книги из ГПНТБ / Сахарников Н.А. Высшая математика учебник

(х — х0) (X— хй) = (х — а — ib) (х — а -j- іЪ) = (х — а)2 + b2

= X2Д- рх -J- q,

где р = —2а, q = а2+ b2, причем q — ^ = Ь2 > 0 .

Поэтому разложение вещественного многочлена (18) будет содержать только вещественные множители. Его можно получить путем объединения в (17) сомножителей, соответствующих со­ пряженным корням, и результат записать в виде

функцией называется отношение двух целых рациональных функ­ ций: g (z) степени т и / (z) степени п. Если степень числителя т меньше га, то эта функция называется правильной рациональной

где к — натуральное число.

Теорема 1. Всякую неправильную дробную рациональную функ­ цию можно представитъ в виде суммы целой рациональной функции и правильной рациональной дроби.

Действительно, в результате деления многочлена g (z) степени т на многочлен / (z) степени га при т ^ га. (по правилу деления многочленов) получится частное р (z) — многочлен степени т — га

/ (z) = (z — a f f y(z), причем /х (a) =h 0.

Приведение правильной дробной рациональной функции к виду суммы (25) называется разложением этой функции на простейшие.

Частным случаем теоремы является следующее утверждение. Если все корни f (z) простые, то разложение / (z) на линейные множители имеет вид (14) с различными множителями в правой части, а формула * разложения соответствующей правильной ра­

если она представляет отношение двух вещественных целых рациональных функций.

Вещественными простейшими или простыми дробями назы­

Вопрос о разложении правильной вещественной рациональной дроби на вещественные простейшие рассмотрен в теореме 3, кото­ рую мы примем без доказательства.

Теорема 3. Всякую правильную вещественную дробную рацио­

вещественных простейших дробей. При этом, если / (х) разло­ житъ на вещественные множители вида (х — a)h и (х 2 -f- рх q)1 при условии 4q — р 2 Д>0, то в указанной сумме каждому множи­ телю знаменателя вида

вещественные и простые, формула разложения правильной рацио­ нальной вещественной дроби имеет вид

* В общем случае формулой называется всякая символическая запись (алгебраическое выражение, а также равенство), содержащая какое-либо утверждение (предложение, суждение).

Сформулируем правило разложения правильной вещественной дробной рациональной функции на вещественные простейшие. Для этого надо

1)разложить знаменатель / (ж) на вещественные множители,

2)составить согласно теореме 3 формулу разложения дроби

на простейшие с неопределенными коэффициентами A s, B s, Cs,

3)привести обе части формулы разложения к общему знаме­ нателю и приравнять числители,

4)в полученном тождестве приравнять коэффициенты при одинаковых степенях х; получим систему уравнений относительно

5)решить эту систему (система имеет единственное решение)

иподставить найденные коэффициенты в формулу разложения.

П р и м е р . Разложить на вещественные простейшие дроби функцию ж2 —1

Ж3-)-Ж

Следуя правилу, разложим знаменатель данной дроби на вещественные

= 1, С = О, А = —1, имеющую решение А — —1, В = 2, С = 0. Поэтому

§9. СОЕДИНЕНИЯ. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

58.Элементы теории соединений. Пусть имеем п нумерован­ ных элементов

ßtj» **•> &П‘ (^) Из элементов множества (1) будем составлять различные подмно­ жества, содержащие каждое к элементов, где 1 к sg п. Эти подмножества называются соединениями; они бывают трех видов: сочетания, перестановки и размещения.

