книги из ГПНТБ / Сахарников Н.А. Высшая математика учебник

Глава IV

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Аналитическая геометрия есть та часть математики, которая исследует геометрические объекты (точки, линии, поверхности и их совокупности) средствами алгебры с помощью метода коорди­ нат.

В основании метода координат лежит возможность установле­ ния взаимооднозначного соответствия между множеством точек прямой, плоскости и пространства и множеством некоторых си­ стем вещественных чисел. Системой координат называется сово­ купность условий, определяющих положение точек линии, по­ верхности или пространства с помощью систем чисел. Эти числа называются координатами соответствующей точки в данной системе координат. Значение метода координат состоит в том, что с его помощью задачи геометрии могут быть истолкованы на языке анализа и, обратно, факты анализа могут приобрести геометри­ ческое толкование.

§10. КООРДИНАТЫ НА ПРЯМОЙ И НА ПЛОСКОСТИ

60.Вектор. Одним из основных понятий аналитической гео­ метрии является понятие направленного отрезка. Любые две точки А ш В пространства, если они упорядочены (например, А является первой, а В — второй точкой), определяют отрезок вме­ сте с данным на ней направлением (а именно направлением от А

кВ). Направленный отрезок короче называют вектором. Вектор

с началом в А и концом в В обозначается через AB, или, например, а. Длина вектора (расстояние между его концом и началом)

обозначается соответственно j AB | или а и называется также мо­ дулем вектора.

В естествознании встречаются величины скалярные и вектор­ ные. Каждая скалярная величина вполне характеризуется одним числом, которое выражает отношение этой величины к соответст­

вующей единице измерения. Примеры скалярных величин — температура тела в данной его точке, работа, энергия, потенциал. Векторная величина характеризуется числом и направлением. Примеры векторных величин — скорость, ускорение, перемеще­ ние движущейся точки, напряженность электрического поля.

Каждую векторную величину можно представить геометриче­ ски в виде направленного отрезка, который имеет соответству­ ющие длину, направление и точку приложения. Таким образом, мы приходим к понятию геометрического вектора, который назы­ вается также вектором. Векторы служат для отвлеченного вы­ ражения конкретных векторных величин.

По своему смыслу конкретные векторные величины и вместе с ними абстрактные (т. е. геометрические) векторы подразделяются на свободные, скользящие и связанные. Свободные векторы не за­ висят от точки приложения, их можно переносить параллельно с сохранением направления в любое место пространства без из­ менения их значения. Начало скользящего вектора можно пере­ местить в любую точку прямой, на которой лежит этот вектор.

б о д н ы м и векторами и будем называть их просто векторами. Два вектора называются коллинеарными, если они, будучи приведены к общему началу, лежат на одной прямой. Такие век­ торы до приведения к общему началу могли быть расположены на

параллельных прямых или на одной прямой.

Векторы а и b называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют равные длины. Факт равенства векторов записывается символически а — Ь. Таким образом, для равенства свободных векторов совпадение точек приложения не обязательно.

Векторы а и b называются противоположными, если они кол­ линеарны, имеют одинаковые длины и противоположные напра­ вления: b = —а и а == —Ь.

Суммой двух данных векторов а и b называется вектор, который имеет началом начало вектора а и концом конец вектора b при условии, что начало вектора b совпадает с концом вектора а (рис. 47). Для суммы векторов а и b принято обозначение а + Ь, при этом а и b называются составляющими суммы, или ее слагае­ мыми. Таким образом, сложение векторов определяется по тому же правилу параллелограмма, согласно которому складываются силы и скорости.

По определению разность векторов а и b равна сумме а + (—Ь). В результате сложения противоположных векторов получается вектор, длина которого равна нулю, а направление не определено; такой вектор называется нулевым вектором и обозначается 0. Пусть даны вектор а и число Я. Произведением вектора а на число Я называется вектор, длина которого равна | Я | а и направле­ ние которого совпадает с направлением вектора а, если Я >> 0,

или противоположно направлению а, если X < 0 . Произведение вектора а на число X обозначается Àa.

