книги из ГПНТБ / Сахарников Н.А. Высшая математика учебник

/ И = 2

(ж - *»)* +

R n(*)•

(24)

/ і = 0

Формула (24) называется

формулой

Тейлора

для функции

дг/ - 2 ^

^

+ R " (*)•

(25)

k =i

Произведение f lki(x0) (Ax)k

называется дифференциалом

к-го

порядка функции f (х) в точке х0 и обозначается символом

dky = f k)(x0)(Ax)k.

(26)

П

b y ^ ^ + Rnix).

(27)

Ь«1

приращения

аргумента

Ах.

многочлен

Значение

формулы

Тейлора состоит в том, что

Тп (х)

приближенно представляет функцию / (х) для тех значений

X, для

которых величина

| R n(x) | достаточно мала.

Выведем формулу остаточного члена формулы Тейлора. Пред­

положим, что функция / (х) имеет в окрестности точки

х0 произ­

водные всех порядков до п +

1-го включительно. Введем в рас­

смотрение величину q (х),

положив

R n{

x )

- ^ ^

q {x).

(28)

Из (24) и (28) следует соотношение

/ ( * ) = 2 ^

- x°)k +

(Ѵ + і ) Г q {х)•

(29)

h=О

Рассмотрим

вспомогательную

функцию ф (z), определив ее ра­

венством

Ф (2 ) = / (х)- 2 /(fefe !(Z) (ж ~ ^ ~ 1 п + 1)Г q (Х)

( 3 0 )

1.

Пусть f(x) = ex\

тогда f k)(x) = ex при

любом

натуральном

к и

при

любом

X.

В

частности,

при х = 0 имеем

/ (0) = 1

и f (k) (0) —1. По формуле

(32) получим разложение функции е*:

*2

4-

хП+1

тг

п\

(33)

^ (и-j- 1) !

2.

Если

/ (х) —sin X,

то f k) (х) = sin ^х -f 4г ) и f k) (0) -=sin ~ .

Поэтому

/ <2S)(0) = 0

и

/ t2s_1) (0) -- (—l)s_1.

Положив

в формуле (32) наибольшее к — 2п— 1, получим раз­

ложение

sin х:

гЗ

Х 2П

sin а; = X— jjj

(2л — 1) !

(2«У1 sin (Ѳх

im).

(34)

3.

Аналогично при

/ (х) = cos х

имеем

f k) (х) = cos

-j- -T j ,

/ 'ft,(0) = 0

при

k~~2s — 1,

/ (ft,(0) =

( - l ) s при

к — 2s.

По

фор­

муле

(32) получим

cos X -

1 -

X*

(—l)n x*n

xm+i

—

+

ТГ

(2n) !

( 2 n + i ) \ ' cos (Ѳг +

пя +

-5 -).

2

! ^

(35)

4.

Б и н о м Н ь ю т о н а .

Пусть

/ (х) —(1 -f- х)п,

где

« — нату­

ральное число. Последовательно дифференцируя / (х), получим

f (X) = n (1 +

z)n-\

... ,

f k) (х) = п (« — 1) . . .

. .. (n — /с + 1)(1 -\-х)п~к, ... ,

f m

(x) = n\

Производные порядка выше п все равны нулю. По формуле

(32)

получим тождество

{ ï + x f = ï +ПХ+

*2 +

. . . +

+ _»(И-1) . . . (B-fc+1) хк + ' " + яП'

(36)

называемое биномом Ньютона. С помощью обозначения п. 31

бином Ньютона можно

записать так:

(1 + х)п = 1 +

С\х +

С2х2 + . .. + С*хк + . . . + і п.

Тейлора.

Пусть функция / (х) непрерывно дифференцируема

n -f 1 раз

(см. п. 31) в окрестности точки х0и ее первые п произ­

W (ф) = cos ф +

isin ф. По определению производная такой функ­

ции равна w' =

(cos ф)' + i (sin ф)' =

—sin ф + i cos ф. Поэтому

имеем w' — i (cos ф + i sin ф) =

iw.

Функция

w удовлетворяет

дифференциальному уравнению

w' =

iw,

из

которого следует

(так же, как в и. 35), что w =

сег?. При ф =

0 имеем по условию

w = 1, поэтому с = 1, а гг; =

ег!р. Сравнив этот результат с исход­

ным представлением w (ф), получим

формулу

(2).

+ i sin ф на

е1'? согласно

равенству (2). Таким

образом, всякое

комплексное

число может

быть представлено

в

трех формах:

х-\- iy = r (cos ф-{- isin ф) = гегф.

