прямой, проходящей через две данные

Имеем так называемое уравнение прямой в отрезках на осях. Здесь х и у — текущие координаты, а и Ъ — величины отрезков на осях. Этот вид уравнения удобен для построения прямой.

75. Угол между двумя прямыми. Найдем угол между пря­ мыми, заданными уравнениями

Если прямые пересекаются, то они образуют две пары равных углов. Обозначим один из углов через Ѳ (рис. 60). Тогда по тео­ реме о внешнем угле треугольника имеем ср2 = срх + Ѳ, где срх — угол наклона прямой (I), имеющей угловой коэффициент к х,