Сочетаниями из п элементов по к называются соединения, кото­ рые отличаются одно от другого по крайней мере одним элементом и содержат каждое к элементов из данных п элементов (1). Порядок

ментов по 2 можно образовать так: возьмем любое сочетание из п

по 1: аъ а2, . . ., или ап и объединим выбранное сочетание с каждым из остальных элементов множества (1). Например, объединение а і с остальными элементами дает такие сочетания по два элемента:

Сочетания из п элементов по 3 образуем так: к каждому соче­ танию из п элементов по 2 присоединим третий элемент из тех п элементов множества (1), которые не входят в рассматриваемое сочетание по 2. Получим, таким образом, С%(п — 2) таких подмно­ жеств; но среди них каждое сочетание встретится три раза. Поэтому

ваются соединения, каждое из которых содержит все к элементов

Если к = 2, то имеется всего две перестановки: а {а2 и а2а t. Поэтому Р (2) = 2!. Все перестановки из трех элементов а и а2, а3 можно получить из перестановок двух элементов а ха2, а2а1 путем присоединения к ним элемента а3. Это присоединение можно осуществить трояко: поместив а3 до первого элемента, после второго элемента или между первым и вторым элементами. По­ этому Р (3) = Р(2)-3. Аналогично получим

потому что в перестановке из т элементов имеется т — 1 проме­ жутков между элементами, куда можно поместить элемент ат +і. Но его можно поместить еще до или после всей перестановки из т элементов. Из (4) следует согласно методу математической индук­ ции формула (3), потому что P (1) = 1.

Размещениями из п элементов по к называются такие соедине­ ния (содержащие каждое к элементов из данных п элементов), которые отличаются либо самими элементами, либо порядком элементов.

Из каждого сочетания из п элементов по к путем перемещения элементов, входящих в это сочетание, можно получить Р (к)

различных перестановок. Всего имеется Ск различных сочетаний из п элементов по к. Поэтому общее число различных размещений из п элементов по к равно произведению Ск на Р (к):

места. Найти число вариантов замещения трех одинаковых вакантных мест выборкой из десяти кандидатов.

Р е ш е н и е . Каждая выборка является сочетанием из 10 элементов по 3. В ней места одинаковы и поэтому порядок расположения кандидатов в выборке не имеет значения. По формуле (2) получаем

П р и м е р 2. Найти число вариантов замещения трех р а з л и ч н ы х вакантных мест выборкой из десяти кандидатов. В этом примере вакантные места различны, поэтому каждая выборка есть размещение из 10 кандидатов

Выведем формулу (6). Путем умножения числителя и знамена­ теля формулы (2) на (п —к)\ получим формулу (6). Действительно,

59. Элементы теории определителей.

О п р е д е л е н и е 1. Матрицей называется совокупность чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы. Числа этой совокупности называются элементами матрицы.

/1 2 4 3\

Например, матрица I Q g ^ 1 / имеетДвестРокиичетыРестолбца.

Если число строк матрицы равно числу ее столбцов, то матрица называется квадратной. Рассмотрим квадратную матрицу второго порядка

ni M2

А2 =

а ' (8)

Щ“22

Оп р е д е л е н и е 2. Определителем второго порядка, со­ ответствующим матрице А 2, называется число, определяемое равенством

определителей, в которых элементы упомянутой строки (столбца) заменены отдельными слагаемыми. Например,

соответствующим элементу aik, называется определитель п — 1-го порядка, получающийся из основного определителя путем вы­ черкивания і-й строки и к-то столбца. Он обозначается символом

Аik-

О п р е д е л е н и е 5. Алгебраическим дополнением элемента aik определителя называется минор Д£*, взятый со знаком ( — l)t+k; он обозначается символом A ik:

Составим сумму парных произведений элементов первой строки на соответ­ ствующие алгебраические дополнения:

аііА ц -р ацА і2 -р візАіз — 2 • 5 -р 3 • ( — 32) —р4-1 — —82.

Вычислим данный определитель по формуле (11), получим Д = —82. Это сов­ падение результатов а ц А ц -р я12.412 + aiaA 13 — Д не случайно. Имеет место свойство 6.

6°. Сумма произведений элементов любой строки (столбца) определителя на соответствующие элементам этой строки (столб­ ца) алгебраические дополнения равна величине определителя. На­ пример, в случае определителя третьего порядка имеют место формулы

А = ап Ап + ап А1%-р а13А13,

/А = аъ1Аіг -f а32А32 -р a3ZAzz.

Формулы (13) представляют р а з л о ж е н и я определителя по элементам первой, второй и третьей строк определителя соот­ ветственно.