(3)

Пр и м е р ы ,

zi = — 1 = cos я -|- г sin я = ет-1,

З Я г

z2=

— 1-р г = У 2 ^cos-^p--f- г sin

= 1^2«

4 •

Если в (2). заменить ф на —ф, то получим формулу

е~г? = cos ф— i sin ф.

(4)

е г ? _р e ~ l 'f

=

2 cos ф,

е1?— е“гф = 2i sin ф,

из которых вытекают

формулы

Эйлера *

cos ф =

еІ!Р-р

.

еі(Р—e_i<f

(5)

---- ----- ,

sin ф = ----- —----- .

е2 = ехегу = е* (cos у + i sin у).

(6)

Отсюда следует, что

|ег| = е*, Arg е2 —у -j- 2кл.

z%= x%-f-

Выведем формулу

ez,ez2__ег,+г2 Пусть z1 = x1Jr iy1,

(>z \f>z Z

g X i g i t j i g X 2gUJ%

g X \ ± X 2g i (Уѵ'гУ)

g Z \ \ - Z 2

2.

Логарифмическая функция

w — Ln z

комплексного

аргу­

мента z по определению есть

показатель

степени, в которую

надо

возвысить

основание

е,

чтобы получить z, т. е.

Рис.

46.

w — Ln z,

если ew =

z.

(7)

Положив в

(7) z = reî<p, w = u-\-iv,

получим

равенство

еиеіѵ=

=ге%ч>, из

которого следует,

что

1)

еи = г

и

и — In г —ln j z |t

2)

V = ф+

2А:л = argz-f 2кя, где

k = О,

1, 2 , . . .

Поэтому логарифм комплексного аргумента имеет такое ана­

литическое выражение:

Lnz = ln |z | + i(argz -f 2fot) (k = 0,

1, 2 ,...) .

(8)

Ее

Логарифм комплексного числа есть функция

многозначная.

г л а в н о е

з н а ч е н и е

l nz соответствует условию к =

0.

П р и м е р .

Вычислить Ln (—1) и In (—1). Для этого находим модуль

и аргумент числа z = —1. Имеем | z | =

1, arg z = я. По формуле (8) полу­

чаем

Ln ( —1) = ln 1-}- i (n +

2fcrc) = ni ( 2

k

1).

Теорема 2 (теорема Безу *). Остаток

R от деления

много­

члена (il) на двучлен z — z0, где z0 — любое

число, равен значению

этого многочлена в точке z0, т. е. R = / (z0).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Обозначим / 1 (z) — частное

от де­

делителю z — z0,

умноженному на частное

fi(z), плюс

остаток

R] поэтому имеем

тождество относительно

z

f(z) = ( z - z 0)f1(z) + R,

(13)

где R не зависит от z. Положив в этом равенстве z =

z0, получим

R = / (z0), и теорема доказана.

многочлена

/ (z),

то / (z)

С л е д с т в и е .

Если z0 — корень

делится (без остатка)

на z — z0, т. е. /

(z) — (z — z0) f i (z).

вида z — zk:

(14)

/(z) = a0( z - z 1)(z — z2) . . . (z — zn).

чим формулу (14),

называемую формулой разложения многочлена

на линейные множители.

z„ являются корнями

С л е д с т в и е

1.

Числа zlf z2, . .

многочлена / (z), потому что согласно (14) имеем / (zk) =

0

при

всех к от 1 до п.

2.

Числа, отличные от zk, не являются

кор­

С л е д с т в и е

нями / (z), потому

что

из (14) вытекает

/ (z) 4= 0, если

z

zk.

Следовательно, всякий многочлен степени п имеет ровно п

корней;

они могут быть вещественными или комплексными, раз­

личными

или равными.

/ (z) =

(z — с)*Л (z), где

Л (с) ф 0.

(15)

Корни кратности к — 1 называются простыми корнями мно­

гочлена. В этом случае имеем

/(z) =

(z — c)/2(z), где

/ 2(c)=f0.

(16)

Объединив в правой части разложения (14) одинаковые мно­

жители, представим формулу (14) в виде

/ (z) — й0 (z

Zj)k’ (z — Z2)ft’ . . . (z — zmf m,

(17)

где

ki + k 2 + • • • +

km — n,

k i: . .

km — целые

положитель­

ные

числа. Каждое

из

чисел

ks равно кратности

соответству­

вещественным многочленом

/ (z) == а0хп 4 аххп~1 + . .. + ап_іХ+ ап.

(18)

на вещественные множители

вида

(х — а)к и

(х2 Л рх Л q)e,

(19)

где а, р и q — вещественные числа, q —

)>0, к и е — нату­