61. Направленный отрезок оси. Прямая, на которой выбрано направление, называется осью. Пусть на прямой выбрана линейная единица, служащая для измерения длин отрезков.

Числовой осью называется всякая прямая, на которой выбраны положительное направление (любое из двух возможных), начало —

длины). Рассмотрим на числовой оси две про­ извольно фиксированные точки А и В.

Вектор, лежащий на числовой оси, назы­ вается направленным отрезком оси. Он имеет длину и величину.

Величиной AB направленного отрезка оси

AB называется его длина, взятая со знаком плюс, если направления оси и отрезка совпа­ дают, или со знаком минус, если эти направ­

ления противоположны. Из этого определения следует, что ве­

личины противоположных отрезков AB я В А отличаются только знаком

62. Координаты на прямой. Рассмотрим способ определения положения точек на прямой с помощью чисел. Пусть дана произ­ вольная прямая. Выберем на ней положительное направление, начало О и линейную единицу. Получим числовую ось. Рас­

оси имеет определенную координату, причем разным точкам со­ ответствуют разные координаты. Каждому вещественному числу х можно поставить в соответствие ту точку числовой оси, которая имеет координату х. Поэтому имеет место взаимно-однозначное соответствие между множеством точек числовой оси и множеством

вещественных чисел.

■ ■ —V

Теорема. Величина направленного отрезка оси AB равна раз­ ности между координатами его конца и начала

Формула (3) имеет место при любом расположении точек А , В я О яя числовой оси. Основными являются случаи расположе­ ния точек в таком порядке: ОAB, OBА , АОВ, АВО, ВОА, ВАО.

Возможны также случаи, когда некоторые из этих точек совпа­ дают.

Докажем теорему для случая ВОА (в других случаях теорема

доказывается аналогично). Величины отрезков ВО, ОА и В А поло­ жительны и связаны соотношением ВА --ВО Д ОА , которое с по­ мощью формулы (1) может быть записано в виде равенства —AB = = —OB + ОА. Отсюда следует формула (3).

С л е д с т в и е . Длина направленного отрезка оси AB равна абсолютному значению разности между координатами конца

По определению, проекция вектора а = AB на ось I в рассматри­

ваемом случае есть число отрицательное, равное величине отрезка '■іи,~■

А {Вр. пр;а = А іВ і = АС. Здесь АС — величина направленного

отрезка АС оси І и параллельной I, одинаково с нею направленной и проходящей через точку А. Из &АВС находим длину отрезка

вектор, начало и конец которого совпадают соответственно с проекциями начала и конца данного вектора на эту ось (плоскость). В этом случае вво­ дится понятие алгебраической величины проекции, которое совпадает с нашим понятием проекции вектора.

П р и м е ч а н и е . Теорема 1 и вместе с нею рассмотренные ниже три теоремы имеют место при произвольном расположении векторов и оси в п р о с т р а н с т в е . Рисунки же к этим тео­ ремам выполнены при условии, что векторы и ось лежат в одной плоскости.

Теорема 2. Проекция вектора на числовую осъ равна разности координат проекций конца и начала вектора на эту осъ

пр a! - f . . . + пр а„ = хп — х0 = пр а.

Теорема 4. Проекция произведения вектора на число на не которую осъ равна произведению этого числа на проекцию вектора на ту же осы

Доказательство заключается в проверке формулы (8). Ее пра­ вую часть на основании теоремы 1 можно представить в виде произведения X пр а — X а cos (а, I). Левая часть формулы (8) может быть представлена в виде такого же произведения. Дейст­ вительно, при X 4> 0 имеем пр (Ха) =|X a|cos (Ха, I) — Ха cos(a,1), при X < 0 имеем пр (Ха) = | Ха | cos (Ха, Ï) — —Ха cos [л + (a,Z)J =

=Ха cos (а, I).

64.Координаты на плоскости. Система координат — это со­ вокупность условий, определяющих положения точек на прямой,

Обозначим через АС и ВС величины направленных соответ­

ствующих отрезков АС и ВС осей х и у’, которые соответственно

динат с соответственно параллельными и одинаково направлен­ ными осями и одинаковыми единицами измерения длин отрезков..

точек О, О' и М на плоскости. Проекции этих векторов на ось абсцисс суть

пр ОМ = X, пр 0 0' = а, пр 0 'М = х'\

называются формулами перехода от новых координат к старым при параллельном переносе осей и формулируются так: старая координата равна соответствующей новой координате, сложенной с координатой нового начала в старой системе.

Формулы перехода от старых координат к новым могут быть получены непосредственно из формул (13). Они имеют вид

П р и м е р . Преобразуем уравнение параболы у — ах2 + Ъх + с к про­

стейшему виду. Для этого выделим полный квадрат в правой части данного

В новой системе координат (с соответственно параллельными и одина­ ково направленными осями и с началом в точке х0, у 0 ) имеем х' = х — х0,

о с е й . Даны две декартовы системы координат — старая си­ стема (х, у) и новая система (х", у"), полученная из старой путем вращения ее вокруг начала координат против часовой стрелки на данный угол а (рис. 54).

Требуется установить зависимость между старыми х, у и но­ выми х", у" координатами любой точки М плоскости (при пово­ роте осей). Для этого введем полярные координаты точки М в ка­

честве вспомогательных величин. Полюс выберем в точке О. Если полярную ось направить вдоль оси Ох, то получим полярную систему координат, в которой точка М будет иметь координаты г и ср. Если же полярную ось совместить с положительной полу­ осью Ох", то в новой полярной системе точка М будет иметь ко­

Каждое из равенств (15) может быть преобразовано с помощью остальных формул (15):

X = г cos ф = г cos (ф" + а) = г cos ф" cos а — г sin ф" sin а =

—х" cos а — у" sin а,

у —г sin (ф" а) = г sin ф" cos а -f г cos ф" sin а =■=х" sin а л- у" cos а ,

х" = г cos (ф— а) —г cos ф cos а -f- г sin фsin а = х cos а -f- у sin а,

у”= г sin (ф— а) -- г sin фcos а — г cos фsin а = —a:sin а + У cos а.

Таким образом, получены формулы перехода от новых коор­ динат к старым

и формулы перехода от старых координат к новым

П р и м е р . Преобразуем уравнение гиперболы у = а/х путем поворота координатных осей на угол а = я/4.Формулы преобразования (16) в этом

случае будут х = (х " — у")/Ѵ2, у = (х" + у")/Ѵ2. Поэтому из данного уравнения следует (х" — у") (х " + у ")/2 = а и окончательно х"2 — у”2 = = 2а. Это и есть уравнение той же гиперболы относительно новых осей.

В. О б щ и й с л у ч а й преобразования декартовых коор­ динат. Даны: старая система координат (х, у), новая система ко­ ординат (х", у"), угол а между осями Ох и Ох", а и Ъ — коорди­ наты нового начала О' в старой системе. Рассмотрим произвольно выбранную точку М плоскости и обозначим через х и у ее коор­ динаты в старой системе и х" и у" — ее координаты в новой си­ стеме (см. рис. 55).

Требуется установить зависимость между координатами любой точки плоскости в старой и новой системах координат (в общем случае преобразования координат). Для этого введем вспомога­ тельную систему координат (х', у'), оси которой соответственно параллельны осям системы (х, у) и совпадают с ними по напра­ влению. Координаты точки М в этой системе обозначим х' и у' (рис. 55). Вспомогательные величины х ' и у’ связаны со старыми координатами х и у формулами (13) и (14). Новые координаты х"